En álgebra lineal y áreas relacionadas de las matemáticas, un conjunto equilibrado, conjunto en círculo o disco en un espacio vectorial (sobre un cuerpo
es el conjunto equilibrado más pequeño que contiene a
Los conjuntos equilibrados son ubicuos en análisis funcional porque cada entorno del origen en cada espacio vectorial topológico (EVT) contiene un entorno equilibrado del origen y cada entorno convexo del origen contiene un entorno del origen convexo equilibrado (incluso si el EVT no es localmente convexo).
se denomina conjunto equilibrado si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: Si
, esta lista puede ampliarse para incluir: La envolvente equilibrada de un subconjunto
se define de cualquiera de las siguientes formas equivalentes: El conjunto vacío es un conjunto equilibrado, al igual que lo es cualquier subespacio vectorial de cualquier espacio vectorial (real o complejo).
Cualquier conjunto no vacío que no contenga el origen no está equilibrado y, además, el núcleo equilibrado de dicho conjunto será igual al conjunto vacío.
Espacios vectoriales normados y topológicos Las bolas abiertas y cerradas centradas en el origen en un espacio vectorial normado son conjuntos equilibrados.
es cualquier entorno equilibrado del origen en un espacio vectorial topológico
Por el contrario, en el espacio euclídeo bidimensional hay muchos más conjuntos equilibrados: cualquier segmento de recta con punto medio en el origen servirá como ejemplo.
son completamente diferentes en lo que respecta a la multiplicación escalar.
es un subconjunto cerrado, simétrico y entorno equilibrado del origen en
la unión del segmento de recta entre los puntos
tampoco es absorbente (a pesar de que
es un conjunto equilibrado y absorbente, pero no es necesariamente convexo.
Por ejemplo, supóngase que el subconjunto convexo sea
es el triángulo relleno cuyos vértices son el origen junto con los puntos finales de
(un triángulo lleno cuyos vértices son estos tres puntos), entonces
De hecho, la siguiente construcción produce conjuntos equilibrados.
será convexo (respectivamente, cerrado, equilibrado, acotado, un entorno del origen, y un subconjunto absorbente de
será un entorno convexo equilibrado del origen y, por lo tanto, su interior será un entorno abierto convexo equilibrado del origen.
es un entorno abierto del origen siempre que
está equilibrado, debido a que su interior
será un subconjunto absorbente convexo equilibrado de
como punto límite) forma una base del entorno para absorber discos en el origen de esta topología localmente convexa.
es un espacio vectorial topológico y si este subconjunto absorbente convexo
formará lo que se conoce como espacio normado auxiliar.
, En cualquier espacio vectorial topológico, la envolvente equilibrada de cualquier entorno abierto del origen vuelve a ser abierta.
[8] Si un conjunto es cerrado (respectivamente, convexo, absobente y un entorno del origen), entonces lo mismo ocurre con su núcleo equilibrado.
en un espacio vectorial real o complejo se dice que es balanced function si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:[9] Si