Implica que los poliedros convexos con formas distintas entre sí también tienen distintos espacios métricos de distancias superficiales, y caracteriza los espacios métricos que provienen de las distancias superficiales en los poliedros.Lleva el nombre del matemático soviético Aleksandr Danílovich Aleksándrov, quien lo publicó en la década de 1940.Lo mismo es cierto incluso para los puntos en las aristas del poliedro: se pueden modelar localmente como un plano euclidiano plegado en una línea e incrustado en un espacio tridimensional, pero el pliegue no cambia la estructura de los caminos más cortos en la superficie.Establece que si un espacio métrico es geodésico, homeomorfo a una esfera y localmente euclídeo excepto por un número finito de puntos cónicos de defecto angular positivo (que necesariamente suman 4Π), entonces existe un poliedro convexo cuyo desarrollo es el espacio dado.En este caso, su superficie métrica consta de dos copias del polígono (sus dos lados) pegadas entre sí en los bordes correspondientes.El icosaedro regular permite obtener un ejemplo: si se eliminan cinco de sus triángulos y se reemplazan por cinco triángulos congruentes que forman una hendidura en el poliedro, la métrica de la superficie resultante permanece sin cambios.Su existencia fue probada por Aleksándrov, utilizando un argumento que involucraba límites de métricas poliédricas.[9] Alekséi Pogorélov generalizó estos dos resultados, caracterizando los desarrollos de cuerpos convexos arbitrarios en tres dimensiones.
Se pueden doblar y pegar cuatro hexágonos regulares para formar la superficie de un octaedro regular.
[
4
]
Pero en este ejemplo, las aristas de los hexágonos no se sitúan a lo largo de las aristas del octaedro
El icosaedro regular tiene la misma métrica de superficie que un
deltaedro
no convexo en el que una de sus pirámides de cinco triángulos se
empuja
hacia adentro en lugar de sobresalir
