Medida Peano-Jordania

En matemáticas , la medida de Peano-Jordan (también conocida como contenido de Jordan ) es una extensión de la noción de tamaño ( longitud , área , volumen ) a formas más complicadas que, por ejemplo, un triángulo , un disco o un paralelepípedo .

Resulta que para que un conjunto tenga la medida de Jordan debería comportarse bien en un cierto sentido restrictivo. Por esta razón, ahora es más común trabajar con la medida de Lebesgue , que es una extensión de la medida de Jordan a una clase más grande de conjuntos. Históricamente hablando, la medida jordana llegó primero, hacia finales del siglo XIX. Por razones históricas, el término medida de Jordan está ahora bien establecido para esta función de conjunto , a pesar de que no es una medida verdadera en su definición moderna, ya que los conjuntos medibles en Jordan no forman un σ-álgebra . Por ejemplo, los conjuntos singleton en cada uno tienen una medida de Jordan de 0, mientras que , una unión contable de ellos, no se puede medir en Jordan. ^[1] Por este motivo, algunos autores ^[2] prefieren utilizar el término contenido Jordan . ${\displaystyle \{x\}_{x\in \mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \cap [0,1]}$

La medida de Peano-Jordan lleva el nombre de sus creadores, el matemático francés Camille Jordan y el matemático italiano Giuseppe Peano . ^[3]

Medida jordana de "conjuntos simples"

Un conjunto simple es, por definición, una unión de rectángulos (posiblemente superpuestos).

El conjunto simple de arriba se descompuso como una unión de rectángulos que no se superponen.

Considere el espacio euclidiano. La medida de Jordan se define por primera vez en productos cartesianos de intervalos semiabiertos acotados. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

$${\displaystyle C=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})}$$

rectángulo de dimensionesrectángulomedida de Jordan ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle m(C)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots (b_{n}-a_{n}).}$$

A continuación, se consideran conjuntos simples , a veces llamados polirectángulos , que son uniones finitas de rectángulos,

$${\displaystyle S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{k}}$$

${\displaystyle k\geq 1.}$

No se puede definir la medida de Jordan de simplemente como la suma de las medidas de los rectángulos individuales, porque dicha representación está lejos de ser única y podría haber superposiciones significativas entre los rectángulos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Afortunadamente, cualquier conjunto simple de este tipo se puede reescribir como una unión de otra familia finita de rectángulos, rectángulos que esta vez son mutuamente disjuntos , y luego se define la medida de Jordan como la suma de medidas de los rectángulos disjuntos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m(S)}$

Se puede demostrar que esta definición de la medida de Jordan de es independiente de la representación de como una unión finita de rectángulos disjuntos. Es en el paso de "reescritura" donde se utiliza la suposición de que los rectángulos están formados por intervalos medio abiertos. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Extensión a conjuntos más complicados

Un conjunto (representado en la imagen por la región dentro de la curva azul) es medible si y solo si puede ser bien aproximado tanto desde el interior como desde el exterior mediante conjuntos simples (sus límites se muestran en verde oscuro y rosa oscuro respectivamente). .

Observe que un conjunto que es producto de intervalos cerrados,

$${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]}$$

pelotaJordan medibleintegrable de Riemann

Formalmente, para un conjunto acotado, defina su ${\displaystyle B,}$medida interior de Jordania como

$${\displaystyle m_{*}(B)=\sup _{S\subseteq B}m(S)}$$

medida exterior de Jordania

$${\displaystyle m^{*}(B)=\inf _{S\supseteq B}m(S)}$$

mínimoel supremo ${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle B}$Conjunto medible de Jordanmedida de Jordan de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$La medida de Jordanfunción de conjunto

