Epiespiral
Es el resultado de la inversión polar o circular de la curva denominada rosa polar.
una epiespiral es un curva plana cuya ecuación polar también puede expresarse de la forma: Por isometría, se puede reducir su estudio a curvas con ecuaciones polares del tipo: excluyendo el caso donde ω = 1, que corresponde a una línea recta.
Estas curvas fueron mencionadas en primer lugar por Roger Cotes en 1722, cuando estudió movimientos de fuerza central inversamente proporcionales al cubo de la distancia.
Por otro lado, el matemático italiano Paolo Deslanges ya había estudiado en 1783 las curvas con ecuaciones del tipo: que han pasado a ser conocidas como sectrices de Deslanges.
La denominación de epiespirales fue acuñada por M. Aubry, quien las presentó en el “Journal of Special Mathematics” de 1895.
[1] Se denomina (dα) a la recta que pasa por el origen O y forma un ángulo α con el eje polar.
tiene varias ramas, todas ellas imágenes por rotación respecto al centro O de una rama principal correspondiente a θ entre 0 y π/ω.
La rama principal también tiene un eje de simetría
Las otras ramas son imágenes de la rama principal mediante un ángulo de rotación
[2] La rama principal tiene dos asíntotas que son simétricas con respecto a la recta
, una de las cuales, con una ecuación polar
Las dos asíntotas forman un ángulo entre ellas[3] de π/ω y se cruzan en el eje
El número de ramas es infinito si ω es irracional.
Si ω es racional, el número de ramas es finito y la curva es algebraica.
[3] Si ω =n/d con n y d primos entre sí, el número de ramas diferentes es n si n y d son impares, y es 2n si n o d son pares.
La tangente al punto de coordenadas polares
tiene la ecuación:[3] El radio de curvatura en este punto es:[3] La abscisa curvilínea viene dada por:[3] y la rectificación de la curva involucra integrales elípticas de primera y segunda especie.
según la inversión con origen en O y radio a.
Si ω es racional, como cualquier curva algebraica, la epiespiral se puede dibujar usando un sistema articulado.
[4] M. Aubry presentó, por analogía con el sistema articulado que permite construir rosas polares, un sistema articulado que permite construir las epiespirales de ecuaciones
utilizando n figuras en forma de T articuladas, con la T pivotando alrededor de O, y la primera deslizándose sobre el eje Ox en el caso 2n y deslizándose sobre la recta de la ecuación y=1 en el caso 2n+1.
[5] También señaló que las epiespirales se transforman en epiespirales por conductoevolución: la conductoevolución de una curva de ecuación polar
es la curva que se obtiene al proyectar la primera sobre un cono circular con un eje que pasa por el polo y es perpendicular plano que contiene la curva, y luego desarrollando la superficie del cono.
donde α es el ángulo formado por la directriz y el eje del cono.
En particular, para ω mayor que 1, la epiespiral puede verse como la conductoevolución de una línea recta.
[2] Una epiespiral es también el lugar geométrico de los puntos de intersección entre una línea recta que pasa por O y una tangente a un círculo con centro en O, una línea recta y una tangente que giran alrededor de O según ángulos de relación constante.
