Factoriales descendente y ascendente

El factorial descendente[1]​ (a veces llamado producto secuencial descendente o factorial inferior) es un operador matemático que se define como El factorial ascendente (a veces llamado función de Pochhammer, polinomio de Pochhammer, producto secuencial ascendente,[1]​ o factorial superior) se define a su vez como El valor de ambos se toma como 1 (un producto vacío) cuando n = 0.Dependiendo del contexto, el símbolo de Pochhammer puede representar el factorial ascendente o el factorial descendente tal como se definió anteriormente.Pochhammer en realidad utilizó la notación (x)n con otro significado, a saber, denotar el coeficiente binomial[2]​ En este artículo, el símbolo (x)n se usa para representar el factorial descendente y el símbolo x(n) se usa para el factorial ascendente.[3]​ En la teoría de funciones especiales (en particular, en la función hipergeométrica), el símbolo de Pochhammer (x)n se usa para representar el factorial ascendente.[4]​ Una lista útil de fórmulas para manipular el factorial ascendente en esta última notación se da en (Slater, 1966, Appendix I).Sin embargo, para estos significados, otras notaciones como xPn y P (x, n) se usan comúnmente.Los factoriales ascendentes y descendentes se pueden usar para expresar un coeficiente binomial: Por lo tanto, muchas identidades sobre coeficientes binomiales se trasladan a los factoriales decrecientes y ascendentes.Un factorial ascendente se puede expresar como un factorial descendente que comienza desde el otro extremo, o como un factorial descendente con argumento opuesto, Los factoriales ascendentes y descendentes están bien definidos en cualquier anillo unitario y, por lo tanto, se puede considerar que x puede ser, por ejemplo, un número complejo, incluidos los números enteros negativos, o un polinomio con coeficientes complejos, o cualquier función de variable compleja.El factorial ascendente puede extenderse a los valores reales de n utilizando la función gamma con x y x + n números reales que no sean enteros negativos: y también lo puede hacer el factorial descendente: Si D denota el diferencial con respecto a x, se tiene El símbolo de Pochhammer también forma parte de la definición de la función hipergeométrica: la función hipergeométrica se define para |z| < 1 por la serie de potencias siempre que c no sea igual a 0, -1, -2, ....Sin embargo, téngase en cuenta que los textos sobre la función hipergeométrica utilizan la notaciónEl factorial descendente también se deduce a partir de una fórmula que representa polinomios utilizando diferencias finitas Δ, lo que es formalmente similar al teorema de Taylor.En esta fórmula y en muchos otras identidades, el factorial descendente (x)k en el cálculo de diferencias finitas desempeña el papel de xk en el cálculo diferencial.[7]​ Graham, Knuth y Patashnik[8]​ que proponían denominar estas expresiones como "x al ascenso m" y "x al descenso m", respectivamente.Cuando la notación (x)+n se usa para el factorial ascendente, la notación (x)–n se usa generalmente para el factorial descendente normal para evitar confusiones.Una generalización del factorial descendente en el que se evalúa una función en una secuencia aritmética descendente de enteros y los valores se multiplican, es: donde −h es la disminución y k es la cantidad de factores.La generalización correspondiente del factorial ascendente es Esta notación unifica los factoriales ascendente y descendente, que son [x]k/1 y [x]k/−1, respectivamente.