numero dual

Números reales unidos con un elemento nulo al cuadrado

En álgebra , los números duales son un sistema numérico hipercomplejo introducido por primera vez en el siglo XIX. Son expresiones de la forma a + bε , donde a y b son números reales , y ε es un símbolo que se considera satisfactorio . ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ ${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$

Los números duales se pueden sumar por componentes y multiplicar por la fórmula

${\displaystyle (a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon ,}$

que se desprende de la propiedad ε ² = 0 y del hecho de que la multiplicación es una operación bilineal .

Los números duales forman un álgebra conmutativa de dimensión dos sobre los reales, y también un anillo local artiniano . Son uno de los ejemplos más simples de un anillo que tiene elementos nilpotentes distintos de cero .

Historia

Los números duales fueron introducidos en 1873 por William Clifford , y fueron utilizados a principios del siglo XX por el matemático alemán Eduard Study , quien los utilizó para representar el ángulo dual que mide la posición relativa de dos líneas oblicuas en el espacio. El estudio definió un ángulo dual como θ + dε , donde θ es el ángulo entre las direcciones de dos líneas en un espacio tridimensional y d es la distancia entre ellas. La generalización n -dimensional, el número de Grassmann , fue introducida por Hermann Grassmann a finales del siglo XIX.

definición moderna

En álgebra moderna , el álgebra de números duales suele definirse como el cociente de un anillo polinomial sobre los números reales por el ideal principal generado por el cuadrado de lo indeterminado , es decir ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .}$

También se puede definir como el álgebra exterior de un espacio vectorial unidimensional que tiene como elemento base. ${\displaystyle \varepsilon }$

División

La división de números duales se define cuando la parte real del denominador es distinta de cero. El proceso de división es análogo a la división compleja en que el denominador se multiplica por su conjugado para cancelar las partes no reales.

Por lo tanto, para dividir una ecuación de la forma

${\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}}$

multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado del denominador:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}}$

que se define cuando c es distinto de cero .

Si, por otro lado, c es cero mientras que d no lo es, entonces la ecuación

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}}$

1. no tiene solución si a es distinto de cero
2. de lo contrario se resuelve con cualquier número dual de la formab/d+ yε .

Esto significa que la parte no real del "cociente" es arbitraria y, por tanto, la división no está definida para números duales puramente irreales. De hecho, son (trivialmente) divisores de cero y claramente forman un ideal del álgebra asociativa (y por tanto del anillo ) de los números duales.

Representación matricial

El número dual se puede representar mediante la matriz cuadrada . En esta representación la matriz cuadra a la matriz cero, correspondiente al número dual . ${\displaystyle a+b\epsilon }$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Hay otras formas de representar números duales como matrices cuadradas. Consisten en representar el número dual por la matriz identidad , y por cualquier matriz cuyo cuadrado sea la matriz cero; es decir, en el caso de matrices 2×2 , cualquier matriz distinta de cero de la forma ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$

con ^[1] ${\displaystyle a^{2}+bc=0.}$

Diferenciación

Una aplicación de los números duales es la diferenciación automática . Cualquier polinomio

${\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}}$

con coeficientes reales se puede extender a una función de un argumento con valores de números duales,

${\displaystyle {\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[2mu]&=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5mu]&=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,\end{aligned}}}$

donde esta la derivada de ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle P.}$

De manera más general, cualquier función real (analítica) se puede extender a los números duales mediante su serie de Taylor :

${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,}$

ya que todos los términos que involucran ε ² o potencias mayores son trivialmente 0 según la definición de ε .

Al calcular las composiciones de estas funciones sobre los números duales y examinar el coeficiente de ε en el resultado, encontramos que hemos calculado automáticamente la derivada de la composición.

Un método similar funciona para polinomios de n variables, utilizando el álgebra exterior de un espacio vectorial de n dimensiones.

Geometría

El "círculo unitario" de números duales consta de aquellos con a = ±1 ya que estos satisfacen zz * = 1 donde z * = a − bε . Sin embargo, tenga en cuenta que

${\displaystyle e^{b\varepsilon }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}=1+b\varepsilon ,}$

por lo que el mapa exponencial aplicado al eje ε cubre sólo la mitad del "círculo".

Sea z = a + bε . Si a ≠ 0 y m =b/a, entonces z = a (1 + mε ) es la descomposición polar del número dual z , y la pendiente m es su parte angular. El concepto de rotación en el plano numérico dual es equivalente a un mapeo de corte vertical ya que (1 + pε )(1 + qε ) = 1 + ( p + q ) ε .

En el espacio y tiempo absolutos la transformación galileana

${\displaystyle \left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

eso es

${\displaystyle t'=t,\quad x'=vt+x,}$

Relaciona el sistema de coordenadas en reposo con un sistema de referencia en movimiento de velocidad v . Dado que los números duales t + xε representan eventos a lo largo de una dimensión espacial y temporal, la misma transformación se efectúa con la multiplicación por 1 + vε .

