En matemáticas , especialmente en el área de teoría de grupos del álgebra , el grupo lineal proyectivo (también conocido como grupo lineal general proyectivo o PGL) es la acción inducida del grupo lineal general de un espacio vectorial V sobre el espacio proyectivo asociado P( V ). Explícitamente, el grupo lineal proyectivo es el grupo cociente
donde GL( V ) es el grupo lineal general de V y Z( V ) es el subgrupo de todas las transformaciones escalares distintas de cero de V ; estos están cocientes porque actúan trivialmente sobre el espacio proyectivo y forman el núcleo de la acción, y la notación "Z" refleja que las transformaciones escalares forman el centro del grupo lineal general.
El grupo lineal especial proyectivo , PSL, se define de manera análoga como la acción inducida del grupo lineal especial sobre el espacio proyectivo asociado. Explícitamente:
donde SL( V ) es el grupo lineal especial sobre V y SZ( V ) es el subgrupo de transformaciones escalares con determinante unitario . Aquí SZ es el centro de SL, y se identifica naturalmente con el grupo de n -ésimas raíces de la unidad en F (donde n es la dimensión de V y F es el campo base ).
PGL y PSL son algunos de los grupos fundamentales de estudio, parte de los llamados grupos clásicos , y un elemento del PGL se denomina transformación lineal proyectiva , transformación proyectiva u homografía . Si V es el espacio vectorial de n dimensiones sobre un campo F , es decir, V = F n , también se utilizan las notaciones alternativas PGL( n , F ) y PSL( n , F ) .
Tenga en cuenta que PGL( n , F ) y PSL ( n , F ) son isomorfos si y solo si cada elemento de F tiene una raíz n- ésima en F. Como ejemplo, observe que PGL(2, C ) = PSL(2, C ) , pero que PGL(2, R ) > PSL(2, R ) ; [1] esto corresponde a que la línea proyectiva real sea orientable, y que el grupo lineal especial proyectivo sea solo las transformaciones que preservan la orientación.
PGL y PSL también se pueden definir sobre un anillo , siendo un ejemplo importante el grupo modular , PSL(2, Z ) .
El nombre proviene de geometría proyectiva , donde el grupo proyectivo que actúa sobre coordenadas homogéneas ( x 0 : x 1 : ... : x n ) es el grupo subyacente de la geometría. [nota 1] Dicho de otra manera, la acción natural de GL( V ) sobre V desciende a una acción de PGL( V ) sobre el espacio proyectivo P ( V ).
Por lo tanto, los grupos lineales proyectivos generalizan el caso PGL(2, C ) de las transformaciones de Möbius (a veces llamado grupo de Möbius ), que actúa sobre la línea proyectiva .
Tenga en cuenta que, a diferencia del grupo lineal general, que generalmente se define axiomáticamente como "funciones invertibles que preservan la estructura lineal (espacio vectorial), el grupo lineal proyectivo se define de manera constructiva, como un cociente del grupo lineal general del espacio vectorial asociado, en lugar de que axiomáticamente como "funciones invertibles que preservan la estructura lineal proyectiva". Esto se refleja en la notación: PGL( n , F ) es el grupo asociado a GL( n , F ) , y es el grupo lineal proyectivo del espacio proyectivo ( n − 1) -dimensional, no del espacio proyectivo n -dimensional.
Un grupo relacionado es el grupo de colineación , que se define axiomáticamente. Una colineación es un mapa invertible (o más generalmente uno a uno) que envía puntos colineales a puntos colineales. Se puede definir un espacio proyectivo axiomáticamente en términos de una estructura de incidencia (un conjunto de puntos P , líneas L y una relación de incidencia I que especifica qué puntos se encuentran en qué líneas) que satisfacen ciertos axiomas; entonces se define un automorfismo de un espacio proyectivo así definido. un automorfismo f del conjunto de puntos y un automorfismo g del conjunto de líneas, preservando la relación de incidencia, [nota 2] que es exactamente una colineación de un espacio consigo mismo. Las transformaciones lineales proyectivas son colineaciones (los planos en un espacio vectorial corresponden a líneas en el espacio proyectivo asociado, y las transformaciones lineales asignan planos a planos, por lo que las transformaciones lineales proyectivas asignan líneas a líneas), pero en general no todas las colineaciones son transformadas lineales proyectivas – PGL es en general un subgrupo adecuado del grupo de colineación.
