número p-ádico

Sistema numérico que extiende los números racionales.

Los números enteros de 3 ádicos, con los caracteres correspondientes seleccionados en su grupo dual Pontryagin

En teoría de números , dado un número primo p , los números p -ádicos forman una extensión de los números racionales que es distinta de los números reales , aunque con algunas propiedades similares; Los números p -ádicos se pueden escribir en una forma similar a los decimales (posiblemente infinitos ) , pero con dígitos basados ​​en un número primo p en lugar de diez, y extendiéndose hacia la izquierda en lugar de hacia la derecha.

Por ejemplo, comparando la expansión del número racional en base 3 con la expansión 3 -ádica, ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$

Formalmente, dado un número primo p , un número p -ádico se puede definir como una serie

${\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots }$

donde k es un número entero (posiblemente negativo), y cada uno es un número entero tal que Un entero p -ádico es un número p -ádico tal que ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$ ${\displaystyle k\geq 0.}$

En general, la serie que representa un número p -ádico no es convergente en el sentido habitual, pero sí lo es para el valor absoluto p -ádico donde k es el menor entero i tal que (si todos son cero, uno tiene el cero p -número ádico, que tiene 0 como valor absoluto p -ádico). ${\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},}$ ${\displaystyle a_{i}\neq 0}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Cada número racional se puede expresar de forma única como la suma de una serie como se indicó anteriormente, con respecto al valor absoluto p -ádico. Esto permite considerar los números racionales como números p -ádicos especiales y, alternativamente, definir los números p -ádicos como la compleción de los números racionales para el valor absoluto p -ádico, exactamente como los números reales son la compleción de los números racionales para el valor absoluto p -ádico. valor absoluto.

Los números p -ádicos fueron descritos por primera vez por Kurt Hensel en 1897, ^[1] aunque, en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse como un uso implícito de números p -ádicos. ^{[nota 1]}

Motivación

En términos generales, la aritmética modular módulo un entero positivo n consiste en "aproximar" cada número entero por el resto de su división por n , llamado módulo residuo n . La principal propiedad de la aritmética modular es que el módulo de residuos n del resultado de una sucesión de operaciones sobre números enteros es el mismo que el resultado de la misma sucesión de operaciones sobre módulos de residuos n . Si se sabe que el valor absoluto del resultado es menor que n/2 , esto permite un cálculo del resultado que no involucra ningún número entero mayor que n .

Para obtener resultados más amplios, un método antiguo, todavía de uso común, consiste en utilizar varios módulos pequeños que son coprimos por pares y aplicar el teorema chino del resto para recuperar el resultado módulo o producto de los módulos.

Otro método descubierto por Kurt Hensel consiste en utilizar un módulo primo p y aplicar el lema de Hensel para recuperar iterativamente el módulo resultante. Si el proceso continúa infinitamente, esto proporciona eventualmente un resultado que es un número p -ádico. ${\displaystyle p^{2},p^{3},\ldots ,p^{n},\ldots }$

Lemas básicos

La teoría de los números p -ádicos se basa fundamentalmente en los dos lemas siguientes

Todo número racional distinto de cero se puede escribir donde v , m y n son números enteros y ni m ni n son divisibles por p . ${\textstyle p^{v}{\frac {m}{n}},}$ El exponente v está determinado únicamente por el número racional y se denomina valoración p -ádica (esta definición es un caso particular de una definición más general, que se proporciona a continuación). La prueba del lema resulta directamente del teorema fundamental de la aritmética .

Todo número racional distinto de cero r de valoración v se puede escribir de forma única donde s es un número racional de valoración mayor que v y a es un número entero tal que ${\displaystyle r=ap^{v}+s,}$ ${\displaystyle 0<a<p.}$

La prueba de este lema resulta de la aritmética modular : según el lema anterior, donde m y n son números enteros coprimos con p . El inverso modular de n es un número entero q tal que para algún número entero h . Por lo tanto, se tiene y La división euclidiana de por p da dónde ya que mq no es divisible por p . Entonces, ${\textstyle r=p^{v}{\frac {m}{n}},}$ ${\displaystyle nq=1+ph}$ ${\textstyle {\frac {1}{n}}=q-p{\frac {h}{n}},}$ ${\textstyle r=p^{v}mq-p^{v+1}{\frac {hm}{n}}.}$ ${\displaystyle mq}$ ${\displaystyle mq=pk+a}$ ${\displaystyle 0<a<p,}$

${\displaystyle r=ap^{v}+p^{v+1}{\frac {kn-hm}{n}},}$

cual es el resultado deseado.

