En matemáticas, y más particularmente en teoría de conjuntos, un recubrimiento (o cubrimiento) de un conjunto
pertenece al menos a uno de los subconjuntos
Un subrecubrimiento de un recubrimiento de un conjunto es un subconjunto del recubrimiento que también cubre el conjunto.
Los recubrimientos se utilizan comúnmente en el contexto de la topología.
cuya unión es el espacio entero
En este caso, se dice que
cuya unión contiene a
o con conjuntos en el espacio padre
Sea C un recubrimiento de un espacio topológico X.
Un subrecubrimiento de C es un subconjunto de C que todavía recubre a X.
Se dcie que C es un recubrimiento abierto si cada uno de sus miembros es un conjunto abierto (es decir, cada Uα está contenido en T, donde T es la topología en X).
Se dice que un recubrimiento de X es localmente finito si cada punto de X tiene un entorno que interseca solo conjuntos finitos del recubrimiento.
Formalmente, C = {Uα} es localmente finito si para cualquier
existe algún entorno N(x) de x tal que el conjunto es finito.
Se dice que un recubrimiento de X es puntualmente finito si cada punto de X está contenido solo en un número finito de conjuntos del recubrimiento.
Formalmente, En otras palabras, hay una aplicación de refinamiento
[1] Cada subrecubrimiento es también un refinamiento, pero lo opuesto no siempre es cierto.
Un subrecubrimiento se genera a partir de los conjuntos que forman parte del recubrimiento, pero omitiendo algunos de ellos; mientras que un refinamiento se hace a partir de cualquier conjunto que sea un subconjunto de los conjuntos del recubrimiento.
En términos generales, un refinamiento de una estructura dada es otra que en algún sentido la contiene.
Se pueden encontrar ejemplos al realizar particiones de un intervalo (un refinamiento de
Al subdividir complejos simpliciales (la primera subdivisión baricéntrica de un complejo simplicial es un refinamiento), la situación es ligeramente diferente: cada símplex en el complejo más fino es una cara de algún símplex en el más grueso, y ambos tienen poliedros subyacentes iguales.
Una forma sencilla de obtener un subrecubrimiento es omitir los conjuntos contenidos en otro conjunto en el recubrimiento.
Considérense específicamente los recubrimientos abiertos.
{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{tal que }}A\subseteq U\}.}
(requiriendo el axioma de elección).
Por lo tanto, en particular, la segunda numerabilidad implica que un espacio es de Lindelöf.
El lenguaje de los recubrimientos se utiliza a menudo para definir varias propiedades topológicas relacionadas con la compacidad.
Se dice que un espacio topológico X es: Para ver más variaciones, consúltense los artículos anteriores.
Se dice que un espacio topológico X es de dimensión de recubrimiento de Lebesgue n si cada recubrimiento abierto de X tiene un refinamiento abierto puntualmente finito tal que ningún punto de X está incluido en más de n+1 conjuntos en el refinamiento y si n es el valor mínimo para el cual esto es cierto.
[2] Si no existe tal n mínimo, se dice que el espacio es de dimensión de recubrimiento infinita.