Específicamente, para n = 2 (una línea proyectiva), todos los puntos son colineales, por lo que el grupo de colineación es exactamente el grupo simétrico de los puntos de la línea proyectiva, y excepto F 2 y F 3 (donde PGL es el grupo simétrico completo ), PGL es un subgrupo propio del grupo simétrico completo en estos puntos.
Para n ≥ 3 , el grupo de colineación es el grupo semilineal proyectivo , PΓL; esto es PGL, retorcido por automorfismos de campo ; formalmente, PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ) , donde k es el campo primo de K ; este es el teorema fundamental de la geometría proyectiva . Así, para K un campo primo ( F p o Q ), tenemos PGL = PΓL , pero para K un campo con automorfismos de Galois no triviales (como F p n para n ≥ 2 o C ), el grupo lineal proyectivo es un subgrupo adecuado del grupo de colineación, que puede considerarse como "transformaciones que preservan una estructura semilineal proyectiva ". En consecuencia, el grupo de cocientes PΓL / PGL = Gal( K / k ) corresponde a "elecciones de estructura lineal", siendo la identidad (punto base) la estructura lineal existente.
También se pueden definir grupos de colineación para espacios proyectivos definidos axiomáticamente, donde no existe una noción natural de una transformación lineal proyectiva . Sin embargo, con la excepción de los planos no desarguesianos , todos los espacios proyectivos son la proyectivización de un espacio lineal sobre un anillo de división aunque, como se señaló anteriormente, existen múltiples opciones de estructura lineal, a saber, un torsor sobre Gal ( K / k ). (para norte ≥ 3 ).
Los elementos de un grupo lineal proyectivo pueden entenderse como "inclinar el plano" a lo largo de uno de los ejes y luego proyectarse al plano original, y también tienen dimensión n .
Una forma geométrica más familiar de entender las transformaciones proyectivas es a través de rotaciones proyectivas (los elementos de PSO( n + 1) ), que corresponde a la proyección estereográfica de rotaciones de la hiperesfera unitaria, y tiene dimensión . Visualmente, esto corresponde a pararse en el origen (o colocar una cámara en el origen), girar el ángulo de visión y luego proyectar sobre un plano. Las rotaciones en ejes perpendiculares al hiperplano preservan el hiperplano y producen una rotación del hiperplano (un elemento de SO( n ), que tiene dimensión .), mientras que las rotaciones en ejes paralelos al hiperplano son mapas proyectivos adecuados y representan el resto. n dimensiones.
En cuanto a las transformaciones de Möbius , el grupo PGL(2, K ) puede interpretarse como transformaciones lineales fraccionarias con coeficientes en K. Los puntos en la línea proyectiva sobre K corresponden a pares de K 2 , siendo dos pares equivalentes cuando son proporcionales. Cuando la segunda coordenada es distinta de cero, un punto se puede representar mediante [ z , 1] . Entonces cuando ad − bc ≠ 0 , la acción de PGL(2, K ) es por transformación lineal:
De esta manera, las transformaciones sucesivas se pueden escribir como multiplicación correcta por dichas matrices, y la multiplicación de matrices se puede utilizar para el producto grupal en PGL(2, K ) .
Los grupos lineales especiales proyectivos PSL( n , F q ) para un campo finito F q a menudo se escriben como PSL( n , q ) o L n ( q ). Son grupos finitos simples siempre que n sea al menos 2, con dos excepciones: [2] L 2 (2), que es isomorfo a S 3 , el grupo simétrico de 3 letras, y tiene solución ; y L 2 (3), que es isomorfo a A 4 , el grupo alterno de 4 letras, y también tiene solución. Se puede entender que estos isomorfismos excepcionales surgen de la acción sobre la línea proyectiva.
Los grupos lineales especiales SL( n , q ) son, por tanto , cuasi simples : extensiones centrales perfectas de un grupo simple (a menos que n = 2 y q = 2 o 3).
Los grupos PSL(2, p ) para cualquier número primo p fueron construidos por Évariste Galois en la década de 1830, y eran la segunda familia de grupos finitos simples , después de los grupos alternos . [3] Galois los construyó como transformaciones lineales fraccionarias y observó que eran simples excepto si p era 2 o 3; esto está contenido en su última carta a Chevalier. [4] En la misma carta y manuscritos adjuntos, Galois también construyó el grupo lineal general sobre un campo primo , GL( ν , p ) , al estudiar el grupo de Galois de la ecuación general de grado p ν .
