Línea proyectiva real

En geometría , una recta proyectiva real es una recta proyectiva sobre los números reales . Es una extensión del concepto habitual de línea que se ha introducido históricamente para resolver un problema planteado por la perspectiva visual : dos líneas paralelas no se cruzan sino que parecen cruzarse "en el infinito". Para resolver este problema se han introducido puntos en el infinito , de tal forma que en un plano proyectivo real , dos rectas proyectivas distintas se encuentran exactamente en un punto. El conjunto de estos puntos en el infinito, el "horizonte" de la perspectiva visual en el plano, es una línea proyectiva real. Es el conjunto de direcciones que emanan de un observador situado en cualquier punto, con direcciones opuestas identificadas.

Un ejemplo de línea proyectiva real es la línea real proyectivamente extendida , que a menudo se denomina línea proyectiva.

Formalmente, una línea proyectiva real P ( R ) se define como el conjunto de todos los subespacios lineales unidimensionales de un espacio vectorial bidimensional sobre los reales. Los automorfismos de una recta proyectiva real se denominan transformaciones proyectivas , homografías o transformaciones fraccionarias lineales . Forman el grupo lineal proyectivo PGL(2, R ). Cada elemento de PGL(2, R ) puede definirse mediante una matriz real no singular de 2×2, y dos matrices definen el mismo elemento de PGL(2, R ) si una es el producto de la otra y un número real distinto de cero.

Topológicamente, las líneas proyectivas reales son homeomorfas a los círculos . El análogo complejo de una línea proyectiva real es una línea proyectiva compleja , también llamada esfera de Riemann .

Definición

Los puntos de la recta proyectiva real suelen definirse como clases de equivalencia de una relación de equivalencia . El punto de partida es un espacio vectorial real de dimensión 2, $V.$ Defina en $V ∖ 0$ la relación binaria $v ~ w$ que se mantendrá cuando exista un número real $t$ distinto de cero tal que $v = t w$ . La definición de un espacio vectorial implica casi inmediatamente que se trata de una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia son las líneas vectoriales de las que se ha eliminado el vector cero. La recta proyectiva real $P (V)$ es el conjunto de todas las clases de equivalencia. Cada clase de equivalencia se considera como un único punto o, en otras palabras, un punto se define como una clase de equivalencia.

Si se elige una base de $V$ , esto equivale (identificando un vector con su vector de coordenadas ) a identificar $V$ con el producto directo $R \times R = R 2$ , y la relación de equivalencia se convierte en $(x, y) ~ (w, z)$ . si existe un número real $t$ distinto de cero tal que $(x, y) = (tw, tz)$ . En este caso, la línea proyectiva $P (R 2)$ se denomina preferentemente $P 1 (R)$ o . La clase de equivalencia del par $($ $x$ $,$ $y$ $)$ se denota tradicionalmente $[$ $x$ $:$ $y$ $]$ , y los dos puntos en la notación recuerdan que, si $y$ $\neq 0$ , la relación $x$ $:$ $y$ es la misma para todos los elementos de la clase de equivalencia. Si un punto $P$ es la clase de equivalencia [ $x$ $:$ $y$ $]$ $se$ dice que $($ $x$ $,$ $y$ $)$ es un par de coordenadas proyectivas de $P.$ ^[1] $\mathbb {R} \mathbb {P} ^{1}$

Como $P (V)$ se define a través de una relación de equivalencia, la proyección canónica de $V$ a $P (V)$ define una topología (la topología del cociente ) y una estructura diferencial en la línea proyectiva. Sin embargo, el hecho de que las clases de equivalencia no sean finitas genera algunas dificultades para definir la estructura diferencial. Éstos se resuelven considerando $a V$ como un espacio vectorial euclidiano . La circunferencia de los vectores unitarios es, en el caso de $R 2$ , el conjunto de los vectores cuyas coordenadas satisfacen $x 2 + y 2 = 1$ . Este círculo corta cada clase de equivalencia exactamente en dos puntos opuestos. Por lo tanto, la línea proyectiva puede considerarse como el espacio cociente del círculo mediante la relación de equivalencia tal que $v ~ w$ si y sólo si $v = w$ o $v = - w$ .

Gráficos

La recta proyectiva es una variedad . Esto se puede ver en la construcción anterior a través de una relación de equivalencia, pero es más fácil de entender proporcionando un atlas que consta de dos gráficos .

Cuadro #1: $y\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {x}{y}}$
Cuadro #2: $x\neq 0,\quad [x:y]\mapsto {\frac {y}{x}}$

La relación de equivalencia establece que todos los representantes de una clase de equivalencia son enviados al mismo número real mediante un gráfico.

Cualquiera de $x$ o $y$ puede ser cero, pero no ambos, por lo que se necesitan ambos gráficos para cubrir la línea proyectiva. El mapa de transición entre estos dos gráficos es el inverso multiplicativo . Como es una función diferenciable , e incluso una función analítica (fuera de cero), la línea proyectiva real es a la vez una variedad diferenciable y una variedad analítica .

La función inversa del gráfico n.° 1 es el mapa.

x\mapsto [x:1].

