Problema de los momentos
El problema de los momentos es una cuestión En matemáticas que surge como resultado de intentar invertir la aplicación que relaciona una medida μ con la secuencia de momentos[1] De manera más general, se puede considerar que para una secuencia arbitraria de funciones Mn.
Dentro de la teoría clásica de funciones estadísticas, μ es una medida sobre la recta real y M es la secuencia {xn : n = 0, 1, 2, ...}.
De esta forma, la cuestión aparece en teoría de la probabilidad, preguntando si hay una medida de probabilidad que posea la media, la varianza y los distintos momentos especificados; y si esta medida es única.
Hay tres problemas de momentos clásicos con nombre: el problema del momento de Hamburger en el que el soporte de μ se permite que sea toda la recta real; el problema del momento de Stieltjes, en el que se considera el intervalo [0, +∞); y el problema del momento de Hausdorff para un intervalo acotado, que sin pérdida de generalidad puede tomarse como [0, 1].
Esto se debe a que una matriz de Hankel semidefinida positiva corresponde a un funcional lineal
En el caso de una sola variable, un polinomio no negativo siempre se puede escribir como suma de cuadrados.
es positivo para todos los polinomios no negativos en el caso univariante.
soportada en un intervalo dado [a, b].
Una forma de probar estos resultados es considerar el funcional lineal
que aplica un polinomio a Si mkn son los momentos de alguna medida μ sobre [a, b], entonces evidentemente
for any polynomial P that is non-negative on [a, b].
(1)Y viceversa, si (1) se cumple, se puede aplicar el teorema de extensión de M. Riesz y extender
a un funcional en el espacio de funciones continuas con soporte compacto C0([a, b ]), de modo que
(2)Según el teorema de representación de Riesz, (2) se cumple si existe una medida μ sobre [a, b], tal que para cada ƒ ∈ C0([a, b]).
Usando un teorema de representación para polinomios positivos en [a, b], se puede reformular (1) como una condición en la matriz de Hankel.
La unicidad de μ en el problema del momento de Hausdorff se deriva del teorema de aproximación de Weierstrass, que establece que los polinomios son densos bajo la norma del supremo en el espacio de funciones continuas en [0, 1].
Para el problema de un intervalo infinito, la unicidad es una cuestión más delicada (consúltese la condición de Carleman, la condición de Krein y Akhiezer (1965)).
Cuando la solución existe, se puede escribir formalmente usando derivadas de la delta de Dirac, ya que
Una variación importante es el problema del momento truncado, que estudia las propiedades de las medidas con los k primeros momentos fijos (para un k finito).
Los resultados del problema del momento truncado tienen numerosas aplicaciones para el problema extremal, los teoremas de optimización y los límites en teoría de la probabilidad.