Los grupos PSL( n , q ) ( n general , campo finito general) para cualquier potencia prima q se construyeron luego en el texto clásico de 1870 de Camille Jordan , Traité des substitutions et des équations algébriques .
El orden de PGL( n , q ) es
que corresponde al orden de GL( n , q ) , dividido por q − 1 para proyectivización; ver q -analógico para una discusión de tales fórmulas. Tenga en cuenta que el grado es n 2 − 1 , lo que concuerda con la dimensión como grupo algebraico. La "O" es para notación O grande , que significa "términos que involucran orden inferior". Esto también es igual al orden de SL( n , q ) ; allí dividir por q − 1 se debe al determinante.
El orden de PSL( n , q ) es el orden de PGL( n , q ) como arriba, dividido por mcd( n , q − 1) . Esto es igual a | SZ( norte , q ) | , el número de matrices escalares con determinante 1; | F × / ( F × ) n |, el número de clases de elementos que no tienen una raíz n ; y también es el número de n -ésimas raíces de la unidad en F q . [nota 4]
Además de los isomorfismos
Existen otros isomorfismos excepcionales entre grupos lineales especiales proyectivos y grupos alternos (todos estos grupos son simples, ya que el grupo alterno de 5 o más letras es simple):
El isomorfismo L 2 (9) ≅ A 6 permite ver el exótico automorfismo externo de A 6 en términos de automorfismo de campo y operaciones matriciales. El isomorfismo L 4 (2) ≅ A 8 es de interés en la estructura del grupo de Mathieu M 24 .
Las extensiones asociadas SL( n , q ) → PSL( n , q ) cubren grupos de los grupos alternos ( extensiones centrales perfectas universales ) para A 4 , A 5 , por la unicidad de la extensión central perfecta universal; para L 2 (9) ≅ A 6 , la extensión asociada es una extensión central perfecta, pero no universal: hay un grupo de cobertura triple .
Los grupos sobre F 5 tienen una serie de isomorfismos excepcionales:
También se pueden utilizar para construir un mapa exótico S 5 → S 6 , como se describe a continuación. Sin embargo, tenga en cuenta que GL(2, 5) no es una cubierta doble de S 5 , sino más bien una cubierta cuádruple.
Otro isomorfismo es:
Los isomorfismos excepcionales anteriores que involucran a los grupos lineales especiales proyectivos son casi todos los isomorfismos excepcionales entre familias de grupos simples finitos; el único otro isomorfismo excepcional es PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3), entre un grupo unitario especial proyectivo y un grupo simpléctico proyectivo . [3]
Algunos de los mapas anteriores se pueden ver directamente en términos de la acción de PSL y PGL en la línea proyectiva asociada: PGL( n , q ) actúa sobre el espacio proyectivo P n −1 ( q ), que tiene ( q n − 1 )/( q − 1) puntos, y esto produce un mapa del grupo lineal proyectivo al grupo simétrico en ( q n − 1)/( q − 1) puntos. Para n = 2 , esta es la recta proyectiva P 1 ( q ) que tiene ( q 2 − 1)/( q − 1) = q + 1 puntos, por lo que hay un mapa PGL(2, q ) → S q + 1 .
