Modelos compartimentales en epidemiología
Los modelos compartimentales constituyen una técnica utilizada para simplificar la modelización matemática de las enfermedades infecciosas.
Su origen se encuentra a principios del siglo XX, siendo un trabajo importante la primera investigación de Kermack y McKendrick en 1927.
Estas variables (S, I y R) representan el número de personas en cada compartimiento en un momento concreto.
En cuanto a la función variable de la t, el modelo es dinámico en tanto que los números en cada compartimento pueden fluctuar con el tiempo.
Se asume que la permanencia de cada sujeto en los estados epidémicos es una variable aleatoria con distribución exponencial.
La dinámica de una epidemia, por ejemplo la gripe, a menudo es mucho más rápida que la dinámica del nacimiento y la muerte, por lo tanto, el nacimiento y la muerte suelen omitirse en modelos compartimentales simples.
Este sistema es no lineal, sin embargo, es posible derivar su solución analítica de forma cerrada.
[3] Otras herramientas numéricas incluyen métodos de Monte Carlo, como el algoritmo Gillespie.
Dividiendo la primera ecuación diferencial entre un tercio, separando las variables e integrando los datos obtenemos donde
Por el contrario: entonces: independientemente del tamaño inicial de la población susceptible, la enfermedad nunca puede causar un brote epidémico.
En el 2014, Harko y coautores derivaron una solución analítica exacta al modelo SIR.
Se encontró una solución analítica equivalente a los rendimientos de Miller:[7][8] Aquí
se puede interpretar como el número esperado de transmisiones que un individuo ha recibido por tiempo
se puede leer como el promedio de infecciones causadas por un solo sujeto infeccioso en una población susceptible.
Algunas infecciones, por ejemplo las de la gripe común y la influenza, no confieren inmunidad duradera.
Como caso especial, se obtiene la función logística usual asumiendo que
Esto resulta en las siguientes ecuaciones: Algunas personas que han tenido una enfermedad infecciosa como la tuberculosis nunca se recuperan completamente y siguen llevando la infección, pese a que no sufren la enfermedad.
El ejemplo más famoso de esto es, probablemente, Mary Mallon, que infectó a 22 personas con fiebre tifoidea.
Para muchas infecciones importantes existe un período de incubación significativo durante el cual los individuos han sido infectados, pero aún no son infecciosos por sí mismos.
Durante este periodo el individuo se encuentra en el compartimento E (de exposición).
Asumiendo que el período de incubación es una variable aleatoria con distribución exponencial con parámetro
pero tan solo es constante porque la asunción (degenerativa) de que las muertes y nacimientos son iguales; en general
Con las enfermedades de la infancia, tales como el sarampión, las paperas y la rubéola, existe una fuerte correlación con el calendario escolar, por lo que durante las vacaciones escolares la probabilidad de contraer dicha enfermedad disminuye notablemente.
Por lo tanto, nuestro modelo se convierte en (las dinámicas de los recuperados siguen la forma
, por lo que: En otras palabras, si el programa de vacunación no es capaz de erradicar la enfermedad, al contrario, permanecerá endémica, aunque a niveles inferiores que si no hubiera vacunas.
Esta tasa resume la efectividad de los contactos entre sujetos susceptibles e infecciosos.
es la edad máxima admisible) y las dinámicas no se describen, como uno pensaría, con una "simple" ecuación diferencial parcial, sino por ecuaciones integro-diferenciales: donde: es la fuerza de infección que, por supuesto, dependerá del contactp kernel
se obtiene: En el caso más simple de fertilidades iguales en las tres clases epidémicas, se obtiene que para tener equilibrio demográfico la siguiente necesaria y suficiente condición vinculando la fertilidad
Para ser más precisos, estos modelos sólo son válidos en el límite termodinámico, donde la población es efectivamente infinita.
En un sistema real, el patógeno puede no propagarse, ya que ningún huésped estaría infectado.
