Modelo de semiplano de Poincaré

Modelo de semiplano superior de geometría hiperbólica no euclidiana

Rayos paralelos en el modelo de semiplano de geometría hiperbólica de Poincaré

En geometría no euclidiana , el modelo de semiplano de Poincaré es el semiplano superior , denotado a continuación como H , junto con una métrica , la métrica de Poincaré , que lo convierte en un modelo de geometría hiperbólica bidimensional . ${\displaystyle =\{\langle x,y\rangle \mid y>0;x,y\in \mathbb {R} \}}$

De manera equivalente, el modelo de semiplano de Poincaré a veces se describe como un plano complejo donde la parte imaginaria (la coordenada y mencionada anteriormente) es positiva.

El modelo de semiplano de Poincaré lleva el nombre de Henri Poincaré , pero se originó con Eugenio Beltrami quien lo utilizó, junto con el modelo de Klein y el modelo de disco de Poincaré , para demostrar que la geometría hiperbólica era equiconsistente con la geometría euclidiana .

Este modelo es conforme , lo que significa que los ángulos medidos en un punto son los mismos en el modelo que en el plano hiperbólico real.

La transformada de Cayley proporciona una isometría entre el modelo de semiplano y el modelo de disco de Poincaré.

Este modelo se puede generalizar para modelar un espacio hiperbólico dimensional reemplazando el número real x por un vector en un espacio vectorial euclidiano de n dimensiones. ${\displaystyle n+1}$

Métrico

La métrica del modelo en el semiplano es: ${\displaystyle \{\langle x,y\rangle \mid y>0\},}$

${\displaystyle (ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}}{y^{2}}}}$

donde s mide la longitud a lo largo de una línea (posiblemente curva). Las líneas rectas en el plano hiperbólico ( geodésicas para este tensor métrico, es decir, curvas que minimizan la distancia) se representan en este modelo mediante arcos circulares perpendiculares al eje x (semicírculos cuyos centros están en el eje x ) y rayos verticales rectos perpendiculares al eje x .

Cálculo de distancia

La distancia entre dos puntos en el modelo de semiplano se puede calcular en términos de distancias euclidianas en un trapezoide isósceles formado por los puntos y su reflexión sobre el eje x : una "longitud de lado" s , una "diagonal" d y dos "alturas" h ₁ y h ₂ . Es el logaritmo dist( p ₁ , p ₂ ) = log ( ( s + d ) ² / h ₁ h ₂ )

La distancia entre dos puntos también se puede calcular utilizando relaciones de distancias euclidianas a los puntos ideales en los extremos de la línea hiperbólica.

La distancia desde el vértice de un semicírculo a otro punto de él es la función de Gudermann inversa del ángulo central.

Si y son dos puntos en el semiplano y es el reflejo de a través del eje x en el semiplano inferior, la distancia entre los dos puntos bajo la métrica del plano hiperbólico es: ${\textstyle p_{1}=\langle x_{1},y_{1}\rangle }$ ${\textstyle p_{2}=\langle x_{2},y_{2}\rangle }$ ${\textstyle y>0}$ ${\textstyle {\tilde {p}}_{1}=\langle x_{1},-y_{1}\rangle }$ ${\textstyle p_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dist} (p_{1},p_{2})&=2\operatorname {arsinh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{2{\sqrt {y_{1}y_{2}}}}}\\[10mu]&=2\operatorname {artanh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{\|p_{2}-{\tilde {p}}_{1}\|}}\\[10mu]&=2\ln {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|+\|p_{2}-{\tilde {p}}_{1}\|}{2{\sqrt {y_{1}y_{2}}}}},\end{aligned}}}$$