Ciclos

Dados dos números duales p y q , determinan el conjunto de z tal que la diferencia de pendientes ("ángulo galileano") entre las líneas de z a p y q es constante. Este conjunto es un ciclo en el plano numérico dual; dado que la ecuación que establece la diferencia de pendientes de las rectas como constante es una ecuación cuadrática en la parte real de z , un ciclo es una parábola . La "rotación cíclica" del plano numérico dual se produce como un movimiento de su línea proyectiva. Según Isaak Yaglom , ^{[2] : 92–93} el ciclo Z = { z  : y = αx ² } es invariante bajo la composición del corte

${\displaystyle x_{1}=x,\quad y_{1}=vx+y}$

con la traducción

${\displaystyle x'=x_{1}={\frac {v}{2a}},\quad y'=y_{1}+{\frac {v^{2}}{4a}}.}$

Aplicaciones en mecánica

Los números duales encuentran aplicaciones en mecánica , especialmente para la síntesis cinemática. Por ejemplo, los números duales permiten transformar las ecuaciones de entrada/salida de un enlace esférico de cuatro barras, que incluye sólo articulaciones rotoides, en un mecanismo espacial de cuatro barras (rotoide, rotoide, rotoide, cilíndrico). Los ángulos dualizados están formados por una parte primitiva, los ángulos, y una parte dual, que tiene unidades de longitud. ^[3] Consulte la teoría de los tornillos para obtener más información.

geometría algebraica

En la geometría algebraica moderna , los números duales sobre un campo (con lo que nos referimos al anillo ) pueden usarse para definir los vectores tangentes a los puntos de un esquema . ^[4] Dado que el campo se puede elegir intrínsecamente, es posible hablar simplemente de los vectores tangentes a un esquema. Esto permite importar nociones de geometría diferencial a geometría algebraica. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

En detalle: El anillo de números duales puede considerarse como el anillo de funciones en la "vecindad de primer orden de un punto", es decir, el esquema . ^[4] Entonces, dado un esquema , los puntos del esquema están en correspondencia 1-1 con los mapas , mientras que los vectores tangentes están en correspondencia 1-1 con los mapas . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} k\to X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))\to X}$

El campo anterior se puede elegir intrínsecamente para que sea un campo residual . A saber: dado un punto en un esquema , considere el tallo . Observe que es un anillo local con un ideal máximo único , que se denota . Entonces simplemente deja . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle S_{x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ ${\displaystyle k=S_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$

Generalizaciones

Esta construcción se puede realizar de manera más general: para un anillo conmutativo R se pueden definir los números duales sobre R como el cociente del anillo polinómico R [ X ] por el ideal ( X ² ) : la imagen de X tiene entonces un cuadrado igual a cero y corresponde al elemento ε de arriba.

Módulo arbitrario de elementos de cuadrado cero.

Existe una construcción más general de los números duales. Dado un anillo conmutativo y un módulo , existe un anillo llamado anillo de números duales que tiene las siguientes estructuras: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R[M]}$

Es el módulo con la multiplicación definida por for y ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\oplus M}$ ${\displaystyle (r,i)\cdot \left(r',i'\right)=\left(rr',ri'+r'i\right)}$ ${\displaystyle r,r'\in R}$ ${\displaystyle i,i'\in I.}$

El álgebra de números duales es el caso especial donde y ${\displaystyle M=R}$ ${\displaystyle \varepsilon =(0,1).}$

superespacio

Los números duales encuentran aplicaciones en física , donde constituyen uno de los ejemplos no triviales más simples de un superespacio . De manera equivalente, son supernúmeros con un solo generador; los supernúmeros generalizan el concepto a n generadores distintos ε , cada uno de ellos anti-conmutación, posiblemente llevando n al infinito. El superespacio generaliza ligeramente los supernúmeros al permitir múltiples dimensiones de desplazamiento.

La motivación para introducir números duales en la física se deriva del principio de exclusión de Pauli para los fermiones. La dirección a lo largo de ε se denomina dirección "fermiónica" y la componente real se denomina dirección "bosónica". La dirección fermiónica recibe este nombre porque los fermiones obedecen el principio de exclusión de Pauli: durante el intercambio de coordenadas, la función de onda de la mecánica cuántica cambia de signo y, por tanto, desaparece si se juntan dos coordenadas; esta idea física es capturada por la relación algebraica  ε ² = 0 .

linea proyectiva

La idea de una línea proyectiva sobre números duales fue propuesta por Grünwald ^[5] y Corrado Segre . ^[6]

Así como la esfera de Riemann necesita un punto del polo norte en el infinito para cerrar la línea proyectiva compleja , así una línea en el infinito logra cerrar el plano de los números duales hasta convertirlo en un cilindro . ^{[2] : 149-153}

Supongamos que D es el anillo de números duales x + yε y U es el subconjunto con x ≠ 0 . Entonces U es el grupo de unidades de D . Sea B = {( a , b ) ∈ D × D  : a ∈ U o b ∈ U} . Una relación se define en B de la siguiente manera: ( a , b ) ~ ( c , d ) cuando hay una u en U tal que ua = c y ub = d . Esta relación es de hecho una relación de equivalencia . Los puntos de la recta proyectiva sobre D son clases de equivalencia en B bajo esta relación: P ( D ) = B /~ . Se representan con coordenadas proyectivas [ a , b ] .

