Representación de grupo

Si el objeto es un espacio vectorial tenemos una representación lineal.La mayor parte de este artículo describe la teoría de las representaciones lineales; véase la última sección para las generalizaciones.Las divisiones más importantes son: La teoría de la representación también depende en gran medida del tipo de espacio vectorial sobre el que actúa el grupo.El caso más importante es el campo de los números complejos.A veces se utiliza realización para esta noción, reservando el término representación para lo que más abajo se llamará representaciones lineales.El caso especial donde la representación es sobre un cuerpo de característica p y p divide el orden del grupo, llamada teoría de la representación modular, tiene propiedades muy diversas (véase abajo).Estas pruebas se pueden transportar a los grupos infinitos si el promedio es substituido por una integral, lo que solamente funciona si podemos definir una noción aceptable de integral.Esto se puede hacer para los grupos localmente compactos, usando la medida de Haar.La teoría que resulta es una parte central del análisis armónico.Grupos topológicos no compactos: La clase de grupos no compactos es demasiado amplia para construir cualquier teoría general de representación, pero se han estudiado casos especiales específicos, a veces usando técnicas ad hoc.Los grupos de Lie semisimples tiene una teoría profunda, basada en el caso compacto.(las representaciones infinito dimensionales son también posibles; el espacio vectorial puede entonces ser un espacio de Hilbert infinito dimensional, por ejemplo.)Las representaciones en el caso finito del cuerpo se llaman modulares.Un conjunto X se dice que soporta una representación conjuntista o representación por permutación de un grupo G si hay una función, ρ de G a XX, el conjunto de las funciones de X a X tales que para g1, g2 en G, y x en X Esta condición y los axiomas para un grupo implican que ρ(g) es una biyección (permutación) para todo g en G. Así podemos equivalentemente definir una representación de permutación como un homomorfismo de grupos de G al grupo simétrico SX de X.Considere el número complejo u = exp(2πi/3) que tiene la propiedad u³ = 1.Esta representación se dice fiel, porque ρ es inyectiva.Dos representaciones ρ1 y ρ2 se dicen equivalentes si las matrices se diferencian solamente por un cambio de base, es decir si existe A en GL(n, C) tal que para todo el x en G: ρ1(x) = Aρ2(x)A-1.Cada matriz cuadrada n-por-n describe una función lineal desde un espacio vectorial n-dimensional V a sí mismo (una vez que se ha elegido una base para V).Si V tiene un subespacio propio no trivial W tal que W es estable por la representación ρ, entonces la representación se dice reducible.Una representación reducible se puede expresar como una suma directa de subrepresentaciones (Teorema de Maschke) (solamente para los grupos finitos, las representaciones reducibles son necesariamente descomponibles!).Si V no tiene ningún tal subespacio; se dice que ρ es una representación irreducible.Para grupos de Lie compactos se tiene el siguiente teorema: SeaLa tabla de caracteres es siempre cuadrada, y las filas y las columnas son ortogonales con respecto al producto interno en Cm (véase relación de ortogonalidad), que permite que se compute las tablas de caracteres más fácilmente.La primera fila de la tabla de caracteres siempre consiste en unos, y corresponde a la representación trivial (la representación de 1 dimensión que consiste en las matrices 1×1 que contienen la entrada 1).