donde es la distancia euclidiana entre puntos y es el seno hiperbólico inverso , y es la tangente hiperbólica inversa . Se puede considerar que esta fórmula proviene de la longitud de la cuerda en la métrica de Minkowski entre puntos en el modelo hiperboloide , análoga a encontrar la longitud del arco en una esfera en términos de la longitud de la cuerda. Se puede considerar que esta fórmula proviene de la distancia euclidiana en el modelo del disco de Poincaré con un punto en el origen, análoga a encontrar la longitud del arco en la esfera tomando una proyección estereográfica centrada en un punto y midiendo la distancia euclidiana en el plano desde el origen. al otro punto. ${\textstyle \|p_{2}-p_{1}\|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}}$ ${\textstyle p_{1}}$ ${\textstyle p_{2},}$ ${\textstyle \operatorname {arsinh} x=\ln {\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}+1}}{\bigr )}}$ ${\textstyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left((1+x)/(1-x)\right)}$ ${\textstyle 2\operatorname {arsinh} }$ ${\textstyle \operatorname {chord} (p_{1},p_{2})=2\sinh {\tfrac {1}{2}}\operatorname {dist} (p_{1},p_{2}),}$ ${\textstyle 2\operatorname {artanh} }$

Si los dos puntos y están en una línea hiperbólica (semicírculo euclidiano) que cruza el eje x en los puntos ideales y la distancia de a es: ${\textstyle p_{1}}$ ${\textstyle p_{2}}$ ${\textstyle p_{0}=\langle x_{0},0\rangle }$ ${\textstyle p_{3}=\langle x_{3},0\rangle ,}$ ${\textstyle p_{1}}$ ${\textstyle p_{2}}$

$${\displaystyle \operatorname {dist} (p_{1},p_{2})=\left|\ln {\frac {\|p_{2}-p_{0}\|\|p_{1}-p_{3}\|}{\|p_{1}-p_{0}\|\|p_{2}-p_{3}\|}}\right|.}$$

Cfr. Proporción cruzada .

Algunos casos especiales se pueden simplificar. Dos puntos con la misma coordenada: ^[1] ${\textstyle x}$

$${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x,y_{1}\rangle ,\langle x,y_{2}\rangle )=\left|\ln {\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right|=\left|\ln(y_{2})-\ln(y_{1})\right|.}$$

Dos puntos con la misma coordenada: ${\textstyle y}$

$${\displaystyle \operatorname {dist} \left(\langle x_{1},y\rangle ,\langle x_{2},y\rangle \right)=2\operatorname {arsinh} {\frac {|x_{2}-x_{1}|}{2y}}.}$$

Un punto en el vértice del semicírculo y otro punto en un ángulo central de ${\textstyle \langle x_{1},r\rangle }$ ${\textstyle (x-x_{1})^{2}+y^{2}=r^{2},}$ ${\textstyle \phi .}$

$${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},r\rangle ,\langle x_{1}\pm r\sin \phi ,r\cos \phi \rangle )={2\operatorname {artanh} }{\bigl (}{\tan {\tfrac {1}{2}}\phi }{\bigr )}=\operatorname {gd} ^{-1}\phi ,}$$

donde es la función Gudermanniana inversa , y es la tangente hiperbólica inversa . ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$ ${\textstyle \operatorname {artanh} x={\tfrac {1}{2}}\ln {\dfrac {1+x}{1-x}}}$

Puntos y curvas especiales.

• Los puntos ideales (puntos en el infinito) en el modelo de semiplano de Poincaré son de dos tipos:

• los puntos en el eje x , y
• un punto imaginario en el que es el punto ideal al que convergen todas las líneas ortogonales al eje x . ${\displaystyle y=\infty }$

• Las líneas rectas , las geodésicas (el camino más corto entre los puntos contenidos en ellas) se modelan mediante:

• semicírculos cuyo origen está en el eje x
• rayos verticales rectos ortogonales al eje x

• Un círculo (curvas equidistantes de un punto central) con centro y radio se modela mediante: ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle r}$

un circulo con centro y radio ${\displaystyle (x,y\cosh(r))}$ ${\displaystyle y\sinh(r)}$

• Un hiperciclo (una curva equidistante de una línea recta, su eje) se modela mediante:

• un arco circular que corta el eje x en los mismos dos puntos ideales que el semicírculo que modela su eje pero en un ángulo agudo u obtuso
• una línea recta que corta el eje x en el mismo punto que la línea vertical que modela su eje, pero en un ángulo agudo u obtuso .