Esto se puede iterar comenzando desde s en lugar de r , dando lo siguiente.

Dado un número racional distinto de cero r de valoración v y un entero positivo k , hay un número racional de valoración no negativa y k enteros no negativos definidos de forma única menores que p tales que y ${\displaystyle s_{k}}$ ${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{k-1}}$ ${\displaystyle a_{0}>0}$

${\displaystyle r=a_{0}p^{v}+a_{1}p^{v+1}+\cdots +a_{k-1}p^{v+k-1}+p^{v+k}s_{k}.}$

Los números p -ádicos se obtienen esencialmente continuando esto infinitamente para producir una serie infinita .

serie p -ádica

Los números p -ádicos se definen comúnmente mediante series p -ádicas.

Una serie p -ádica es una serie de potencias formal de la forma

${\displaystyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$

donde es un número entero y son números racionales que son cero o tienen una valoración no negativa (es decir, el denominador de no es divisible por p ). ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

Todo número racional puede verse como una serie p -ádica con un solo término distinto de cero, que consiste en su factorización de la forma con n y d ambos coprimos con p . ${\displaystyle p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$

Dos series p -ádicas y son equivalentes si existe un número entero N tal que, para todo número entero el número racional ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i}}$ ${\textstyle \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}}$ ${\displaystyle n>N,}$

${\displaystyle \sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}}$

es cero o tiene una valoración p -ádica mayor que n .

Una serie p -ádica está normalizada si todos son números enteros tales que y o todos son cero. En este último caso, la serie se llama serie cero . ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p,}$ ${\displaystyle a_{v}>0,}$ ${\displaystyle a_{i}}$

Cada serie p -ádica equivale exactamente a una serie normalizada. Esta serie normalizada se obtiene mediante una secuencia de transformaciones, que son equivalencias de series; ver § Normalización de una serie p-ádica, más abajo.

En otras palabras, la equivalencia de una serie p -ádica es una relación de equivalencia , y cada clase de equivalencia contiene exactamente una serie p -ádica normalizada .

Las operaciones habituales de series (suma, resta, multiplicación, división) son compatibles con la equivalencia de series p -ádicas. Es decir, denotando la equivalencia con ~ , si S , T y U son series p -ádicas distintas de cero tales que se tiene ${\displaystyle S\sim T,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}}$

Los números p -ádicos a menudo se definen como clases de equivalencia de series p -ádicas, de manera similar a la definición de los números reales como clases de equivalencia de secuencias de Cauchy . La propiedad de unicidad de la normalización permite representar de forma única cualquier número p -ádico mediante la correspondiente serie p -ádica normalizada . La compatibilidad de la equivalencia en serie conduce casi de inmediato a las propiedades básicas de p -números ádicos:

• La suma , la multiplicación y el inverso multiplicativo de números p -ádicos se definen como para series de potencias formales , seguidas de la normalización del resultado.
• Con estas operaciones, los números p -ádicos forman un campo , que es un campo de extensión de los números racionales.
• La valoración de un número p -ádico x distinto de cero , comúnmente denotado como el exponente de p en el primer término distinto de cero de la serie normalizada correspondiente; la valoración de cero es ${\displaystyle v_{p}(x)}$ ${\displaystyle v_{p}(0)=+\infty }$
• El valor absoluto p -ádico de un número p -ádico x distinto de cero , es para el número p -ádico cero , se tiene ${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v(x)};}$ ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

Normalización de una serie p -ádica

Comenzando con la serie, el primer lema anterior permite obtener una serie equivalente tal que la valoración p -ádica de sea cero. Para eso, se considera el primer valor distinto de cero. Si su valoración p -ádica es cero, basta con cambiar v en i , es decir, comenzar la suma desde v . En caso contrario, la valoración p -ádica de es y donde la valoración de es cero; entonces, se obtiene una serie equivalente cambiando a 0 y al iterar este proceso, eventualmente se obtiene, posiblemente después de una cantidad infinita de pasos, una serie equivalente que es la serie cero o es una serie tal que la valoración de es cero. ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$ ${\displaystyle r_{v}}$ ${\displaystyle r_{i}.}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle j>0,}$ ${\displaystyle r_{i}=p^{j}s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{i+j}}$ ${\displaystyle r_{i+j}+s_{i}.}$ ${\displaystyle r_{v}}$

