En teoría combinatoria, la identidad de Vandermonde o convolución de Vandermonde, que recibe su nombre del matemático francés Alexandre-Théophile Vandermonde (1772), expresa la siguiente relación entre coeficientes binomiales: Esta identidad ya había sido descubierta en 1303 por el matemático chino Zhu Shijie (Chu Shi-Chieh).
En general, el producto de dos polinomios con grados m y n respectivamente, está dado por la ecuación: en la cual se utiliza la convención de que ai = 0 para todos los enteros i > m y bj = 0 para todos los enteros j > n. Según el teorema del binomio: Usando el teorema del binomio para los exponentes m y n, y luego la fórmula anterior para el producto de polinomios, se obtiene: el convenio anteriormente establecido para los coeficientes de los polinomios está de acuerdo con la definición de los coeficientes binomiales, porque ambos dan cero para todo i > m y j > n, respectivamente.
La identidad de Vandermonde admite una segunda demostración combinatoria, como se desarrolla a continuación.
Supóngase que un comité consiste de m hombres y n mujeres.
¿De cuántas maneras puede formarse un subcomité de r miembros?
Tómese una rejilla rectangular de r · (m + n-r) cuadrados.
Entonces, hay caminos que se inician en el vértice inferior izquierdo, y que moviéndose sólo hacia arriba o hacia la derecha alcanzan el vértice superior derecho (esto es porque r es el número de pasos a la derecha y porque pueden hacerse hasta m + n-r movimientos hacia arriba (o viceversa) en cualquier orden, y la longitud total de la ruta es m + n).
caminos que van desde (0,0) hasta (k, m-k), dándose k pasos a la derecha y m-k hacia arriba (la longitud del camino es m).
caminos a partir de (k, m-k) que terminan en (r, m + n-r), con un total de r-k movimientos a la derecha y (m + n-r) - (m-k) hacia arriba, con una longitud del camino que debe ser r-k + (m + n-r) - (m-k) = n. Por lo tanto hay caminos con origen en (0,0) y final en (r, m + n-r), y que pasan por (k, m-k).
Este es un subconjunto de todos los caminos con inició en (0,0) y que terminan en (r, m + n-r), dado que la suma desde k = 0 a k = r (el punto (k, m-k) se limita para que esté dentro de la rejilla) para obtener el número total de caminos iniciados en (0,0) y que terminan en (r, m + n-r).
La identidad se puede generalizar a argumentos no enteros.
En este caso, se conoce como la identidad de Chu-Vandermonde (ver Askey 1975, pp.
La identidad de Chu-Vandermonde por lo tanto, puede considerarse como un caso especial del teorema hipergeométrico de Gauss, que toma la forma donde aparecen la función hipergeométrica