Considere la incrustación D → P ( D ) por z → [ z , 1] . Entonces los puntos [1, n ] , para n ² = 0 , están en P ( D ) pero no son la imagen de ningún punto debajo de la incrustación. P ( D ) se asigna a un cilindro mediante proyección : Tome un cilindro tangente al plano numérico doble en la línea { yε  : y ∈ } ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , ε ² = 0 . Ahora toma la línea opuesta en el cilindro como eje de un lápiz de planos. Los planos que cruzan el plano numérico dual y el cilindro proporcionan una correspondencia de puntos entre estas superficies. El plano paralelo al plano de los números duales corresponde a los puntos [1, n ] , n ² = 0 en la recta proyectiva sobre los números duales.

Ver también

• Análisis infinitesimal suave
• Teoría de la perturbación
• Infinitesimal
• teoría del tornillo
• Número dual complejo
• Transformaciones de Laguerre
• número de Grassmann
• Diferenciación automática

Referencias

1. Álgebra abstracta / matrices reales 2x2 en Wikilibros
2. Yaglom, IM (1979). Una geometría no euclidiana simple y su base física . Saltador. ISBN 0-387-90332-1. SEÑOR  0520230.
3. Ángeles, Jorge (1998), Ángeles, Jorge; Zakhariev, Evtim (eds.), "La aplicación del álgebra dual al análisis cinemático", Métodos computacionales en sistemas mecánicos: análisis, síntesis y optimización de mecanismos , Serie NATO ASI, Springer Berlin Heidelberg, vol. 161, págs. 3–32, doi :10.1007/978-3-662-03729-4_1, ISBN 9783662037294
4. Shafarevich, Igor R. (2013), "Esquemas", Geometría algebraica básica 2 , Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, págs. 35-38, ISBN 978-3-642-38009-9, recuperado el 27 de diciembre de 2023
5. Grünwald, Josef (1906). "Über duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie". Monatshefte für Mathematik . 17 : 81-136. doi :10.1007/BF01697639. S2CID  119840611.
6. Segre, Corrado (1912). "XL. Le geometrie proiettive nei campi di numeri duali". Ópera .También en Atti della Reale Accademia della Scienze di Torino 47 .

Otras lecturas

• Bencivenga, Ulderico (1946). "Sulla rappresentazione geométrica delle algebre doppie dotate di modulo" [Sobre la representación geométrica de álgebras dobles con módulo]. Atti della Reale Accademia delle Scienze e Belle-Lettere di Napoli . 3 (en italiano). 2 (7). SEÑOR  0021123.
• Clifford, William Kingdon (1873). "Bosquejo preliminar de bi-cuaterniones". Actas de la Sociedad Matemática de Londres . 4 : 381–395.
• Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B. (abril de 2004). «Geometría de Números Complejos Generalizados» (PDF) . Revista Matemáticas . 77 (2): 118-129. doi :10.1080/0025570X.2004.11953236. S2CID  7837108. Archivado (PDF) desde el original el 9 de octubre de 2022.
• Molinero, Guillermo; Boehning, Rochelle (1968). "Números gaussianos, parabólicos e hiperbólicos". El profesor de matemáticas . 61 (4): 377–382. doi :10.5951/MT.61.4.0377.
• Estudio, Eduard (1903). Geometrie der Dynamen. BG Teubner. pag. 196.De las monografías de matemáticas históricas de Cornell en la Universidad de Cornell .
• Yaglom, IM (1968). Números complejos en geometría . Traducido del ruso por Eric JF Primrose. Nueva York y Londres: Academic Press . pag. 12-18.
• Marca, Luis (1947). Análisis vectorial y tensorial . Nueva York: John Wiley & Sons.
• Fischer, Ian S. (1999). Métodos de números duales en cinemática, estática y dinámica . Boca Ratón: CRC Press.
• Bertram, W. (2008). Geometría diferencial, grupos de mentiras y espacios simétricos sobre anillos y campos de base generales . Memorias de la AMS. vol. 192. Providencia, Rhode Island: Amer. Matemáticas. Soc.
• ""Espacio tangente "superior". math.stackexchange.com .