Cinemática del sólido rígido

Los cuerpos sólidos reales de hecho son realmente deformables, en mayor o menor grado, cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si estas son suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y, entonces, es útil la abstracción de considerarlos como cuerpos rígidos o indeformables.

Consideremos un sólido rígido y un sistema de coordenadas, xyz, como se muestra en la Figura 1.

Decimos que el sólido rígido posee seis grados de libertad.

Para dar esta ubicación solo son necesarios dos grados de libertad.

Dicho de otro modo: todo vector con sus extremos fijos en el sólido rígido (ya que el rij es válido para cualquier par de puntos constituyentes del sólido) es perpendicular a su derivada con respecto al tiempo (i.e., a vij).

Otra característica importante del movimiento de traslación del sólido rígido es que las trayectorias recorridas por sus diversos puntos son congruentes, es decir, una se puede obtener mediante una translación de la otra.

En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del sólido será tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotación.

El módulo de la velocidad, denominado celeridad, se corresponde con (2)

considerando s la distancia que el sólido va recorriendo a lo largo de la circunferencia.

Así pues, la celeridad angular caracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo.

como el anterior constituyen una representación del grupo euclídeo especial tridimensional

que es el grupo de isometrías del espacio euclídeo tridimensional.

Se define el vector velocidad angular ω, como un vector situado sobre el eje de rotación, cuyo módulo es la rapidez angular anteriormente definida, o sea (1)

Una forma abstracta demostrar en un movimiento de sólido rígido siempre se puede definir una velocidad angular es partir del carácter ortogonal del grupo de rotaciones, ya que:

Consideremos un sólido rígido animado de dos rotaciones simultáneas, ω1 y ω2, cuyos ejes concurren en el punto O (Figura 10).

o sea que Consideremos un sólido rígido que esté animado simultáneamente de dos movimientos de rotación, en torno a ejes paralelos entre sí y de modo que las velocidades angulares correspondientes, localizadas sobre dichos ejes, tengan el mismo módulo y direcciones contrarias (Figura 11); esto es, ω1=ω y ω2=-ω.

En consecuencia, tenemos un movimiento en el que todos los puntos del sólido poseen, en un instante dado, la misma velocidad.

Análogamente, cada una de las rotaciones quedará completamente definida por el vector velocidad angular correspondiente; esto es ω1, ω2, ... ωn.

La velocidad de un punto genérico del sólido, P, viene dada por el momento resultante del sistema de vectores deslizantes ωi (i=1, 2, ...) en el punto P; i.e., (1)

Pero el lugar geométrico de los puntos cuya velocidad (momento) es paralela a ω (resultante) sabemos que es una recta definida por la ecuación (3)

Cuando el invariante escalar del sistema de rotaciones es distinto de cero (i.e., ω•v≠0) es posible reducir canónicamente el movimiento rototraslatorio a los dos movimientos básicos: rotación y traslación.

Por otra parte, el eje instantáneo, en su movimiento con respecto al referencial de ejes ligados al sólido (x′y′z′), genera otra superficie reglada que recibe el nombre de axoide móvil.

Además, en cada instante, el sólido rígido realiza una traslación o deslizamiento a lo largo de dicho eje o recta común a ambos axoides, con una velocidad vd que es la velocidad de traslación del movimiento helicoidal tangente, y que es simplemente la proyección del vector velocidad v de cualquier punto del sólido sobre el eje instantáneo de rotación y deslizamiento.

En definitiva, el movimiento general del sólido rígido (rototraslatorio) se puede representar de forma continua suponiendo que el sólido está ligado y se mueve solidariamente con una superficie móvil (axoide móvil) que rueda sobre una superficie fija (axoide fijo) al mismo tiempo que experimenta un deslizamiento a lo largo de la generatriz común instantánea.

Consideremos un punto genérico P de un sólido rígido en movimiento y sea vP su velocidad.

donde ω es la velocidad angular resultante, que la podemos considerar localizada sobre un eje que pase por el punto O. Derivando la expresión anterior con respecto al tiempo, obtenemos la aceleración aP del punto P; esto es, (2)

donde Obviamente, la suma de las aceleraciones tangencial y normal del punto P en su rotación en torno al eje definido por ω y que pasa por el punto O es igual a

, o sea la aceleración relativa del punto P respecto al punto O. Definimos la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo.

cuando la rapidez angular aumenta con el tiempo, pero es de dirección opuesta si disminuye.

y una componente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es

Figura 1. Concepto de sólido rígido.
Figura 2. Condición geométrica de rigidez. La distancia entre dos puntos cualesquiera permanece constante durante el movimiento.
Figura 3. Condición cinemática de rigidez. Las velocidades de los puntos alineados pertenecientes a un sólido rígido dan idéntica proyección sobre la recta que definen.
Figura 4. Movimiento de traslación.
Figura 5. En el movimiento de traslación todos los puntos del sólido tienen la misma velocidad.
Figura 6. Movimiento de traslación de las barquillas de la noria.
Figura 7. Movimiento de rotación. El vector velocidad angular es único (invariante), pero cada punto del sólido tiene una velocidad diferente de la de los otros.
Figura 8. Movimiento de rotación. Trayectoria circular de un punto del sólido alrededor del eje de rotación.
Figura 9. Principio de superposición de movimientos.
Figura 10. Podemos imaginar las dos rotaciones simultáneas del modo que se ilustra en esta figura. Esto es, el sólido está en rotación con una velocidad angular ω 2 alrededor de un cierto eje; a su vez, este eje está rotando con una velocidad angular ω 1 alrededor de un eje fijo en el espacio. La rotación ω 2 suele denominarse rotación intrínseca ; la rotación ω 1 recibe el nombre de precesión .
Figura 11. Un par de rotaciones equivale a una traslación.
Figura 13. Movimiento general el sólido rígido.
Figura 16. Eje instantáneo de rotación y deslizamiento.
Figura 17.
Figura 18.
Figura 19.
Aceleración angular. En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección constante en el espació, la aceleración angular no tiene la dirección del eje de rotación.