Luego, si la serie no está normalizada, considere el primer distinto de cero que no sea un número entero en el intervalo. El segundo lema anterior permite escribirlo; se obtienen n series equivalentes al reemplazarlas y agregarlas. Iterar este proceso, posiblemente infinitas veces, eventualmente proporciona la serie p -ádica normalizada deseada . ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle [0,p-1].}$ ${\displaystyle r_{i}=a_{i}+ps_{i};}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle a_{i},}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle r_{i+1}.}$

Definición

Existen varias definiciones equivalentes de p -números ádicos. El que se da aquí es relativamente elemental, ya que no involucra otros conceptos matemáticos que los introducidos en las secciones anteriores. Otras definiciones equivalentes utilizan la finalización de un anillo de valoración discreto (ver § enteros p-ádicos), la finalización de un espacio métrico (ver § Propiedades topológicas) o límites inversos (ver § Propiedades modulares).

Un número p -ádico se puede definir como una serie p -ádica normalizada . Dado que existen otras definiciones equivalentes que se usan comúnmente, a menudo se dice que una serie p -ádica normalizada representa un número p -ádico, en lugar de decir que es un número p -ádico.

También se puede decir que cualquier serie p -ádica representa un número p -ádico, ya que cada serie p -ádica es equivalente a una serie p -ádica normalizada única . Esto es útil para definir operaciones (suma, resta, multiplicación, división) de números p -ádicos: el resultado de dicha operación se obtiene normalizando el resultado de la operación correspondiente en series. Esto define bien las operaciones sobre p -números ádicos, ya que las operaciones en serie son compatibles con la equivalencia de p -series ádicas.

Con estas operaciones, los números p -ádicos forman un campo llamado campo de números p -ádicos y denotado como o. Existe un homomorfismo de campo único de los números racionales a los números p -ádicos, que asigna un número racional a su expansión p -ádica. . La imagen de este homomorfismo se identifica comúnmente con el campo de los números racionales. Esto permite considerar los números p -ádicos como un campo de extensión de los números racionales, y los números racionales como un subcampo de los p -números ádicos. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}.}$

La valoración de un número p -ádico x distinto de cero , comúnmente denotado como el exponente de p en el primer término distinto de cero de cada serie p -ádica que representa x . Por convención, es decir, la valoración de cero es Esta valoración es una valoración discreta . La restricción de esta valoración a los números racionales es la valoración p -ádica de es decir, el exponente v en la factorización de un número racional como con n y d coprimos con p . ${\displaystyle v_{p}(x),}$ ${\displaystyle v_{p}(0)=\infty ;}$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle {\tfrac {n}{d}}p^{v},}$

p -enteros ádicos

Los enteros p -ádicos son los números p -ádicos con una valoración no negativa.

Un entero p -ádico se puede representar como una secuencia

${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$

de residuos x _e mod p ^e para cada entero e , satisfaciendo las relaciones de compatibilidad para i < j . ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$

Todo número entero es un entero p -ádico (incluido el cero, desde ). Los números racionales de la forma con d coprimos con p y también son enteros p -ádicos (debido a que d tiene un mod inverso p ^e para cada e ). ${\displaystyle 0<\infty }$ ${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 0}$

Los enteros p -ádicos forman un anillo conmutativo , denotado o , que tiene las siguientes propiedades. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$

• Es un dominio integral , ya que es un subanillo de un campo, o ya que el primer término de la representación en serie del producto de dos series p -ádicas distintas de cero es el producto de sus primeros términos.
• Las unidades (elementos invertibles) de son los p -números ádicos de valoración cero. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• Es un dominio ideal principal , tal que cada ideal es generado por una potencia de p .
• Es un anillo local de dimensión uno de Krull, ya que sus únicos ideales primos son el ideal cero y el ideal generado por p , el ideal máximo único .
• Es un anillo de valoración discreto , ya que resulta de las propiedades anteriores.
• Es la finalización del anillo local que es la localización del ideal primo. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}=\{{\tfrac {n}{d}}\mid n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} \},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$

La última propiedad proporciona una definición de los p -números ádicos que es equivalente a la anterior: el campo de los p -números ádicos es el campo de fracciones de la finalización de la localización de los números enteros en el ideal primo generado por p .