Para comprender estos mapas, es útil recordar estos hechos:
Por tanto, la imagen es un subgrupo de 3 transitivos de orden conocido, lo que permite identificarla. Esto produce los siguientes mapas:
Mientras que PSL( n , q ) actúa naturalmente sobre ( q n − 1)/( q − 1) = 1 + q + ... + q n −1 puntos, las acciones no triviales en menos puntos son más raras. De hecho, PSL(2, p ) actúa de manera no trivial en p puntos si y solo si p = 2 , 3, 5, 7 u 11; para 2 y 3 el grupo no es simple, mientras que para 5, 7 y 11, el grupo es simple; además, no actúa de manera no trivial en menos de p puntos. [nota 5] Esto fue observado por primera vez por Évariste Galois en su última carta a Chevalier, 1832. [7]
Esto se puede analizar de la siguiente manera; observe que para 2 y 3 la acción no es fiel (es un cociente no trivial y el grupo PSL no es simple), mientras que para 5, 7 y 11 la acción es fiel (ya que el grupo es simple y la acción no es trivial), y produce una incrustación en S p . En todos los casos excepto en el último, PSL(2, 11) , corresponde a un isomorfismo excepcional, donde el grupo más a la derecha tiene una acción obvia en p puntos:
Además, L 2 (7) y L 2 (11) tienen dos acciones no equivalentes en p puntos; geométricamente, esto se realiza mediante la acción sobre un biplano, que tiene p puntos y p bloques; la acción sobre los puntos y la acción sobre los bloques son ambas acciones sobre p puntos, pero no conjugadas (tienen diferentes estabilizadores de puntos); en cambio, están relacionados por un automorfismo externo del grupo. [9]
Más recientemente, estas tres últimas acciones excepcionales han sido interpretadas como un ejemplo de la clasificación ADE : [10] estas acciones corresponden a productos (como conjuntos, no como grupos) de los grupos como A 4 × Z / 5 Z , S 4 × Z /7 Z , y A 5 × Z /11 Z , donde los grupos A 4 , S 4 y A 5 son los grupos de isometría de los sólidos platónicos , y corresponden a E 6 , E 7 y E 8 según la correspondencia de McKay. . Estos tres casos excepcionales también se realizan como geometrías de poliedros (equivalentemente, mosaicos de superficies de Riemann ), respectivamente: el compuesto de cinco tetraedros dentro del icosaedro (esfera, género 0), el biplano de orden 2 ( plano de Fano complementario ) dentro del Klein cuártico (género 3), y el biplano de orden 3 ( biplano de Paley ) dentro de la superficie de buckyball (género 70). [11] [12]
La acción de L 2 (11) puede verse algebraicamente como debida a una inclusión excepcional L 2 (5) L 2 (11) – hay dos clases de conjugación de subgrupos de L 2 (11) que son isomorfos a L 2 (5 ), cada uno con 11 elementos: la acción de L 2 (11) por conjugación sobre estos es una acción sobre 11 puntos y, además, las dos clases de conjugación están relacionadas por un automorfismo externo de L 2 (11). (Lo mismo ocurre con los subgrupos de L 2 (7) isomorfos a S 4 , y esto también tiene una geometría biplana).
Geométricamente, esta acción se puede entender a través de una geometría biplana , que se define de la siguiente manera. Una geometría biplana es un diseño simétrico (un conjunto de puntos y un número igual de "líneas", o más bien bloques) tal que cualquier conjunto de dos puntos está contenido en dos líneas, mientras que dos líneas cualesquiera se cruzan en dos puntos; esto es similar a un plano proyectivo finito, excepto que en lugar de dos puntos que determinan una línea (y dos líneas que determinan un punto), determinan dos líneas (respectivamente, puntos). En este caso (el biplano de Paley , obtenido del dígrafo de Paley de orden 11), los puntos son la línea afín (el campo finito) F 11 , donde la primera línea se define como los cinco residuos cuadráticos distintos de cero (puntos que son cuadrados: 1, 3, 4, 5, 9), y las otras líneas son las traducciones afines de esto (agregue una constante a todos los puntos). L 2 (11) es entonces isomorfo al subgrupo de S 11 que conserva esta geometría (envía líneas a líneas), dando un conjunto de 11 puntos sobre los que actúa – en realidad dos: los puntos o las líneas, que corresponde a la automorfismo externo, mientras que L 2 (5) es el estabilizador de una línea dada, o dualmente de un punto dado.
Más sorprendentemente, el espacio lateral L 2 (11) / ( Z / 11 Z ), que tiene orden 660/11 = 60 (y sobre el cual actúa el grupo icosaédrico) tiene naturalmente la estructura de una bola de buckey , que se utiliza en la construcción. de la superficie de la buckybola .
El grupo PSL(3, 4) se puede utilizar para construir el grupo de Mathieu M 24 , uno de los grupos simples esporádicos ; en este contexto, uno se refiere a PSL(3, 4) como M 21 , aunque no es propiamente un grupo de Mathieu en sí. Se comienza con el plano proyectivo sobre el campo de cuatro elementos, que es un sistema Steiner de tipo S(2, 5, 21) , es decir, que tiene 21 puntos, cada línea ("bloque", en terminología Steiner) tiene 5 puntos. , y 2 puntos cualesquiera determinan una línea, y sobre la cual actúa PSL(3, 4) . Uno llama a este sistema Steiner W 21 ("W" para Witt ), y luego lo expande a un sistema Steiner más grande W 24 , expandiendo el grupo de simetría a lo largo del camino: al grupo lineal general proyectivo PGL(3, 4) , luego a el grupo semilineal proyectivo PΓL(3, 4) , y finalmente al grupo de Mathieu M 24 .
