Sólidos platónicos
Los sólidos platónicos o regulares son poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, y en que todos los ángulos sólidos son iguales.
[1] Reciben este nombre en honor al filósofo griego Platón (ca.
427 a. C./428 a. C.-347 a. C.), a quien se atribuye haberlos estudiado en primera instancia.
También se conocen como cuerpos cósmicos, sólidos pitagóricos, poliedros platónicos o, sobre la base de propiedades geométricas, poliedros regulares convexos.
[2] Están gobernados por la fórmula V+C = A+2, donde V es el número de vértices; C, número de caras, y A, número de aristas, que fue descubierta por el matemático Leonhard Euler.
[3] Los sólidos platónicos son el tetraedro, el cubo (o hexaedro regular), el octaedro (o bipirámide cuadrada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson),[4] el dodecaedro y el icosaedro (o bipirámide pentagonal giroelongada si se incluyera en la nomenclatura de sólidos de Johnson).
Esta lista es exhaustiva, ya que es imposible construir otro sólido diferente de los cinco anteriores que cumpla todas las propiedades exigidas, es decir, convexidad y regularidad.
Se desconoce con exactitud desde cuándo eran conocidas las propiedades de estos poliedros; hay referencias a unas bolas neolíticas (fechadas hacia 2000 a. C.) de piedra labrada encontradas en Escocia.
[5] Los antiguos griegos estudiaron los sólidos platónicos a fondo, y fuentes (como Proclo) atribuyen a Pitágoras su descubrimiento.
Otra evidencia sugiere que solo estaba familiarizado con el tetraedro, el cubo y el dodecaedro, y que el descubrimiento del octaedro y el icosaedro pertenecen a Teeteto, un matemático griego contemporáneo de Platón.
En cualquier caso, Teeteto dio la descripción matemática de los cinco poliedros y es posible que fuera el responsable de la primera demostración de que no existen otros poliedros regulares convexos.
Timeo de Locri, en el diálogo de Platón, asocia al fuego con el tetraedro; al aire, con el octaedro; al agua, con el icosaedro; a la tierra, con el cubo; e indica que como aún es posible una quinta forma (que sería el dodecaedro), Dios ha utilizado esta para el universo.
A continuación se dan dos demostraciones de que no pueden existir más de cinco sólidos platónicos, pero demostrar que cada uno de esos cinco es efectivamente un sólido platónico es otra cuestión, que requiere una construcción explícita.
El siguiente argumento es muy parecido al que da Euclides en los Elementos: Analizados todos los posibles casos, podemos concluir que no pueden existir más de cinco sólidos platónicos.
Dado cualquier supuesto sólido platónico, podemos deformar sus aristas continuamente para que todas ellas queden dentro de un plano formando un grafo plano (ver figura).
Entonces, por la fórmula de Euler en el plano tenemos que
el número de vértices, aristas y caras, respectivamente, del grafo (y, por tanto, del sólido platónico).
Un sólido platónico, por definición, queda totalmente determinado por dos números,
Ahora, si pasamos por cada cara y contamos todos sus lados, obtendremos
Como en ambos casos hemos contado lo mismo, tenemos que
porque siempre es mayor o igual que 3.
Si ahora pasamos por cada arista y contamos los vértices a los que es adyacente, obtendremos
, pues cada arista es adyacente a exactamente dos vértices.
aristas por definición, hemos contado cada vértice
veces y, por tanto, hemos contado
en la fórmula de Euler, tenemos que:
, observamos que la anterior ecuación sólo puede tener cinco soluciones enteras para
Tal y como se ha expresado para definir estos poliedros: Los sólidos platónicos tienen caracterizaciones simétricas: Como consecuencia geométrica de lo anterior, se pueden trazar en todo sólido platónico tres esferas particulares, todas ellas centradas en el centro de simetría del poliedro: Proyectando los centros de las aristas de un poliedro platónico sobre su esfera circunscrita desde el centro de simetría del poliedro se obtiene una red esférica regular, compuesta por arcos iguales de círculo máximo, que constituyen polígonos esféricos regulares.
Si se traza un poliedro empleando como vértices los centros de las caras de un sólido platónico se obtiene otro sólido platónico, llamado conjugado o dual del primero, con tantos vértices como caras tenía el sólido inicial, y el mismo número de aristas.
[9] Enuncia que el número de caras de un poliedro platónico más el número de sus vértices es igual al número de sus aristas más dos, mediante la siguiente ecuación: En la naturaleza hay estructuras que son poliedros regulares casi perfectos, por ejemplo, la estructura básica del VIH es un icosaedro regular.
