En matemáticas , el grupo lineal especial SL(2, R) o SL 2 (R) es el grupo de matrices reales de 2 × 2 con determinante uno:
Es un grupo de Lie real simple , no compacto y conectado de dimensión 3 con aplicaciones en geometría , topología , teoría de representaciones y física .
SL(2, R ) actúa sobre el semiplano superior complejo mediante transformaciones lineales fraccionarias . La acción del grupo se factoriza a través del cociente PSL(2, R) (el grupo lineal especial proyectivo 2 × 2 sobre R ). Más específicamente,
donde I denota la matriz identidad 2 × 2 . Contiene el grupo modular PSL(2, Z ).
También está estrechamente relacionado el grupo de cobertura doble , Mp(2, R ), un grupo metapléctico (pensando en SL(2, R ) como un grupo simpléctico ).
Otro grupo relacionado es SL ± (2, R ), el grupo de matrices reales 2 × 2 con determinante ±1; Sin embargo , esto se usa más comúnmente en el contexto del grupo modular .
SL(2, R ) es el grupo de todas las transformaciones lineales de R 2 que conservan el área orientada . Es isomorfo al grupo simpléctico Sp(2, R ) y al grupo unitario especial SU(1, 1) . También es isomorfo al grupo de cocuaterniones de longitud unitaria . El grupo SL ± (2, R ) preserva el área no orientada: puede invertir la orientación.
El cociente PSL(2, R ) tiene varias descripciones interesantes, hasta el isomorfismo del grupo de Lie:
Los elementos del grupo modular PSL(2, Z ) tienen interpretaciones adicionales, al igual que los elementos del grupo SL(2, Z ) (como transformadas lineales del toro), y estas interpretaciones también pueden verse a la luz de la teoría general de SL(2, R ).
Los elementos de PSL(2, R ) son homografías en la recta proyectiva real R ∪ {∞} :
Estas transformaciones proyectivas forman un subgrupo de PSL(2, C ), que actúa sobre la esfera de Riemann mediante transformaciones de Möbius .
Cuando la línea real se considera el límite del plano hiperbólico , PSL(2, R ) expresa movimientos hiperbólicos .
Los elementos de PSL(2, R ) actúan en el plano complejo mediante transformaciones de Möbius:
Este es precisamente el conjunto de transformaciones de Möbius que preservan el semiplano superior . De ello se deduce que PSL(2, R ) es el grupo de automorfismos conformes del semiplano superior. Según el teorema de mapeo de Riemann , también es isomorfo al grupo de automorfismos conformes del disco unitario.
Estas transformaciones de Möbius actúan como las isometrías del modelo de semiplano superior del espacio hiperbólico, y las correspondientes transformaciones de Möbius del disco son las isometrías hiperbólicas del modelo de disco de Poincaré .
La fórmula anterior también se puede utilizar para definir las transformaciones de Möbius de números duales y dobles (también conocidos como complejos divididos) . Las geometrías correspondientes están en relaciones no triviales [1] con la geometría de Lobachevski .
El grupo SL(2, R ) actúa sobre su álgebra de Lie sl(2, R ) por conjugación (recuerde que los elementos del álgebra de Lie también son matrices de 2 × 2), produciendo una representación lineal tridimensional fiel de PSL(2, R ). Alternativamente, esto se puede describir como la acción de PSL(2, R ) en el espacio de formas cuadráticas en R 2 . El resultado es la siguiente representación:
La forma Killing en sl(2, R ) tiene firma (2,1) e induce un isomorfismo entre PSL(2, R ) y el grupo de Lorentz SO + (2,1). Esta acción de PSL(2, R ) en el espacio de Minkowski se restringe a la acción isométrica de PSL(2, R ) en el modelo hiperboloide del plano hiperbólico.
Los valores propios de un elemento A ∈ SL(2, R ) satisfacen el polinomio característico
y por lo tanto
Esto lleva a la siguiente clasificación de elementos, con su correspondiente acción en el plano euclidiano:
Los nombres corresponden a la clasificación de las secciones cónicas por excentricidad : si se define la excentricidad como la mitad del valor absoluto de la traza (ε = ½ |tr|; dividir por 2 corrige el efecto de dimensión, mientras que el valor absoluto corresponde a ignorar un total factor de ±1, como cuando se trabaja en PSL(2, R )), entonces esto produce: , elíptico; , parabólico; , hiperbólico.
El elemento de identidad 1 y el elemento de identidad negativo −1 (en PSL(2, R ) son iguales), tienen traza ±2 y, por lo tanto, según esta clasificación son elementos parabólicos, aunque a menudo se consideran por separado.