M 24 también contiene copias de PSL(2, 11) , que es máximo en M 22 , y PSL(2, 23) , que es máximo en M 24 , y puede usarse para construir M 24 . [13]
Los grupos PSL surgen como grupos de Hurwitz (grupos de automorfismo de superficies de Hurwitz - curvas algebraicas de grupo posiblemente máximo de simetría). La superficie de Hurwitz del género más bajo, el cuártico de Klein (género 3), tiene un grupo de automorfismo isomorfo a PSL(2, 7) (equivalentemente GL(3, 2) ), mientras que la superficie de Hurwitz del segundo género más bajo, la superficie de Macbeath ( género 7), tiene un grupo de automorfismo isomorfo a PSL(2, 8) .
De hecho, muchos, pero no todos, los grupos simples surgen como grupos de Hurwitz (incluido el grupo de monstruos , aunque no todos los grupos alternos o esporádicos), aunque el PSL se destaca por incluir los grupos más pequeños.
Los grupos PSL(2, Z / n Z ) surgen al estudiar el grupo modular , PSL(2, Z ) , como cocientes al reducir todos los elementos mod n ; los núcleos se denominan subgrupos principales de congruencia .
Un subgrupo digno de mención del grupo lineal proyectivo general PGL(2, Z ) (y del grupo lineal proyectivo especial PSL(2, Z [ i ]) ) son las simetrías del conjunto {0, 1, ∞} ⊂ P 1 ( C ) [nota 6] que se conoce como grupo anarmónico , y surge como las simetrías de las seis relaciones cruzadas . El subgrupo puede expresarse como transformaciones lineales fraccionarias o representarse (de forma no única) mediante matrices, como:
Tenga en cuenta que la fila superior es la identidad y los dos ciclos de 3, y preservan la orientación, formando un subgrupo en PSL(2, Z ) , mientras que la fila inferior son los tres ciclos de 2, y están en PGL(2, Z ) y PSL(2, Z [ i ]) , pero no en PSL(2, Z ) , por lo que se realizan como matrices con determinante −1 y coeficientes enteros, o como matrices con determinante 1 y coeficientes enteros gaussianos .
Esto se asigna a las simetrías de {0, 1, ∞} ⊂ P 1 ( n ) bajo reducción mod n . En particular, para n = 2 , este subgrupo se asigna isomórficamente a PGL(2, Z / 2 Z ) = PSL(2, Z / 2 Z ) ≅ S 3 , [nota 7] y, por lo tanto, proporciona una división PGL(2, Z / 2 Z ) PGL(2, Z ) para el mapa de cocientes PGL(2, Z ) PGL(2, Z / 2 Z ) .
Los puntos fijos de ambos 3 ciclos son las razones cruzadas "más simétricas", las soluciones de x 2 − x + 1 (las sextas raíces primitivas de la unidad ). Los 2 ciclos los intercambian, como lo hacen con cualquier punto distinto de sus puntos fijos, lo que realiza el mapa cociente S 3 → S 2 por la acción grupal en estos dos puntos. Es decir, el subgrupo C 3 < S 3 que consta de la identidad y los 3 ciclos, {(), (0 1 ∞), (0 ∞ 1)} , fija estos dos puntos, mientras que los otros elementos los intercambian.
Los puntos fijos de los 2 ciclos individuales son, respectivamente, −1, 1/2, 2, y este conjunto también se conserva y permuta por los 3 ciclos. Esto corresponde a la acción de S 3 sobre los 2 ciclos (sus 2 subgrupos de Sylow ) por conjugación y realiza el isomorfismo con el grupo de automorfismos internos , S 3. Posada(S 3 ) ≅ S 3 .
Geométricamente, esto se puede visualizar como el grupo de rotación de la bipirámide triangular , que es isomorfo al grupo diédrico del triángulo D 3 ≅ S 3 ; ver grupo anarmónico .