• Un horociclo (una curva cuyas normales convergen asintóticamente en la misma dirección, su centro) se modela mediante:

• un círculo tangente al eje x (pero excluyendo el punto de intersección ideal , que es su centro)
• una línea paralela al eje x , en este caso el centro es el punto ideal en . ${\displaystyle y=\infty }$

Sinopsis euclidiana

Un círculo euclidiano con centro y radio representa: ${\displaystyle \langle x_{e},y_{e}\rangle }$ ${\displaystyle r_{e}}$

• cuando el círculo está completamente dentro del semiplano un círculo hiperbólico con centro

${\displaystyle \left(x_{e},{\sqrt {y_{e}^{2}-r_{e}^{2}}}\right)}$

y radio

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {y_{e}+r_{e}}{y_{e}-r_{e}}}\right).}$

• cuando el círculo está completamente dentro del semiplano y toca el límite, un horociclo centrado alrededor del punto ideal ${\displaystyle (x_{e},0)}$
• cuando el círculo corta el límite ortogonal una línea hiperbólica ${\displaystyle (y_{e}=0)}$
• cuando el círculo corta el límite no ortogonal se produce un hiperciclo.

Construcciones con compás y regla

Así es como se pueden utilizar construcciones con compás y regla en el modelo para lograr el efecto de las construcciones básicas en el plano hiperbólico . ^[2] Por ejemplo, cómo construir el semicírculo en el semiplano euclidiano que modela una línea en el plano hiperbólico que pasa por dos puntos dados.

Creando la línea a través de dos puntos existentes

Dibuja el segmento de línea entre los dos puntos. Construye la mediatriz del segmento de recta. Encuentra su intersección con el eje x . Dibuja el círculo alrededor de la intersección que pasa por los puntos dados. Borre la parte que está en o debajo del eje x .

O en el caso especial en el que los dos puntos dados se encuentran en una línea vertical, dibuje esa línea vertical a través de los dos puntos y borre la parte que está en o debajo del eje x .

Creando el círculo a través de un punto con centro en otro punto.

• Si los dos puntos no están en una línea vertical:

Dibuja la línea radial (semicírculo) entre los dos puntos dados como en el caso anterior. Construye una tangente a esa línea en el punto no central. Coloque una perpendicular desde el punto central dado al eje x . Encuentra la intersección de estas dos líneas para obtener el centro del círculo modelo. Dibuja el círculo modelo alrededor de ese nuevo centro y pasando por el punto no central dado.

• Si los dos puntos dados se encuentran sobre una recta vertical y el centro dado está por encima del otro punto dado:

Dibuja un círculo alrededor de la intersección de la línea vertical y el eje x que pasa por el punto central dado. Dibuja una línea horizontal a través del punto no central. Construye la tangente al círculo en su intersección con esa línea horizontal.

El punto medio entre la intersección de la tangente con la línea vertical y el punto no central dado es el centro del círculo modelo. Dibuja el círculo modelo alrededor de ese nuevo centro y pasando por el punto no central dado.

• Si los dos puntos dados se encuentran en una recta vertical y el centro dado está debajo del otro punto dado:

Dibuja un círculo alrededor de la intersección de la línea vertical y el eje x que pasa por el punto central dado. Traza una recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto no central dado. Dibuja una línea horizontal que pase por ese punto de tangencia y encuentra su intersección con la línea vertical.

El punto medio entre esa intersección y el punto no central dado es el centro del círculo modelo. Dibuja el círculo modelo alrededor de ese nuevo centro y pasando por el punto no central dado.

Dado un círculo, encuentre su centro (hiperbólico)

Coloque una p perpendicular desde el centro euclidiano del círculo hasta el eje x .

Sea el punto q la intersección de esta recta y el eje x .

Traza una recta tangente a la circunferencia que pasa por q .

Dibuja el semicírculo h con centro q pasando por el punto donde se unen la tangente y el círculo.

El centro (hiperbólico) es el punto donde h y p se cruzan. ^[3]

Otras construcciones

• Creando el punto que es la intersección de dos líneas existentes, si se cruzan:

Encuentra la intersección de los dos semicírculos dados (o líneas verticales).

• Creando uno o dos puntos en la intersección de una línea y un círculo (si se cruzan):

Encuentra la intersección del semicírculo dado (o línea vertical) con el círculo dado.