Define una incrustación de la línea real en la línea proyectiva, cuyo complemento de la imagen es el punto $[1: 0]$ . El par formado por esta incrustación y la línea proyectiva se llama línea real proyectivamente extendida . Al identificar la línea real con su imagen mediante esta incrustación, se ve que la línea proyectiva puede considerarse como la unión de la línea real y el punto único $[1: 0]$ , llamado punto en el infinito de la línea real proyectivamente extendida, y denotado $\infty$ . Esta incrustación nos permite identificar el punto $[x : y]$ ya sea con el número real $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}X/y$ si $y \neq 0$ , o con $\infty$ en el otro caso.

Se puede hacer la misma construcción con el otro gráfico. En este caso, el punto en el infinito es $[0:1]$ . Esto muestra que la noción de punto en el infinito no es intrínseca a la línea proyectiva real, sino que es relativa a la elección de una incrustación de la línea real en la línea proyectiva.

Estructura

La línea proyectiva real es un rango proyectivo completo que se encuentra en el plano proyectivo real y en la línea proyectiva compleja. Por tanto, su estructura se hereda de estas superestructuras. La principal entre estas estructuras es la relación de conjugados armónicos proyectivos entre los puntos del rango proyectivo.

La recta proyectiva real tiene un orden cíclico que extiende el orden habitual de los números reales.

Automorfismos

El grupo lineal proyectivo y su acción.

La multiplicación matriz-vector define una acción izquierda de $GL 2 (R)$ en el espacio $R 2$ de vectores columna: explícitamente,

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ax+por\\cx+dy \end{pmatriz}}.

Dado que cada matriz en $GL 2 (R)$ fija el vector cero y asigna vectores proporcionales a vectores proporcionales, existe una acción inducida de $GL 2 (R)$ en $P 1 (R)$ : explícitamente, ^[2]

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}[x:y]=[ax+by:cx+dy].

(Aquí y a continuación, la notación para coordenadas homogéneas denota la clase de equivalencia de la matriz de columnas ; no debe confundirse con la matriz de filas ) $[x:y]$ $\textstyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}};$ $[x\;y].$

Los elementos de $GL 2 (R)$ que actúan trivialmente sobre $P 1 (R)$ son los múltiplos escalares distintos de cero de la matriz identidad; estos forman un subgrupo denominado $R \times$ . El grupo lineal proyectivo se define como el grupo cociente $PGL 2 (R) = GL 2 (R)/ R \times$ . Por lo anterior, existe una acción fiel inducida $de$ $PGL 2 (R)$ sobre $P1 (R)$ . Por esta razón, el grupo $PGL 2 (R)$ también puede denominarse grupo de automorfismos lineales de $P 1 (R)$ .

Transformaciones fraccionarias lineales

Usando la identificación $R \cup \infty \to P 1 (R)$ enviando $x$ a $[x :1]$ y $\infty$ a $[1:0]$ , se obtiene una acción correspondiente de $PGL 2 (R)$ sobre $R \cup \infty$ , que es por fraccional lineal transformaciones : explícitamente, ya que

{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}[x:1]=[ax+b:cx+d]\quad \mathrm {y} \quad {\begin{pmatrix}a&b \\c&d\end{pmatrix}}[1:0]=[a:c],

la clase de en $PGL$ $2$ $($ $R$ $)$ actúa como ^[3]^[4]^[5] y , ^[6] en el entendido de que cada fracción con denominador 0 debe interpretarse como $\infty$ . ^[7] ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ $x\mapsto {\frac {ax+b}{cx+d}}$ $\infty \mapsto {\frac {a}{c}}$

Propiedades

Dados dos triples ordenados de puntos distintos en $P 1 (R)$ , existe un elemento único de $PGL 2 (R)$ que asigna el primer triple al segundo; es decir, la acción es marcadamente 3-transitiva . Por ejemplo, la transformación fraccionaria lineal que asigna $(0, 1, \infty)$ a $(-1, 0, 1)$ es la transformada de Cayley . $x\mapsto {\frac {x-1}{x+1}}$
El estabilizador en $PGL 2 (R)$ del punto $\infty$ es el grupo afín de la recta real, que consta de las transformaciones para todos $a$ $\in$ $R$ $\times$ y $b$ $\in$ $R$ . $x\mapsto ax+b$

Ver también

Notas

^ El argumento utilizado para construir $P 1 (R)$ también se puede utilizar con cualquier campo K y cualquier dimensión para construir el espacio proyectivo $P n (K)$ .
^ Miyake, Formas modulares , Springer, 2006, §1.1. Esta referencia y algunas de las otras siguientes funcionan con $P 1 (C)$ en lugar de $P 1 (R)$ , pero el principio es el mismo.
^ Lang, Funciones elípticas , Springer, 1987, 3.§1.
^ Serre, Un curso de aritmética , Springer, 1973, VII.1.1.
^ Stillwell, Las matemáticas y su historia , Springer, 2010, §8.6
^ Lang, Análisis complejo , Springer, 1999, VII, §5.
^ Koblitz, Introducción a las curvas elípticas y las formas modulares , Springer, 1993, III.§1.

Referencias

Juan Carlos Alvarez Paiva (2000) The Real Projective Line, contenido del curso de la Universidad de Nueva York .
Santiago Cañez (2014) Apuntes sobre Geometría Proyectiva de la Universidad Northwestern .