Propiedades topológicas

La valoración p -ádica permite definir un valor absoluto en números p -ádicos: el valor absoluto p -ádico de un número p -ádico distinto de cero x es

${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$

¿Dónde está la valoración p -ádica de x ? El valor absoluto p -ádico de es Este es un valor absoluto que satisface la desigualdad del triángulo fuerte ya que, para cada x e y se tiene ${\displaystyle v_{p}(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$si y solo si ${\displaystyle x=0;}$
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p}}$
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max(|x|_{p},|y|_{p})\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

Es más, si uno tiene ${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$ ${\displaystyle |x+y|_{p}=\max(|x|_{p},|y|_{p}).}$

Esto hace que los números p -ádicos sean un espacio métrico , e incluso un espacio ultramétrico , con la distancia p -ádica definida por ${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

Como espacio métrico, los números p -ádicos forman la compleción de los números racionales equipados con el valor absoluto p -ádico. Esto proporciona otra forma de definir los p -números ádicos. Sin embargo, la construcción general de una compleción se puede simplificar en este caso, porque la métrica se define mediante una valoración discreta (en resumen, se puede extraer de cada secuencia de Cauchy una subsecuencia tal que las diferencias entre dos términos consecutivos tengan valores absolutos estrictamente decrecientes). ; tal subsecuencia es la secuencia de las sumas parciales de una serie p -ádica y, por lo tanto, una única serie p -ádica normalizada puede asociarse a cada clase de equivalencia de secuencias de Cauchy; por lo tanto, para construir la terminación, basta con considerar normalizada series p -ádicas en lugar de clases de equivalencia de secuencias de Cauchy).

Como la métrica se define a partir de una valoración discreta, cada bola abierta también está cerrada . Más precisamente, la bola abierta es igual a la bola cerrada donde v es el menor entero tal que De manera similar, donde w es el mayor entero tal que ${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$ ${\displaystyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$ ${\displaystyle p^{-v}<r.}$ ${\displaystyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$ ${\displaystyle p^{-w}>r.}$

Esto implica que los números p -ádicos forman un espacio localmente compacto , y los enteros p -ádicos (es decir, la pelota) forman un espacio compacto . ${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$

p -expansión ádica de números racionales

La expansión decimal de un número racional positivo es su representación como una serie ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$

donde es un número entero y cada uno también es un número entero tal que Esta expansión se puede calcular mediante una división larga del numerador por el denominador, que a su vez se basa en el siguiente teorema: Si es un número racional tal que hay un número entero tal que y con La expansión decimal se obtiene aplicando repetidamente este resultado al resto que en la iteración asume el papel del número racional original . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$ ${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$ ${\displaystyle 10^{k}\leq r<10^{k+1},}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0<a<10,}$ ${\displaystyle r=a\,10^{k}+r',}$ ${\displaystyle r'<10^{k}.}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle r}$

La expansión p - ádica de un número racional se define de manera similar, pero con un paso de división diferente. Más precisamente, dado un número primo fijo , cada número racional distinto de cero se puede escribir de forma única como donde es un número entero (posiblemente negativo), y son enteros coprimos coprimos con y positivos. El número entero es la valoración p -ádica de , denotada y es su valor absoluto p -ádico , denotado (el valor absoluto es pequeño cuando la valoración es grande). El paso de división consiste en escribir ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle v_{p}(r),}$ ${\displaystyle p^{-k}}$ ${\displaystyle |r|_{p}}$

${\displaystyle r=a\,p^{k}+r'}$

donde es un número entero tal que y es cero o un número racional tal que (es decir, ). ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 0\leq a<p,}$ ${\displaystyle r'}$ ${\displaystyle |r'|_{p}<p^{-k}}$ ${\displaystyle v_{p}(r')>k}$

La expansión ádica de es la serie de potencias formales. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$

se obtiene repitiendo indefinidamente el paso de división anterior en restos sucesivos. En una expansión p -ádica, todos son números enteros tales que ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$

Si es con , el proceso se detiene eventualmente con un resto cero; en este caso, la serie se completa con términos finales con coeficiente cero, y es la representación de en base- p . ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{1}}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle r}$

La existencia y el cálculo de la expansión p -ádica de un número racional resultan de la identidad de Bézout de la siguiente manera. Si, como arriba, y y son coprimos, existen números enteros y tales que So ${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}},}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle td+up=1.}$

${\displaystyle r=p^{k}{\tfrac {n}{d}}(td+up)=p^{k}nt+p^{k+1}{\frac {un}{d}}.}$

Entonces, la división euclidiana de por da ${\displaystyle nt}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle nt=qp+a,}$

con Esto da el paso de división como ${\displaystyle 0\leq a<p.}$

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}r&=&p^{k}(qp+a)+p^{k+1}{\frac {un}{d}}\\&=&ap^{k}+p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}},\\\end{array}}}$

para que en la iteración

${\displaystyle r'=p^{k+1}\,{\frac {qd+un}{d}}}$

es el nuevo número racional.

