Colección localmente finita

El recíproco, sin embargo, puede fallar si las clausuras de los conjuntos no son distintas.Por ejemplo en la topología cofinita en R la colección de todos los conjuntos abiertos no es localmente finita, pero la colección de todas las clausuras de estos conjuntos es localmente finita (ya que las únicas clausuras son R y el conjunto vacío).Ninguna colección infinita de un espacio compacto puede ser localmente finita.En particular, ningún recubrimiento no numerable de un espacio segundo-numerable es localmente finito.La finitud numerablemente local es una hipótesis clave en el teorema de metrización de Nagata-Smírnov, que afirma que un espacio topológico es metrizable si y solo si es regular y tiene una base numerablemente localmente finita.