Pero los cumulantes de cuarto orden o superiores no son iguales a los momentos centrales.
Aunque la función H(t) estará bien definida, no obstante, se asemejará a K(t) en términos de la longitud de su serie de Taylor, que puede no extenderse más allá (o, rara vez, incluso a) el orden lineal en el argumento t, y en particular el número de Los cumulantes que están bien definidos no cambiará.
Sin embargo, incluso cuando H(t) no tiene una serie larga de Maclaurin, puede usarse directamente para analizar y, particularmente, para agregar variables aleatorias.
La función de generación de cumulantes K (t), si existe, es una función continuamente diferenciable y convexa, y pasa a través del origen.
(Las integrales proporcionan la intersección con el eje y de estas asíntotas, ya que K(0) = 0).
Para una masa puntual degenerada en c, la función generadora de cumulantes es la línea recta
El primer cumulante es equivariante y todos los demás son invariantes.
Esto significa que, si se denota con κn (X) el n-ésimo cumulante de la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, entonces para cualquier constante c: En otras palabras, cambiar una variable aleatoria (agregando c) cambia el primer cumulante (la media) y no afecta a ninguno de los otros.
, la función de generación del momento central está dada por y el n-ésimo momento central se obtiene en términos de cumulantes como Además, para n > 1, el n-ésimo cumulante en términos de los momentos centrales es El n-ésimo momento μ´n es un polinomio de grado n en los primeros n cumulantes.
Las primeras expresiones son: Para expresar los cumulantes κn para n > 1 como funciones de los momentos centrales, se deben eliminar de estos polinomios todos los términos en los que μ'1 aparece como un factor: Para expresar los cumulantes κn para n > 2 como funciones de momentos estándar centrales, también hágase μ'2=1 en los polinomios: Los cumulantes también están relacionados con los momentos por la siguiente fórmula de recursión: Estos polinomios tienen una notable interpretación combinatoria: los coeficientes permiten contabilizar ciertas particiones de conjuntos.
Una partición de un número entero n corresponde a cada término.
Se puede encontrar una conexión adicional entre cumulantes y combinatoria en el trabajo de Gian-Carlo Rota y Jianhong (Jackie) Shen, donde se estudian los enlaces a la teoría de invariantes, funciones simétricas, y secuencias binomiales a través del cálculo umbral.
Si algunas de las variables aleatorias son independientes de todas las demás, entonces cualquier cumulante que involucre dos (o más) variables aleatorias independientes es cero.
La conocida identidad se generaliza a los cumulantes: La ley de expectativa total y la ley de varianza total se generalizan naturalmente a los cumulantes condicionales.
Un sistema en equilibrio con un baño térmico a temperatura "T" puede ocupar los estados de energía E.
La energía E puede considerarse una variable aleatoria, teniendo una densidad de probabilidad.
La energía libre da acceso a todas las propiedades termodinámicas del sistema a través de sus derivadas de orden primero, segundo o superior, como su energía interna, entropía y capacidad calorífica.
Otra energía libre a menudo también es una función de otras variables como el campo magnético o el potencial químico
[10][11] Los cumulantes fueron introducidos por primera vez por Thorvald N. Thiele, en 1889, quien los llamó "semi-invariantes".
[12] Fueron llamados cumulantes por primera vez en un artículo[13] de 1932 firmado por Ronald Fisher y John Wishart.
[14] Stephen Stigler señaló que el nombre cumulante fue sugerido a Fisher en una carta de Harold Hotelling.
En un artículo publicado en 1929,[15] Fisher los había llamado "funciones de momento acumulativo".
La función de partición en física estadística fue introducida por Josiah Willard Gibbs en 1901.
En física estadística, los cumulantes también se conocen como funciones de Ursell, relacionados con una publicación en 1927.
Todas las dificultades del "problema de los cumulantes" están ausentes cuando se trabaja formalmente.
El ejemplo más simple es que el segundo cumulante de una distribución de probabilidad siempre debe ser no negativo, y es cero solo si todos los cumulantes más altos son cero.
Los cumulantes formales no están sujetos a tales restricciones.
Para esos polinomios, es posible construir una sucesión polinómica de la siguiente manera.
Fuera del polinomio constrúyase un nuevo polinomio con una variable adicional x: y a continuación se generaliza el patrón, consistente en que los números de bloques en las particiones antes mencionadas son los exponentes en x.
Si, por el contrario, solo se suman las particiones no cruzadas, al resolver estas fórmulas para