Ecuaciones de Euler (fluidos)

Aunque habitualmente se expresan en la forma mostrada en este artículo dado que de este modo se enfatiza el hecho de que representan directamente la conservación de masa, momento y energía.Expandiendo la derivada material, las ecuaciones se convierten en: De hecho para un flujo con densidad uniformeEn particular, la ecuación de continuidad sería necesaria también en este caso incompresible como una tercera ecuación adicional en caso de que la densidad varíe en el tiempo o varíe en el espacio.es la dimensión física del espacio de interés).La velocidad de flujo y la presión son las llamadas variables físicas.etiquetan los componentes espaciales de N dimensiones, yAunque Euler presentó por primera vez estas ecuaciones en 1755, muchas cuestiones fundamentales sobre ellas siguen sin respuesta.En tres dimensiones espaciales, en ciertos escenarios simplificados, las ecuaciones de Euler producen singularidades.Para que las ecuaciones sean adimensionales, es necesario definir una longitud característicaSe obtienen así las siguientes variables adimensionales: y del campo vector unitario: La sustitución de estas relaciones inversas en las ecuaciones de Euler, que definen el número de Froude, da como resultado (omitiendo el * en apix):Las ecuaciones de Euler en el límite de Froude (sin campo externo) se denominan ecuaciones libres y son conservativas.Computacionalmente, existen algunas ventajas en el uso de las variables conservadas.Gracias a estas identidades vectoriales, las ecuaciones de Euler incompresibles con densidad constante y uniforme y sin campo externo pueden ponerse en la forma diferencial llamada de conservación (o euleriana), con notación vectorial: o con la notación de Einstein: Entonces las ecuaciones de Euler incompresibles con densidad uniforme tienen variables de conservación: Nótese que en la segunda componente u es por sí mismo un vector, con longitud N, por lo que y tiene longitud N+1 y F tiene tamaño N(N+1).En 3D por ejemplo y tiene longitud 4, I tiene tamaño 3×3 y F tiene tamaño 4×3, por lo que las formas explícitas son: Para ciertos problemas, especialmente cuando se utilizan para analizar el flujo compresible en un conducto o en caso de que el flujo sea cilíndrica o esféricamente simétrico, las ecuaciones de Euler unidimensionales son una primera aproximación útil.Esto implica encontrar curvas en el plano de variables independientes (es decir,donde: En forma diferencial convectiva, las ecuaciones de Euler compresibles (y más generales) pueden escribirse brevemente con la notación derivada material:donde las variables adicionales aquí son: Las ecuaciones anteriores representan la conservación de la masa, la del momentum y la de la energía: la ecuación de la energía expresada en la variable energía interna permite comprender el vínculo con el caso incompresible, pero no es de la forma más sencilla.La densidad de masa, la velocidad de flujo y la presión son las llamadas variables convectivas (o variables físicas, o variables lagrangianas), mientras que la densidad de masa, la densidad de momentum y la densidad de energía total son las llamadas variables conservadas (también llamadas eulerianas, o variables matemáticas).En particular, la restricción incompresible corresponde a la siguiente ecuación de energía muy simple: Así, para un fluido incompresible no viscoso la energía interna específica es constante a lo largo de las líneas de flujo, también en un flujo dependiente del tiempo.Este sección contempla las connotaciones aplicables a la mecánica clásica; para fluidos compresibles con velocidades próximas a la velocidad de la luz se debe consultar ecuaciones relativistas de Euler.La expresión diferencial de estas ecuaciones es la siguiente: dondees la energía interna por unidad de masa para el fluido),La segunda ecuación incluye la divergencia de un tensor diádico y puede quedar más clara de acuerdo a la siguiente notación: Nótese que las ecuaciones anteriores están expresadas en forma de conservación o equilibrio, dado que con esta forma se enfatiza su origen físico (y es además en gran medida la más conveniente para la simulación computacional de la dinámica de fluidos).El componente del momento de las ecuaciones de Euler se expresa del siguiente modo: aunque esta forma oculta la conexión directa existente entre las ecuaciones de Euler y la segunda ley de Newton (en particular, no es claramente intuitivo por qué esta ecuación es correcta yEn formato vectorial las ecuaciones de Euler quedan expresadas del siguiente modo: donde Esta forma deja más claro queLas ecuaciones anteriores representan por tanto la conservación de la masa, los tres componentes del momento y la energía.Hay por tanto cinco ecuaciones y seis incógnitasPor último hay que decir que en flujos supersónicos se producen otras discontinuidades en estas ecuaciones como son las Ondas de Choque o las Ondas de Mach.Para el caso convencional de un fluido perfecto que no es influido por el campo electromagnético el tensor de energía-impulso viene dado por:[6]​ (**)Donde: Si particularizamos las dos ecuaciones anteriores al caso de un fluido moviéndose en el espacio-tiempo plano, como en la teoría de la relatividad especial, las ecuaciones anteriores pueden escribirse más explícitamente.