Resulta que todos los rectángulos (abiertos o cerrados), así como todas las bolas, simples , etc., son medibles por Jordan. Además, si se consideran dos funciones continuas , el conjunto de puntos entre las gráficas de esas funciones es medible por Jordan siempre que ese conjunto esté acotado y el dominio común de las dos funciones sea medible por Jordan. Cualquier unión finita e intersección de conjuntos medibles de Jordan es medible por Jordan, así como la diferencia de conjuntos de dos conjuntos medibles de Jordan cualesquiera. Un conjunto compacto no es necesariamente mensurable. Por ejemplo, el conjunto ε-Cantor no lo es. Su medida interior del Jordán desaparece, ya que su complemento es denso ; sin embargo, su medida exterior de Jordania no desaparece, ya que no puede ser menor (de hecho, igual) que su medida de Lebesgue. Además, un conjunto abierto acotado no es necesariamente mensurable. Por ejemplo, el complemento del conjunto gordo de Cantor (dentro del intervalo) no lo es. Un conjunto acotado es medible de Jordan si y sólo si su función indicadora es integrable de Riemann , y el valor de la integral es su medida de Jordan.[1]

De manera equivalente, para un conjunto acotado, la medida de Jordan interior es la medida de Lebesgue del interior topológico de y la medida de Jordan exterior es la medida de Lebesgue del cierre . ^[4] De esto se deduce que un conjunto acotado es medible si y sólo si su límite topológico tiene medida de Lebesgue cero. (O de manera equivalente, si el límite tiene una medida de Jordan cero; la equivalencia se mantiene debido a la compacidad del límite). ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

La medida de Lebesgue

Esta última propiedad limita en gran medida los tipos de conjuntos que son medibles. Por ejemplo, el conjunto de números racionales contenidos en el intervalo [0,1] no es entonces medible por Jordan, ya que su límite es [0,1] que no es de medida cero de Jordan. Sin embargo, intuitivamente, el conjunto de números racionales es un conjunto "pequeño", ya que es contable y debería tener "tamaño" cero. Esto es cierto, pero sólo si se sustituye la medida de Jordania por la medida de Lebesgue . La medida de Lebesgue de un conjunto es la misma que su medida de Jordan siempre que ese conjunto tenga una medida de Jordan. Sin embargo, la medida de Lebesgue se define para una clase mucho más amplia de conjuntos, como el conjunto de números racionales en un intervalo mencionado anteriormente, y también para conjuntos que pueden ser ilimitados o fractales . Además, la medida de Lebesgue, a diferencia de la medida de Jordan, es una medida verdadera , es decir, cualquier unión contable de conjuntos medibles de Lebesgue es mensurable de Lebesgue, mientras que las uniones contables de conjuntos medibles de Jordan no tienen por qué ser medibles de Jordan.

Referencias

1. Si bien un conjunto cuya medida está definida se denomina mensurable , no existe un término comúnmente aceptado para describir un conjunto cuyo contenido de Jordan está definido. Munkres (1991) sugiere el término "rectificable" como una generalización del uso de este término para describir curvas. Otros autores han utilizado términos que incluyen "admisible" (Lang, Zorich); "pavimentable" (Hubbard); "tener contenido" (Burkill); "contento" (Loomis y Sternberg).
2. Munkres, JR (1991). Análisis de colectores . Boulder, CO: Westview Press. pag. 113.ISBN​ 0-201-31596-3.
3. G. Peano, "Aplicaciones geométricas del calcolo infinitesimale", Fratelli Bocca , Torino, 1887.
4. Frink, Orrin Jr. (julio de 1933). "Medida Jordan e integración de Riemann". Los Anales de las Matemáticas . 2. 34 (3): 518–526. doi :10.2307/1968175. ISSN  0003-486X. JSTOR  1968175.

• Emmanuele DiBenedetto (2002). Análisis reales . Basilea, Suiza: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4231-5.
• Ricardo Courant; Fritz John (1999). Introducción al cálculo y análisis Volumen II/1: Capítulos 1 a 4 (Clásicos de matemáticas) . Berlín: Springer. ISBN 3-540-66569-2.

enlaces externos

• Derwent, Juan. "Medida de Jordania". MundoMatemático .
• Terekhin, AP (2001) [1994], "Medida de Jordania", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press