• Creando uno o dos puntos en la intersección de dos círculos (si se cruzan):

Encuentra la intersección de los dos círculos dados.

Grupos de simetría

Mosaico heptagonal regular estrellado del modelo.

El grupo lineal proyectivo PGL(2, C ) actúa sobre la esfera de Riemann mediante las transformaciones de Möbius . El subgrupo que mapea el semiplano superior, H , sobre sí mismo es PSL(2, R ), las transformadas con coeficientes reales, y éstas actúan transitiva e isométricamente sobre el semiplano superior, convirtiéndolo en un espacio homogéneo .

Hay cuatro grupos de Lie estrechamente relacionados que actúan en el semiplano superior mediante transformaciones lineales fraccionarias y preservan la distancia hiperbólica.

• El grupo lineal especial SL(2, R ) que consta del conjunto de matrices de 2×2 con entradas reales cuyo determinante es igual a +1. Tenga en cuenta que muchos textos (incluida Wikipedia) suelen decir SL(2, R ) cuando en realidad quieren decir PSL(2, R ).
• El grupo S*L(2, R ) que consta del conjunto de matrices de 2×2 con entradas reales cuyo determinante es igual a +1 o −1. Tenga en cuenta que SL(2, R ) es un subgrupo de este grupo.
• El grupo lineal especial proyectivo PSL(2, R ) = SL(2, R )/{± I }, que consta de las matrices en módulo SL(2, R ) más o menos la matriz identidad.
• El grupo PS ^* L(2, R ) = S ^* L(2, R )/{± I }=PGL(2, R ) es nuevamente un grupo proyectivo, y nuevamente, módulo más o menos la matriz identidad. PSL(2, R ) está contenido como un subgrupo normal de índice dos, siendo la otra clase lateral el conjunto de matrices de 2×2 con entradas reales cuyo determinante es igual a −1, módulo más o menos la identidad.

La relación de estos grupos con el modelo de Poincaré es la siguiente:

• The group of all isometries of H, sometimes denoted as Isom(H), is isomorphic to PS^*L(2,R). This includes both the orientation preserving and the orientation-reversing isometries. The orientation-reversing map (the mirror map) is ${\displaystyle z\rightarrow -{\overline {z}}}$.
• The group of orientation-preserving isometries of H, sometimes denoted as Isom⁺(H), is isomorphic to PSL(2,R).

Important subgroups of the isometry group are the Fuchsian groups.

One also frequently sees the modular group SL(2,Z). This group is important in two ways. First, it is a symmetry group of the square 2x2 lattice of points. Thus, functions that are periodic on a square grid, such as modular forms and elliptic functions, will thus inherit an SL(2,Z) symmetry from the grid. Second, SL(2,Z) is of course a subgroup of SL(2,R), and thus has a hyperbolic behavior embedded in it. In particular, SL(2,Z) can be used to tessellate the hyperbolic plane into cells of equal (Poincaré) area.

Isometric symmetry

The group action of the projective special linear group ${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ on ${\displaystyle \mathbb {H} }$ is defined by

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i(ad-bc)\Im (z)}{|cz+d|^{2}}}.}$

Note that the action is transitive: for any ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }$, there exists a ${\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ such that ${\displaystyle gz_{1}=z_{2}}$. It is also faithful, in that if ${\displaystyle gz=z}$ for all ${\displaystyle z\in \mathbb {H} ,}$ then g = e.

The stabilizer or isotropy subgroup of an element ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ is the set of ${\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ which leave z unchanged: gz = z. The stabilizer of i is the rotation group

${\displaystyle {\rm {SO}}(2)=\left.\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}.}$

Since any element ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ is mapped to i by some element of ${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$, this means that the isotropy subgroup of any z is isomorphic to SO(2). Thus, ${\displaystyle \mathbb {H} ={\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )/{\rm {SO}}(2)}$. Alternatively, the bundle of unit-length tangent vectors on the upper half-plane, called the unit tangent bundle, is isomorphic to ${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$.

