Durante el franquismo pasó a llamarse parque de los Mártires hasta que con la llegada de la democracia se le bautizó con su actual nombre «parque Abelardo Sánchez» en honor al alcalde que promovió su construcción.
El parque Abelardo Sánchez ha sido llamado numerosas veces como «el pulmón de Albacete».
Hay rosaledas, y como árboles y arbustos singulares, se pueden encontrar el castaño de Indias (Aesculus hippocastanum), el ciruelo de jardín (Prunus cerasifera), el ciprés (Cupressus sempervirens), el ciprés de Arizona (Cupressus arizonica), la higuera (Ficus carica), saúcos (Sambucus nigra) y aligustres (Ligustrum lucidum), entre otras especies.
En cuanto a la fauna, aparte de palomas, tórtolas, gorriones y torcaces más o menos frecuentes en la mayoría de los parques urbanos, también encontramos agateadores, mirlos, verdecillos, petirrojos y otros muchos pájaros.
En este parque se pueden ver ardillas rojas trepando por los árboles y comiendo las abundantes piñas que crecen en los pinos.
El parque Abelardo Sánchez se articula en torno a dos amplios paseos arbolados, perpendiculares entre sí.
El parque solo alberga una gran fuente la cuál ha sido remodelada actualmente, cuenta con una cascada y diversas flores.
Con su construcción se destruyó el antiguo estanque de los Cisnes, ubicado en el mismo lugar que hoy ocupa el museo.
Es gestionado por la Policía Local, siendo los agentes y mandos voluntarios, donde imparten clases de educación vial.
Existe un grupo de Facebook (Amigos del Parque de Abelardo Sánchez) en el que se comparten fotografías, información y curiosidades sobre el entorno, así como quejas sobre el estado del mismo.