Describe su propio pensamiento matemático como mayormente sin palabras, acompañado a menudo de imágenes mentales que condensan la idea global de una prueba, en franca oposición a autores que identifican el lenguaje y la cognición.
Realizó una encuesta entre 100 de los físicos más relevantes del momento (aprox.
Entre sus estudiantes se incluyeron Mauric Fréchet, Paul Lévy, Szolem Mandelbrojt y André Weil.
Se doctoró en 1892 y ese mismo año recibió el Grand Prix des Sciences Mathématiques por su ensayo sobre la función zeta de Riemann.
Ese mismo año fue nombrado catedrático de astronomía y mecánica racional en Burdeos.
Tras el asunto Dreyfus, que le implicó personalmente porque su prima segunda Lucie era la esposa de Dreyfus, Hadamard se volvió políticamente activo y un firme defensor de las causas judías[5] aunque se profesaba ateo en su religión.
Entre los alumnos de Hadamard se encontraban Maurice Fréchet, Paul Lévy, Szolem Mandelbrojt y André Weil.
En 1940 huyó de la ocupación con su familia gracias a Louis Rapkine y se instaló en Estados Unidos.
Se dice que Jacques Hadamard ni siquiera logró ser reconocido como matemático entre los académicos americanos[12] Para sobrevivir, dio conferencias en la Universidad Francesa Libre (École libre des Hautes Études que, al final de la guerra, sería trasladada a Francia para convertirse en la École des Hautes Études en Sciences Sociales (EHESS)[13]), escuela creada por iniciativa de Claude Lévi-Strauss para permitir que los intelectuales franceses exiliados en Nueva York siguieran expresándose.
[5]: 133 En marcado contraste con los autores que identifican lenguaje y cognición, describe su propio pensamiento matemático como en gran parte sin palabras, a menudo acompañado de imágenes mentales que representan la solución completa a un problema.
Hadamard describió las experiencias de los matemáticos y físicos teóricos Carl Friedrich Gauss, Hermann von Helmholtz, Henri Poincaré y otros como ver soluciones completas con "repentina espontaneidad".