La unicidad del paso de división y de toda la expansión p -ádica es fácil: si uno tiene Esto significa divide Desde y lo siguiente debe ser cierto: y Por lo tanto, uno obtiene y desde divide debe ser que ${\displaystyle p^{k}a_{1}+p^{k+1}s_{1}=p^{k}a_{2}+p^{k+1}s_{2},}$ ${\displaystyle a_{1}-a_{2}=p(s_{2}-s_{1}).}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{1}-a_{2}.}$ ${\displaystyle 0\leq a_{1}<p}$ ${\displaystyle 0\leq a_{2}<p,}$ ${\displaystyle 0\leq a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}<p.}$ ${\displaystyle -p<a_{1}-a_{2}<p,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a_{1}-a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=a_{2}.}$

La expansión p -ádica de un número racional es una serie que converge al número racional, si se aplica la definición de serie convergente con el valor absoluto p -ádico. En la notación p -ádica estándar, los dígitos se escriben en el mismo orden que en un sistema estándar de base p , es decir, con las potencias de la base aumentando hacia la izquierda. Esto significa que la producción de los dígitos se invierte y el límite ocurre en el lado izquierdo.

La expansión p -ádica de un número racional es eventualmente periódica . Por el contrario , una serie con converge (para el valor absoluto p -ádico) a un número racional si y sólo si finalmente es periódica; en este caso, la serie es la expansión p -ádica de ese número racional. La prueba es similar a la del resultado similar para decimales periódicos . ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$ ${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$

Ejemplo

Calculemos la expansión 5-ádica de la identidad de Bézout para 5 y el denominador 3 es (para ejemplos más amplios, esto se puede calcular con el algoritmo euclidiano extendido ). De este modo ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}.}$ ${\displaystyle 2\cdot 3+(-1)\cdot 5=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5({\frac {-1}{3}}).}$

Para el siguiente paso, hay que expandir (el factor 5 debe verse como un " desplazamiento " de la valoración p -ádica, similar a la base de cualquier expansión numérica y, por lo tanto, no debe expandirse). Para expandir , partimos de la misma identidad de Bézout y la multiplicamos por , dando ${\displaystyle -1/3}$ ${\displaystyle -1/3}$ ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=-2+{\frac {5}{3}}.}$

La "parte entera" no está en el intervalo correcto. Entonces, uno tiene que usar la división euclidiana para obtener dando ${\displaystyle -2}$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle -2=3-1\cdot 5,}$

${\displaystyle -{\frac {1}{3}}=3-5+{\frac {5}{3}}=3-{\frac {10}{3}}=3+5({\frac {-2}{3}}),}$

y la expansión en el primer paso se convierte en

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5\cdot (3+5\cdot ({\frac {-2}{3}}))=2+3\cdot 5+{\frac {-2}{3}}\cdot 5^{2}.}$

De manera similar, uno tiene

${\displaystyle -{\frac {2}{3}}=1-{\frac {5}{3}},}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5+1\cdot 5^{2}+{\frac {-1}{3}}\cdot 5^{3}.}$

Como ya se ha encontrado el "resto" , el proceso puede continuar fácilmente, dando coeficientes para potencias impares de cinco y para potencias pares . O en la notación estándar de 5 ádicos ${\displaystyle -{\tfrac {1}{3}}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}}$

con los puntos suspensivos en el lado izquierdo. ${\displaystyle \ldots }$

Notación posicional

Es posible utilizar una notación posicional similar a la que se utiliza para representar números en base p .

Sea una serie p -ádica normalizada , es decir, cada una es un número entero en el intervalo. Se puede suponer que estableciendo para (if ) y sumando los términos cero resultantes a la serie. ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle [0,p-1].}$ ${\displaystyle k\leq 0}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle 0\leq i<k}$ ${\displaystyle k>0}$

Si la notación posicional consiste en escribir los valores de i consecutivamente, ordenados decrecientemente , a menudo con p apareciendo a la derecha como índice: ${\displaystyle k\geq 0,}$ ${\displaystyle a_{i}}$

${\displaystyle \ldots a_{n}\ldots a_{1}{a_{0}}_{p}}$

Entonces, el cálculo del ejemplo anterior muestra que

${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5},}$

y

${\displaystyle {\frac {25}{3}}=\ldots 131313200_{5}.}$

Cuando se añade un punto de separación antes de los dígitos con índice negativo, y, si está presente el índice p , aparece justo después del punto de separación. Por ejemplo, ${\displaystyle k<0,}$

