Teoría de la aproximación

En matemáticas, la teoría de la aproximación se refiere a cómo las funciones pueden ser aproximadas con otras funciones más simples, incluyendo la caracterización cuantitativa del error introducido.Esto normalmente se hace con aproximaciones polinómicas o racionales (relación de polinomios).El objetivo es hacer que la aproximación sea lo más cercana posible a la función real, generalmente con una precisión cercana a la de la aritmética en coma flotante de la computadora subyacente.Esto se logra mediante el uso de un polinomio de alto grado, y/o estrechando el dominio sobre el que el polinomio tiene que aproximar la función.La reducción del dominio a menudo se puede hacer mediante el uso de varias fórmulas de adición o escalado para la función que se aproxima.El problema de la aproximación surgió muy temprano en geometría, para las funciones trigonométricas: son funciones cuyas propiedades conocemos (paridad, diferenciabilidad, valores en puntos particulares) pero que no se expresan a partir de operaciones que se pueden realizar a mano (las cuatro operaciones).Esto llevó a la noción de desarrollo en serie.Un problema particularmente interesante es el de aproximar funciones por otras definidas únicamente a partir de operaciones informáticas básicas, como la suma y la multiplicación, para crear bibliotecas de funciones matemáticas cuya ejecución produzca valores lo más cercanos posible a los valores teóricos.A menudo se puede realizar una reducción de dominio, aunque esto requiere una composición por otras funciones afines (lineales) de la función que se va a aproximar.En otras palabras, si f es la función real y P el polinomio que debe tender a f, debemos minimizar el límite superior de la funciónEs posible construir funciones f para las cuales esta propiedad no se cumple, pero en la práctica generalmente es cierta.Una vez que se elige el dominio (típicamente un intervalo) y el grado del polinomio, el polinomio en sí se elige de tal manera que se minimice el error del peor de los casos.Es posible encontrar funciones artificiales f(x) para las cuales no existe tal polinomio, pero raramente se suelen dar en la práctica.Las curvas rojas, para el polinomio óptimo, establecen un nivel de referencia, es decir, oscilan entreDebe tenerse en cuenta que, en cada caso, el número de extremos es N+2, es decir, 6.El gráfico rojo a la derecha muestra cómo podría ser esta función de error para N = 4.Pero [P(x) - f(x)] - [ Q (x) - f(x)] se reduce a P(x) - Q(x) que es un polinomio de grado N. Esta función cambia el signo al menos N+1 veces, por lo que, por el Teorema del valor intermedio, tiene N+1 ceros, lo que es imposible para un polinomio de grado N.[4]​ Se pueden obtener polinomios muy cercanos al óptimo expandiendo la función dada en términos de los polinomios de Chebyshev y luego cortando la expansión en el grado deseado., el error tomará una forma cercana a un múltiplo deEsto significa que el error entre f(x) y su expansión de Chebyshev a[6]​ El algoritmo Remez (a veces escrito Remes) se usa para producir un polinomio óptimo P(x) que se aproxima a una función dada f(x) en un intervalo dado.son presumiblemente los puntos finales del intervalo de aproximación), estas ecuaciones deben resolverse: Los lados de la derecha se alternan en señal, es decir Dado que, se puede resolver este sistema para obtener el polinomio Py el númeroes 4.43 × 10−4 Téngase en cuenta que el gráfico de error toma los valoresSi los cuatro puntos de prueba interiores hubieran sido extremos (es decir, la función P(x) f(x) tuviera máximos o mínimos allí), el polinomio sería óptimo.Por ejemplo, al observar el gráfico se puede decir que el punto en −0.1 debería haber estado en aproximadamente −0.28.Como se conoce la primera y la segunda derivada de P(x) − f(x), se puede calcular aproximadamente hasta qué punto se debe mover un punto de prueba para que la derivada sea cero.También se debe poder calcular la primera y la segunda derivada de f(x).Esta secuencia continúa hasta que el resultado converge a la precisión deseada.del resultado correcto después de la siguiente iteración.como los puntos iniciales, ya que la función de error final será similar a ese polinomio.