Función error

, es una función compleja de una variable compleja definida como: Esta integral es una función sigmoide (no elemental) que se utiliza en el campo de la probabilidad, la estadística y en ecuaciones diferenciales parciales.

En estadística, para valores no negativos de

, la función error tiene la siguiente interpretación: para una variable aleatoria

que sigue una distribución normal con media 0 y varianza

, definida como y la función error imaginaria, denotada por

fueron propuestas por el matemático inglés J. W. L. Glaisher en 1871 debido a su gran conexión con «la teoría de la probabilidad, y sobre todo con la teoría del error».

La función error complementaria fue discutida por Glaisher en una publicación por separado en el mismo año, por la «ley de la facilidad» de errores cuya densidad está dada por (la distribución normal), Glaisher calcula la posibilidad de tener un error entre

como La función de error compleja se define mediante la siguiente expresión:[1]​ Esta función es holomorfa en todo el plano complejo, impar y desarrollable en serie entera.

La serie de potencias para la función error imaginaria viene dada por:

, este resultado se sigue del hecho de que el integrando

La función error es una función integral, no tiene singularidades y su expansión en serie de Taylor siempre converge pero esta es conocida porque tiene “mala convergencia” para valores

La integral definida no puede ser evaluada en forma cerrada en términos de funciones elementales, pero si se expande el integrando

mediante una serie de Maclaurin e integrando término a término, se obtiene la serie de Maclaurin de la función error: esta expresión válida para todo número

Los términos del denominador son la secuencia A007680 en el OEIS.

Para realizar cálculos iterativos de la serie mencionada, la siguiente fórmula alternativa puede ser útil: porque

La función error imaginaria tiene una serie de Maclaurin similar, esta es y es válida para todo número

que la serie de Taylor ordinaria, y que se obtiene utilizando el teorema de Hans Heinrich Bürmann:[4]​ donde

Manteniendo sólo los dos primeros coeficientes y escogiendo

la aproximación resultante tiene un error relativo máximo para

que satisface La función error inversa típicamente está definida en el dominio

del plano complejo utilizando la serie de Maclaurin donde

y Por lo que se tiene la siguiente expansión en serie (nótese que se han cancelado los factores comunes en los numeradores y denominadores): (Después de cancelar las fracciones en el numerador y denominador corresponde a las entradas A092676/A132467 en el OEIS; si no se realiza la cancelación los términos del numerador corresponden a la entrada A002067).

La función error complementaria inversa está definida como Para un número real

, el método de Newton puede ser usado para calcular

es Esta serie diverge para todo valor de

finito y su significado de expansión asintótica es que para cualquier

, su única diferencia es su escala y una traslación pues A la inversa de

se la conoce como la función quantil normal o función probit y puede ser expresada en términos de la función error inversa como La cdf normal estándar es utilizada más a menudo en probabilidad y estadística, mientras que la función error es utilizada con mayor frecuencia en otras ramas de las matemáticas.

Algunos autores han analizado funciones más generales del tipo Algunos casos destacables son: Si se divide por n!, todas las En para n impares son similares entre sí (aunque no idénticas).

Estas funciones generalizadas para x>0 pueden ser expresadas en forma equivalente mediante la función Gamma: Por lo tanto, se puede definir a la función error mediante la función gamma mediante la siguiente expresión: Las integrales iteradas de la función error complementaria se definen como La fórmula general de recurrencia es Poseen la siguiente serie de potencias de las que se deducen las siguientes propiedades de simetría y