${\displaystyle {\frac {1}{15}}=\ldots 3131313._{5}2,}$

y

${\displaystyle {\frac {1}{75}}=\ldots 1313131._{5}32.}$

Si una representación p -ádica es finita a la izquierda (es decir, para valores grandes de i ), entonces tiene el valor de un número racional no negativo de la forma con números enteros. Estos números racionales son exactamente los números racionales no negativos que tienen una representación finita en base p . Para estos números racionales, las dos representaciones son iguales. ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\displaystyle np^{v},}$ ${\displaystyle n,v}$

Propiedades modulares

El anillo cociente se puede identificar con el anillo de los enteros módulo. Esto se puede demostrar observando que todo p -ádico entero, representado por su serie p -ádica normalizada, es congruente módulo con su suma parcial cuyo valor es un número entero en el intervalo Una verificación sencilla muestra que esto define un isomorfismo de anillo de a ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p^{n}.}$ ${\displaystyle p^{n}}$ ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$ ${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

El límite inverso de los anillos se define como el anillo formado por las secuencias tales que y para cada i . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$ ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$ ${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$

El mapeo que mapea una serie p -ádica normalizada a la secuencia de sus sumas parciales es un isomorfismo de anillo desde hasta el límite inverso de Esto proporciona otra forma de definir enteros p -ádicos ( hasta un isomorfismo). ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$

Esta definición de enteros p -ádicos es especialmente útil para cálculos prácticos, ya que permite construir enteros p -ádicos mediante aproximaciones sucesivas.

Por ejemplo, para calcular el inverso p -ádico (multiplicativo) de un número entero, se puede utilizar el método de Newton , partiendo del módulo inverso p ; luego, cada paso de Newton calcula el módulo inverso del módulo inverso ${\textstyle p^{n^{2}}}$ ${\textstyle p^{n}.}$

Se puede utilizar el mismo método para calcular la raíz cuadrada p -ádica de un número entero que es un módulo de residuo cuadrático p . Este parece ser el método más rápido conocido para comprobar si un número entero grande es un cuadrado: basta con comprobar si el número entero dado es el cuadrado del valor encontrado en . Aplicar el método de Newton para encontrar la raíz cuadrada requiere que sea mayor que el doble del número entero dado, lo cual se cumple rápidamente. ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$ ${\textstyle p^{n}}$

El levantamiento de Hensel es un método similar que permite "elevar" el módulo de factorización p de un polinomio con coeficientes enteros a un módulo de factorización para valores grandes de n . Esto se utiliza comúnmente en los algoritmos de factorización polinomial . ${\textstyle p^{n}}$

Notación

Existen varias convenciones diferentes para escribir expansiones p -ádicas. Hasta ahora, este artículo ha utilizado una notación para p -expansiones ádicas en las que las potencias de p aumentan de derecha a izquierda. Con esta notación de derecha a izquierda, la expansión de 3 ádicos de, por ejemplo, se escribe como ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$

Al realizar aritmética en esta notación, los dígitos se llevan hacia la izquierda. También es posible escribir expansiones p -ádicas de modo que las potencias de p aumenten de izquierda a derecha y los dígitos se lleven hacia la derecha. Con esta notación de izquierda a derecha, la expansión de 3 ádicos es ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$

Las expansiones p -ádicas se pueden escribir con otros conjuntos de dígitos en lugar de {0, 1, ...,  p  − 1 }. Por ejemplo, la expansión ádica de 3 se puede escribir usando dígitos ternarios balanceados { 1 , 0, 1 }, donde 1 representa uno negativo, como ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}$

De hecho, cualquier conjunto de p números enteros que estén en distintas clases de residuos módulo p puede usarse como p -dígitos ádicos. En teoría de números, los representantes de Teichmüller se utilizan a veces como dígitos. ^[2]

La notación entre comillas es una variante de larepresentaciónpnúmeros racionalespropuesta en 1979 porEric HehneryNigel Horspoolpara implementar en las computadoras la aritmética (exacta) con estos números.^[3]

Cardinalidad

Ambos y son incontables y tienen la cardinalidad del continuo . ^[4] Porque esto resulta de la representación p -ádica, que define una biyección de en el conjunto de potencias . Para esto resulta de su expresión como una unión contablemente infinita de copias de : ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$

cierre algebraico

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$contiene y es un campo de característica 0 . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Debido a que 0 se puede escribir como suma de cuadrados, ^[5] no se puede convertir en un campo ordenado . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