Sobre los números reales y complejos, la topología de PGL y PSL se puede determinar a partir de los haces de fibras que los definen:
a través de la secuencia larga y exacta de una fibración .
Tanto para los reales como para los complejos, SL es un espacio de cobertura de PSL, con un número de hojas igual al número de n -ésimas raíces en K ; así, en particular, todos sus grupos de homotopía superior están de acuerdo. Para los reales, SL es una cobertura doble de PSL para n par, y es una cobertura simple para n impar, es decir, un isomorfismo:
Para los complejos, SL es una cobertura de n veces de PSL.
Para PGL, para los reales, la fibra es R × ≅ {±1} , por lo que hasta la homotopía, GL → PGL es un espacio de cobertura doble, y todos los grupos de homotopía superiores están de acuerdo.
Para PGL sobre los complejos, la fibra es C × ≅ S 1 , por lo que hasta la homotopía, GL → PGL es un paquete circular. Los grupos de homotopía superiores del círculo desaparecen, por lo que los grupos de homotopía de GL( n , C ) y PGL( n , C ) concuerdan para n ≥ 3 . De hecho, π 2 siempre desaparece para los grupos de Lie, por lo que los grupos de homotopía concuerdan para n ≥ 2 . Para n = 1 , tenemos que π 1 (GL( n , C )) = π 1 ( S 1 ) = Z . El grupo fundamental de PGL(2, C ) es un grupo cíclico finito de orden 2.
Sobre los números reales y complejos, los grupos lineales especiales proyectivos son las realizaciones mínimas ( sin centros ) del grupo de Lie para el álgebra de Lie lineal especial. Cada grupo de Lie conectado cuyo álgebra de Lie es una cobertura de PSL( n , F ) . Por el contrario, su grupo de cobertura universal es el elemento máximo ( simplemente conectado ), y las realizaciones intermedias forman una red de grupos de cobertura .
Por ejemplo, SL(2, R ) tiene centro {±1} y grupo fundamental Z y, por lo tanto, tiene cobertura universal SL(2, R ) y cubre el PSL(2, R ) sin centros .
Un homomorfismo de grupo G → PGL( V ) de un grupo G a un grupo lineal proyectivo se llama representación proyectiva del grupo G , por analogía con una representación lineal (un homomorfismo G → GL( V ) ). Estos fueron estudiados por Issai Schur , quien demostró que las representaciones proyectivas de G pueden clasificarse en términos de representaciones lineales de extensiones centrales de G. Esto llevó al multiplicador de Schur , que se utiliza para abordar esta cuestión.
El grupo lineal proyectivo se estudia principalmente para n ≥ 2 , aunque se puede definir para dimensiones bajas.
Para n = 0 (o de hecho n < 0 ), el espacio proyectivo de K 0 está vacío, ya que no hay subespacios unidimensionales de un espacio de 0 dimensiones. Por lo tanto, PGL(0, K ) es el grupo trivial, que consiste en el mapa vacío único del conjunto vacío hacia sí mismo. Además, la acción de los escalares en un espacio de dimensión 0 es trivial, por lo que el mapa K × → GL(0, K ) es trivial, en lugar de una inclusión como lo es en dimensiones superiores.
Para n = 1 , el espacio proyectivo de K 1 es un punto único, ya que hay un único subespacio unidimensional. Por lo tanto, PGL(1, K ) es el grupo trivial, que consiste en el mapa único de un conjunto único conjunto a sí mismo. Además, el grupo lineal general de un espacio unidimensional es exactamente los escalares, por lo que el mapa K × GL(1, K ) es un isomorfismo, correspondiente a que PGL(1, K ) := GL(1, K ) / K × ≅ {1} sea trivial.
Para n = 2 , PGL(2, K ) no es trivial, pero es inusual porque es 3-transitivo, a diferencia de las dimensiones superiores cuando es solo 2-transitivo.
El grupo lineal proyectivo está contenido dentro de grupos más grandes, en particular:
![{\displaystyle [z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [az+b,\ cz+d]\ =\ \left[{\frac {az+ b}{cz+d}},\ 1\derecha].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ecd2e56c88d93919d4b473617bfa52da0c7ac81)
{{citation}}: CS1 maint: postscript (link){{citation}}: CS1 maint: postscript (link){{citation}}: CS1 maint: postscript (link)