Principio de acción
De acuerdo con este principio existe una función escalar definida por una integral invariante llamada integral de acción, tal que, sobre la "trayectoria" temporal del sistema, esta función toma valores extremos.
La acción es una magnitud física escalar, representable por un número, con dimensiones de energía · tiempo.
El principio de menor acción primero fue formulado por Maupertuis en 1746 y después desarrollado (de 1748 en adelante) por los matemáticos Euler, Lagrange, y Hamilton.
Maupertuis llegó a este principio por la sensación de que la misma perfección del universo exige cierta economía en la naturaleza y está opuesta a cualquier gasto innecesario de energía.
Era solamente necesario encontrar esa cantidad, y esto procedió a hacer.
Era el producto de la duración (tiempo) del movimiento dentro de un sistema por la "vis viva" (violencia o fuerza viva) o dos veces lo que ahora llamamos la energía cinética del sistema.
Euler (en "Reflexions sur quelques lois générales de la nature.
", 1748) adopta el principio de la menor acción, llamando a la cantidad "effort".
Sin embargo, la mayor facilidad para generalizar el principio de acción lo hace preferible en cierto tipo de aplicaciones complejas, lo cual hace que el principio ocupe un papel central en la física moderna.
Muchos problemas en física se pueden representar y solucionar en la forma de un principio de acción, tal como encontrar la manera más rápida de descender a la playa para alcanzar a una persona que se ahoga.
El agua cayendo por los declives busca la pendiente más escarpada, la manera más rápida de llegar abajo, y agua que corre en una cuenca se distribuye de modo que su superficie sea tan baja como sea posible.
La trayectoria de un cuerpo en un campo gravitacional (es decir, caída libre en el espacio-tiempo, una, así llamada, geodésica) se puede encontrar usando el principio de acción.
Por ejemplo, el teorema de Emmy Noether asigna que toda simetría continua en una situación física corresponde a una ley de conservación.
Esta conexión profunda, sin embargo, requiere asumir el principio de acción.
El principio de acción es una teoría escalar, con derivaciones y aplicaciones que emplean cálculo elemental..
Que lo enunciaremos en coordenadas generalizadas, para así poder usar cartesinas, polares o esféricas, según requiera el sistema a tratar.
, entonces el lagrangiano es una función dependiente de estas cantidades y posiblemente también explícitamente del tiempo:
δS = 0 para cada ε. Observe que éste es el único requisito: el extremo podía ser un mínimo, punto de ensilladura o igual formalmente a un máximo.
Si utilizamos coordenadas esféricas t, r, φ, θ y L no dependen de φ, el momento conjugado son el momento angular (conservado).
Ejemplos triviales ayudan a apreciar el uso del principio de acción vía las ecuaciones Euler-Lagrange.
Una partícula libre (masa m y velocidad v) en un espacio euclidiano se mueve en una línea recta.
Usando las ecuaciones de Euler-Lagrange, esto puede ser demostrado en coordenadas polares como sigue.
En ausencia de un potencial, el lagrangiano es simplemente igual a la energía cinética
coordenadas ortonormales, donde el punto representa la diferenciación con respecto al parámetro de la curva (generalmente el tiempo t).
En coordenadas polares (r, φ) la energía cinética y por lo tanto el lagrangiano se convierte en los componentes radiales de
Así, de hecho, la solución es una línea recta dada en coordenadas polares.
En el caso n-dimensional la acción asociada a un campo físico
Incidentalmente, el lado izquierdo es la derivada funcional de la acción con respecto a
Los formalismos arriba son válidos en la mecánica clásica en un sentido muy restrictivo del término.
Más generalmente, una acción es una funcional del espacio de configuración a los números reales y en general, no necesita ser necesariamente siquiera una integral porque las acciones no locales son posibles.