The upper half-plane is tessellated into free regular sets by the modular group ${\displaystyle {\rm {SL}}(2,\mathbb {Z} ).}$

Geodesics

The geodesics for this metric tensor are circular arcs perpendicular to the real axis (half-circles whose origin is on the real axis) and straight vertical lines ending on the real axis.

La geodésica de velocidad unitaria que sube verticalmente, a través del punto i, está dada por

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i=ie^{t}.}$

Debido a que PSL(2, R ) actúa transitivamente mediante isometrías del semiplano superior, esta geodésica se mapea en las otras geodésicas mediante la acción de PSL(2, R ). Por lo tanto, la geodésica general de velocidad unitaria está dada por

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d}}.}$

Esto proporciona una descripción básica del flujo geodésico en el haz tangente de longitud unitaria ( haz de líneas complejas ) en el semiplano superior. A partir de este modelo se puede obtener el flujo sobre superficies arbitrarias de Riemann , como se describe en el artículo sobre el flujo de Anosov .

El modelo en tres dimensiones.

La métrica del modelo en el semiespacio viene dada por ${\textstyle \{\langle x,y,z\rangle \mid z>0\}}$

$${\displaystyle (ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}{z^{2}}}\,}$$

donde s mide la longitud a lo largo de una línea posiblemente curva. Las rectas en el espacio hiperbólico ( geodésicas para este tensor métrico, es decir, curvas que minimizan la distancia) se representan en este modelo mediante arcos circulares normales al plano z = 0 (semicírculos cuyo origen está en z = 0 - plano) y rayos verticales rectos normales al plano z = 0 .

La distancia entre dos puntos medida en esta métrica a lo largo de dicha geodésica es: ${\textstyle p_{1}=\langle x_{1},y_{1},z_{1}\rangle }$ ${\textstyle p_{2}=\langle x_{2},y_{2},z_{2}\rangle }$

$${\displaystyle \operatorname {dist} (p_{1},p_{2})=2\operatorname {arsinh} {\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{2{\sqrt {z_{1}z_{2}}}}}.}$$

El modelo en n dimensiones.

Este modelo se puede generalizar para modelar un espacio hiperbólico dimensional reemplazando el número real x por un vector en un espacio vectorial euclidiano de n dimensiones. ${\displaystyle n+1}$

Ver también

• Ángulo de paralelismo
• flujo de anosov
• grupo fucsia
• modelo fucsia
• movimiento hiperbólico
• modelo kleiniano
• Modelos del plano hiperbólico.
• Pseudosfera
• Teorema de Schwarz-Ahlfors-Pick
• Teorema ultraparalelo

Referencias

Notas

1. "Fórmula de distancia para puntos en el modelo de semiplano de Poincaré en una" geodésica vertical"". intercambio de pila de matemáticas. 6 de agosto de 2015 . Consultado el 19 de septiembre de 2015 .
2. Bochaca, Judit Abardía. "Herramientas para trabajar con el modelo Semiplano". Herramientas para trabajar con el modo Medio Plano . Consultado el 25 de junio de 2015 .
3. Flavors of Geometry, MSRI Publications, volumen 31, 1997, Hyperbolic Geometry, JW Cannon, WJ Floyd, R. Kenyon y WR Parry, página 87, Figura 19. Construcción del centro hiperbólico de un círculo

Fuentes

• Eugenio Beltrami , Teoria fondamentale degli spazi di curvatura constante , Annali di Matematica Pura ed Applicata , ser II 2 (1868), 232–255
• Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", Acta Mathematica v.1, p. 1. Primer artículo de una serie que explota el modelo de semiplano. Una copia archivada está disponible gratuitamente. En la página 52 se puede ver un ejemplo de los diagramas de semicírculo tan característicos del modelo.
• Hershel M. Farkas e Irwin Kra , Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-90465-4 . 
• Jürgen Jost , Superficies compactas de Riemann (2002), Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 3-540-43299-X (Ver Sección 2.3) . 
• Saul Stahl, El semiplano de Poincaré , Jones y Bartlett, 1993, ISBN 0-86720-298-X . 
• John Stillwell (1998) Números y geometría , págs. 100-104, Springer-Verlag, Nueva York ISBN 0-387-98289-2 . Una introducción elemental al modelo de semiplano de Poincaré del plano hiperbólico.