El cuerpo de los números reales tiene una única extensión algebraica propia : los números complejos . En otras palabras, esta extensión cuadrática ya es algebraicamente cerrada . Por el contrario, la clausura algebraica de , denotada tiene grado infinito, ^[6] es decir, tiene infinitas extensiones algebraicas no equivalentes. Contrastando también el caso de los números reales, aunque existe una extensión única de la valoración p -ádica , estos últimos no son (métricamente) completos. ^{[7] [8]} Su finalización (métrica) se llama o . ^{[8] [9]} Aquí se alcanza un fin, ya que algebraicamente está cerrado. ^{[8] [10]} Sin embargo, a diferencia de este campo, no es localmente compacto . ^[9] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \Omega _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$y son isomórficos como anillos ^[11] , por lo que podemos considerarlos dotados de una métrica exótica. La prueba de la existencia de tal isomorfismo de campo se basa en el axioma de elección y no proporciona un ejemplo explícito de tal isomorfismo (es decir, no es constructivo ). ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Si hay alguna extensión finita de Galois , el grupo de Galois tiene solución . Por tanto, el grupo de Galois es solucionable . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} \left({\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}\right)}$

grupo multiplicativo

${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$contiene el n -ésimo campo ciclotómico ( n > 2 ) si y sólo si n  | pag - 1 . ^[12] Por ejemplo, el n -ésimo campo ciclotómico es un subcampo de si y solo si n = 1, 2, 3, 4, 6 o 12 . En particular, no hay p - torsión multiplicativa si p > 2 . Además, −1 es el único elemento de torsión no trivial en . ${\displaystyle \mathbb {Q} _{13}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$

Dado un número natural k , el índice del grupo multiplicativo de las k -ésimas potencias de los elementos distintos de cero de in es finito. ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$

El número e , definido como la suma de recíprocos de factoriales , no es miembro de ningún campo p -ádico; pero para . Para p = 2 se debe tomar al menos la cuarta potencia. ^[13] (Por lo tanto, un número con propiedades similares a e , es decir, una raíz p -ésima de e ^p , es miembro de para todo p ). ${\displaystyle e^{p}\in \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

Principio local-global

Se dice que el principio local-global de Helmut Hasse se cumple para una ecuación si se puede resolver con números racionales si y sólo si se puede resolver con números reales y con números p -ádicos para todo primo  p . Este principio es válido, por ejemplo, para ecuaciones dadas por formas cuadráticas , pero falla para polinomios superiores en varios indeterminados.

Aritmética racional con levantamiento de Hensel

Generalizaciones y conceptos relacionados.

Los números reales y p -ádicos son las terminaciones de los racionales; También es posible completar otros campos, por ejemplo campos numéricos algebraicos generales , de forma análoga. Esto se describirá ahora.

Supongamos que D es un dominio de Dedekind y E es su campo de fracciones . Elija un ideal primo distinto de cero P de D . Si x es un elemento distinto de cero de E , entonces xD es un ideal fraccionario y puede factorizarse de forma única como un producto de potencias positivas y negativas de ideales primos distintos de cero de D. Escribimos ord _P ( x ) para el exponente de P en esta factorización, y para cualquier elección de número c mayor que 1 podemos establecer

${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$

Completando respecto de este valor absoluto |⋅| _P produce un campo EP _, la generalización adecuada del campo de p -números ádicos para esta configuración. La elección de c no cambia la terminación (diferentes opciones producen el mismo concepto de secuencia de Cauchy, por lo tanto, la misma terminación). Es conveniente, cuando el campo residuo D / P es finito, tomar para c el tamaño de D / P .

Por ejemplo, cuando E es un cuerpo numérico , el teorema de Ostrowski dice que todo valor absoluto no trivial no de Arquímedes en E surge como algún |⋅| _PAG . Los valores absolutos restantes no triviales de E surgen de las diferentes incrustaciones de E en números reales o complejos. (De hecho, los valores absolutos no de Arquímedes pueden considerarse simplemente como las diferentes incrustaciones de E en los campos C _p , poniendo así la descripción de todos los valores absolutos no triviales de un campo numérico en una base común.)

A menudo, es necesario realizar un seguimiento simultáneo de todas las completaciones mencionadas anteriormente cuando E es un campo numérico (o más generalmente un campo global ), que se considera que codifica información "local". Esto lo logran los anillos adele y los grupos idele .

