En matemáticas , el semiplano superior , es el conjunto de puntos en el plano cartesiano con El semiplano inferior es el conjunto de puntos con en su lugar . Cada uno es un ejemplo de semiespacio bidimensional .
Las transformaciones afines del semiplano superior incluyen
Proposición: Sean y semicírculos en el semiplano superior con centros en el límite . Luego hay un mapeo afín que lleva a .
y dilatar. Luego cambia al centro de
Definición: .
puede reconocerse como el círculo de radio centrado en y como la gráfica polar de
Proposición: en y son puntos colineales .
De hecho, es la inversión de la recta en el círculo unitario . De hecho, la diagonal de a tiene una longitud al cuadrado , por lo que es el recíproco de esa longitud.
La distancia entre dos puntos cualesquiera y en el semiplano superior se puede definir consistentemente de la siguiente manera: la bisectriz perpendicular del segmento de a cruza el límite o es paralela a él. En el último caso , y se encuentran en un rayo perpendicular al límite y se puede utilizar una medida logarítmica para definir una distancia que es invariante bajo dilatación. En el primer caso y se encuentran en un círculo centrado en la intersección de su mediatriz y el límite. Según la proposición anterior, este círculo se puede mover mediante movimiento afín a Las distancias en se pueden definir usando la correspondencia con puntos y una medida logarítmica en este rayo. En consecuencia, el semiplano superior se convierte en un espacio métrico . El nombre genérico de este espacio métrico es plano hiperbólico . En cuanto a los modelos de geometría hiperbólica , este modelo se denomina frecuentemente modelo de semiplano de Poincaré .
Los matemáticos identifican en ocasiones el plano cartesiano con el plano complejo , y luego el semiplano superior corresponde al conjunto de los números complejos con parte imaginaria positiva :
El término surge de una visualización común del número complejo como el punto del plano dotado de coordenadas cartesianas . Cuando el eje está orientado verticalmente, el " semiplano superior " corresponde a la región situada encima del eje y, por tanto, a los números complejos para los que .
Es el dominio de muchas funciones de interés en análisis complejos , especialmente formas modulares . El semiplano inferior, definido por es igualmente bueno, pero menos utilizado por convención. El disco unitario abierto ( el conjunto de todos los números complejos de valor absoluto menor que uno) es equivalente mediante un mapeo conforme a ( ver " Métrica de Poincaré "), lo que significa que generalmente es posible pasar entre y
También juega un papel importante en la geometría hiperbólica , donde el modelo de semiplano de Poincaré proporciona una forma de examinar los movimientos hiperbólicos . La métrica de Poincaré proporciona una métrica hiperbólica en el espacio.
El teorema de uniformización de superficies establece que el semiplano superior es el espacio universal que cubre superficies con curvatura gaussiana negativa constante .
El semiplano superior cerrado es la unión del semiplano superior y el eje real. Es el cierre del semiplano superior.
Una generalización natural en geometría diferencial es el espacio hiperbólico la variedad de Riemann dimensional , simplemente conexa y máximamente simétrica con curvatura seccional constante . En esta terminología, el semiplano superior es ya que tiene dimensión real
En teoría de números , la teoría de las formas modulares de Hilbert se ocupa del estudio de ciertas funciones sobre el producto directo de copias del semiplano superior. Otro espacio más interesante para los teóricos de los números es el semiespacio superior de Siegel , que es el dominio de las formas modulares de Siegel .