La misma clasificación se utiliza para SL(2, C ) y PSL(2, C ) ( transformaciones de Möbius ) y PSL(2, R ) (transformaciones reales de Möbius), con la adición de transformaciones "loxodrómicas" correspondientes a trazas complejas; clasificaciones análogas se utilizan en otros lugares.
Un subgrupo que está contenido con los elementos elípticos (respectivamente, parabólicos, hiperbólicos), más la identidad y la identidad negativa, se llama subgrupo elíptico (respectivamente, subgrupo parabólico , subgrupo hiperbólico ).
La tricotomía de SL(2, R ) en elementos elípticos, parabólicos e hiperbólicos es una clasificación en subconjuntos, no en subgrupos: estos conjuntos no están cerrados bajo la multiplicación (el producto de dos elementos parabólicos no necesita ser parabólico, etc.). Sin embargo, cada elemento está conjugado con un miembro de uno de los 3 subgrupos estándar de un parámetro (posiblemente multiplicado por ±1), como se detalla a continuación.
Topológicamente, como la traza es un mapa continuo, los elementos elípticos (excluyendo ±1) forman un conjunto abierto , al igual que los elementos hiperbólicos (excluyendo ±1). Por el contrario, los elementos parabólicos, junto con ±1, forman un conjunto cerrado que no es abierto.
Los valores propios de un elemento elíptico son complejos y son valores conjugados en el círculo unitario . Tal elemento está conjugado con una rotación del plano euclidiano (pueden interpretarse como rotaciones en una base posiblemente no ortogonal) y el elemento correspondiente de PSL(2, R ) actúa como (conjugado con) una rotación del plano hiperbólico. y del espacio de Minkowski .
Los elementos elípticos del grupo modular deben tener valores propios {ω, ω −1 }, donde ω es una tercera, cuarta o sexta raíz primitiva de la unidad . Estos son todos los elementos del grupo modular con orden finito , y actúan sobre el toro como difeomorfismos periódicos.
Los elementos de la traza 0 pueden denominarse "elementos circulares" (por analogía con la excentricidad), pero esto rara vez se hace; corresponden a elementos con valores propios ± i , y están conjugados a una rotación de 90° y cuadrados a -I : son las involuciones no identidades en PSL(2).
Los elementos elípticos se conjugan en el subgrupo de rotaciones del plano euclidiano, el grupo ortogonal especial SO(2); el ángulo de rotación es arcocos de la mitad de la traza, estando el signo de rotación determinado por la orientación. (Una rotación y su inversa son conjugadas en GL(2) pero no en SL(2).)
Un elemento parabólico tiene un solo valor propio, que es 1 o -1. Tal elemento actúa como un mapeo de corte en el plano euclidiano, y el elemento correspondiente de PSL(2, R ) actúa como una rotación límite del plano hiperbólico y como una rotación nula del espacio de Minkowski .
Los elementos parabólicos del grupo modular actúan como giros de Dehn del toroide.
Los elementos parabólicos se conjugan en el grupo de 2 componentes de cizallas estándar × ± I : . De hecho, todos son conjugados (en SL(2)) a una de las cuatro matrices , (en GL(2) o SL ± (2), ± se puede omitir, pero en SL(2) no).
Los valores propios de un elemento hiperbólico son reales y recíprocos. Tal elemento actúa como un mapeo de compresión del plano euclidiano, y el elemento correspondiente de PSL(2, R ) actúa como una traslación del plano hiperbólico y como un impulso de Lorentz en el espacio de Minkowski .
Los elementos hiperbólicos del grupo modular actúan como difeomorfismos de Anosov del toro.
Los elementos hiperbólicos se conjugan en el grupo de 2 componentes de apretones estándar × ± I : ; el ángulo hiperbólico de la rotación hiperbólica viene dado por el arco de la mitad de la traza, pero el signo puede ser positivo o negativo: a diferencia del caso elíptico, una compresión y su inversa están conjugadas en SL₂ (por una rotación en los ejes; para ejes estándar, una rotación de 90°).
Según la forma normal de Jordan , las matrices se clasifican hasta la conjugación (en GL ( n , C )) por valores propios y nilpotencia (concretamente, nilpotencia significa donde ocurren 1 en los bloques de Jordan). Así, los elementos de SL(2) se clasifican hasta la conjugación en GL(2) (o incluso SL ± (2)) por traza (ya que el determinante es fijo, y la traza y el determinante determinan los valores propios), excepto si los valores propios son iguales, entonces ±I y los elementos parabólicos de la traza +2 y la traza -2 no son conjugados (los primeros no tienen entradas fuera de la diagonal en la forma de Jordan, mientras que los segundos sí las tienen).