Los enteros p -ádicos se pueden extender a solenoides p -ádicos . Hay un mapa desde hasta el grupo circular cuyas fibras son los enteros p -ádicos , en analogía con cómo hay un mapa desde hasta el círculo cuyas fibras son . ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ver también

• No Arquímedes
• mecánica cuántica p-ádica
• Teoría p-ádica de Hodge
• teoría p-ádica de Teichmuller
• análisis p-ádico
• valoración p-ádica
• 1+2+4+8+...
• notación k -ádica
• Teoría C-mínimo
• Lema de Hensel
• Campo localmente compacto
• teorema de mahler
• Entero finito
• Integral de Volkenborn
• complemento a dos

Notas a pie de página

Notas

1. Introducción del traductor, página 35: "De hecho, en retrospectiva, se hace evidente que hay una valoración discreta detrás del concepto de números ideales de Kummer". (Dedekind y Weber 2012, p. 35)

Citas

1. (Hensel 1897)
2. (Hazewinkel 2009, pag. 342)
3. (Hehner y Horspool 1979, págs. 124-134)
4. (Robert 2000, Capítulo 1 Sección 1.1)
5. Según el lema de Hensel contiene una raíz cuadrada de −7 , de modo que y si p > 2 entonces también según el lema de Hensel contiene una raíz cuadrada de 1 − p , por lo tanto ${\displaystyle \mathbb {Q} _{2}}$ ${\displaystyle 2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}+\left({\sqrt {-7}}\right)^{2}=0,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ ${\displaystyle (p-1)\times 1^{2}+\left({\sqrt {1-p}}\right)^{2}=0.}$
6. (Gouvêa 1997, Corolario 5.3.10)
7. (Gouvêa 1997, Teorema 5.7.4)
8. (Cassels 1986, pag. 149)
9. (Koblitz 1980, pag.13)
10. (Gouvêa 1997, Proposición 5.7.8)
11. Dos campos algebraicamente cerrados son isomorfos si y solo si tienen la misma característica y grado de trascendencia (ver, por ejemplo, Álgebra X §1 de Lang), y ambos tienen la característica cero y la cardinalidad del continuo. ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
12. (Gouvêa 1997, Proposición 3.4.2)
13. (Robert 2000, sección 4.1)

Referencias

• Cassels, JWS (1986), Campos locales , Textos estudiantiles de la Sociedad Matemática de Londres, vol. 3, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 0-521-31525-5, Zbl  0595.12006
• Dedekind, Richard ; Weber, Heinrich (2012), Teoría de funciones algebraicas de una variable , Historia de las matemáticas, vol. 39, Sociedad Estadounidense de Matemáticas, ISBN 978-0-8218-8330-3. — Traducción al inglés de John Stillwell de Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
• Gouvêa, FQ (marzo de 1994), "A Marvelous Proof", American Mathematical Monthly , 101 (3): 203–222, doi :10.2307/2975598, JSTOR  2975598
• Gouvea, Fernando Q. (1997),Números p -ádicos: Introducción (2ª ed.), Springer, ISBN 3-540-62911-4, Zbl  0874.11002
• Hazewinkel, M., ed. (2009), Manual de álgebra, vol. 6, Holanda Septentrional, pág. 342, ISBN 978-0-444-53257-2
• Hehner, Eric CR ; Horspool, R. Nigel (1979), "Una nueva representación de los números racionales para una aritmética rápida y sencilla", SIAM Journal on Computing , 8 (2): 124–134, CiteSeerX  10.1.1.64.7714 , doi :10.1137/0208011
• Hensel, Kurt (1897), "Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 6 (3): 83–88
• Kelley, John L. (2008) [1955], Topología general , Nueva York: Ishi Press, ISBN 978-0-923891-55-8
• Koblitz, Neal (1980),Análisis p -ádico: un curso breve sobre trabajos recientes , Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society, vol. 46, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 0-521-28060-5, Zbl  0439.12011
• Robert, Alain M. (2000), Un curso de análisis p -ádico , Springer, ISBN 0-387-98669-3

Otras lecturas

• Bachman, George (1964), Introducción a los números p -ádicos y la teoría de la valoración , Academic Press, ISBN 0-12-070268-1
• Borevich, ZI ; Shafarevich, IR (1986), Teoría de números, matemáticas puras y aplicadas, vol. 20, Boston, MA: Prensa académica, ISBN 978-0-12-117851-2, SEÑOR  0195803
• Koblitz, Neal (1984),Números p -ádicos, Análisis p -ádico y Funciones Zeta , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 58 (2ª ed.), Springer, ISBN 0-387-96017-1
• Mahler, Kurt (1981), números p-ádicos y sus funciones , Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 76 (2ª ed.), Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-23102-7, Zbl  0444.12013
• Steen, Lynn Arthur (1978), Contraejemplos en topología , Dover, ISBN 0-486-68735-X

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número p-ádico". MundoMatemático .
• número p-ádico en la Enciclopedia de Matemáticas en línea Springer