Teorema de Cayley-Bacharach
Afirma que, en ciertos casos, las curvas algebraicas que atraviesan parte de las intersecciones de otras dos curvas algebraicas, deben contener todas estas intersecciones.
En particular, una curva cúbica que pasa a través de ocho de las nueve intersecciones de otras dos cúbicas, también contiene la última intersección.
Esta declaración fue formulada y probada por primera vez por Michel Chasles.
El teorema generalmente lleva el nombre de Arthur Cayley e Isaak Bacharach, quienes sugirieron o probaron generalizaciones del mismo.
En la redacción de Chasles, el teorema expresa lo siguiente:[1] Teorema de ChaslesSi dos curvas cúbicas se cruzan en el plano proyectivo en nueve puntos diferentes, cada curva cúbica que pasa a través de ocho de estos puntos también contiene el noveno.
Según el teorema de Bézout, 9 es el número máximo posible de diferentes intersecciones, siempre que las dos curvas no tengan un componente común.
Sobre un campo algebraicamente cerrado, este número máximo siempre se alcanza si los puntos son todos diferentes.
[2] En la versión original, sin embargo, carece de algunas condiciones importantes y su demostración también contenía varias lagunas.
[3] Basándose en los trabajos de Alexander von Brill y Max Noether, Bacharach pudo resolver estas deficiencias y presentó una generalización correcta en su conferencia inaugural de 1881.
puntos diferentes, por lo que cada curva algebraica de orden
) pasando por todos los puntos de intersección menos
, también pasará por el resto de los puntos, a menos que estos
puntos pertenezcan a una curva de orden
se deduce el teorema de Chasles.
es un conjunto de puntos en el espacio proyectivo, formando así los polinomios de cierto grado
que pasan por todos los puntos de
, indica cómo las curvas algebraicas de grado
al conjunto de nueve intersecciones y
esto da una codimensión máxima de 8, ya que con los dos polinomios que definen las dos cúbicas dadas, ya hay dos polinomios linealmente independientes que pasan por todos los puntos de
coincide, y así, cada cúbica que pasa por todos los puntos de
Tanto el teorema de Pappus como el teorema de Pascal son casos especiales del teorema de Cayley-Bacharach.
por otro lado, se tienen dos líneas cúbicas que se cruzan en nueve puntos, es decir, en
así como en los tres puntos de intersección
La sección cónica junto con la línea recta que pasa por
Con la ayuda del teorema de Cayley-Bacharach, es fácil probar la ley asociativa para la adición de curvas elípticas: sean
tres puntos en una curva elíptica, y
el punto que representa el elemento neutro.
que definen una cúbica, así como las tres líneas rectas
Las intersecciones de estas dos cúbicas son
La curva elíptica contiene los primeros ocho puntos, incluido el último.