Hasta la conjugación en SL(2) (en lugar de GL(2)), hay un dato adicional, correspondiente a la orientación: una rotación en sentido horario y antihorario (elíptica) no son conjugadas, ni un corte positivo y negativo, como se detalló anteriormente. ; por lo tanto, para un valor absoluto de la traza menor que 2, hay dos clases de conjugación para cada traza (rotaciones en sentido horario y antihorario), para un valor absoluto de la traza igual a 2, hay tres clases de conjugación para cada traza (corte positivo, identidad, corte negativo ), y para un valor absoluto de la traza mayor que 2 hay una clase de conjugación para una traza determinada.
La descomposición de Iwasawa de un grupo es un método para construir el grupo como producto de tres subgrupos de Lie K , A , N. Para estos tres subgrupos son
Estos tres elementos son los generadores de los subconjuntos elíptico, hiperbólico y parabólico respectivamente.
Como espacio topológico , PSL(2, R ) puede describirse como el paquete tangente unitario del plano hiperbólico. Es un haz circular y tiene una estructura de contacto natural inducida por la estructura simpléctica en el plano hiperbólico. SL(2, R ) es una cubierta doble de PSL(2, R ), y puede considerarse como el haz de espinores en el plano hiperbólico.
El grupo fundamental de SL(2, R ) es el grupo cíclico infinito Z. El grupo de cobertura universal , denotado , es un ejemplo de un grupo de Lie de dimensión finita que no es un grupo matricial . Es decir, no admite ninguna representación fiel y de dimensión finita .
Como espacio topológico, es un haz de líneas sobre el plano hiperbólico. Cuando se le imbuye de una métrica invariante por la izquierda , la variedad 3 se convierte en una de las ocho geometrías de Thurston . Por ejemplo, es la cobertura universal del paquete unitario tangente a cualquier superficie hiperbólica . Cualquier variedad modelada es orientable y es un haz circular sobre algún orbifold hiperbólico bidimensional (un espacio de fibras de Seifert ).
Bajo esta cobertura, la preimagen del grupo modular PSL(2, Z ) es el grupo trenzado de 3 generadores, B3 , que es la extensión central universal del grupo modular. Estas son redes dentro de los grupos algebraicos relevantes, y esto corresponde algebraicamente al grupo de cobertura universal en topología.
El grupo de cobertura doble se puede identificar como Mp(2, R ), un grupo metapléctico , pensando en SL(2, R ) como el grupo simpléctico Sp(2, R ).
Los grupos antes mencionados juntos forman una secuencia:
Sin embargo, existen otros grupos de cobertura de PSL(2, R ) correspondientes a todos los n , como n Z < Z ≅ π 1 (PSL(2, R )), que forman una red de grupos de cobertura por divisibilidad; estos cubren SL(2, R ) si y sólo si n es par.
El centro de SL(2, R ) es el grupo de dos elementos {±1} y el cociente PSL(2, R ) es simple .
Los subgrupos discretos de PSL(2, R ) se denominan grupos fucsianos . Estos son el análogo hiperbólico de los grupos de papel tapiz euclidiano y los grupos de frisos . El más famoso de ellos es el grupo modular PSL(2, Z ), que actúa sobre una teselación del plano hiperbólico mediante triángulos ideales.
El grupo circular SO(2) es un subgrupo compacto máximo de SL(2, R ), y el círculo SO(2) / {±1} es un subgrupo compacto máximo de PSL(2, R ).
El multiplicador de Schur del grupo discreto PSL(2, R ) es mucho mayor que Z , y la extensión central universal es mucho mayor que el grupo de cobertura universal. Sin embargo, estas grandes extensiones centrales no tienen en cuenta la topología y son algo patológicas.
SL(2, R ) es un grupo de Lie simple , real y no compacto , y es la forma real dividida del grupo de Lie complejo SL(2, C ). El álgebra de Lie de SL(2, R ), denotada como sl(2, R ), es el álgebra de todas las matrices 2 × 2 reales y sin trazas . Es el álgebra de Bianchi de tipo VIII.
La teoría de representación de dimensión finita de SL(2, R ) es equivalente a la teoría de representación de SU(2) , que es la forma real compacta de SL(2, C ). En particular, SL(2, R ) no tiene representaciones unitarias de dimensión finita no triviales. Esta es una característica de cada grupo de Lie simple no compacto conectado. Para obtener un resumen de la prueba, consulte no unitaridad de representaciones .
La teoría de representación de dimensión infinita de SL(2, R ) es bastante interesante. El grupo tiene varias familias de representaciones unitarias, que fueron elaboradas en detalle por Gelfand y Naimark (1946), V. Bargmann (1947) y Harish-Chandra (1952).
![{\displaystyle [x,1]\mapsto [x,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [ax+b,\ cx+d]\ =\,\ izquierda[{\frac {ax+b}{cx+d}},\ 1\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac9fecb3b29c144f054189bc958c230949c38129)
