La derivada material puede servir como un enlace entre las descripciones eulerianas y lagrangianas de la deformación continua.
Por ejemplo, para un campo escalar macroscópico φ(x, t) y un campo vectorial macroscópico A(x, t) la definición se convierte en: En el caso escalar, ∇ φ es simplemente el gradiente de un escalar, mientras que ∇A es la derivada covariante del vector macroscópico (que también se puede considerar como la matriz jacobiana de A en función de x).
En particular, para un campo escalar en un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional ( x1, x2, x3), las componentes de la velocidad u son u1, u2, u3, el término convectivo es entonces: Considere una cantidad escalar φ = φ (x, t), donde t es el tiempo y x es la posición.
La derivada (total) con respecto al tiempo de φ se expande utilizando la regla de la cadena multivariable: Es evidente que esta derivada depende del vector que describe un camino elegido x(t) en el espacio.
Un ejemplo de este caso es un nadador que permanece quieto y percibe un cambio de temperatura en un lago temprano en la mañana: el agua se calienta gradualmente debido al calentamiento del sol.
no es nula, la derivada temporal de φ puede cambiar debido al camino.
Por ejemplo, imagine que el nadador está en una piscina de agua inmóvil, dentro y no afectado por el sol.
Al nadar de un extremo a otro, el nadador percibe un cambio de temperatura con respecto al tiempo, aunque la temperatura en cualquier punto (estático) dado sea constante.
La derivada material finalmente se obtiene cuando se elige la trayectoria x(t) para que tenga una velocidad igual a la velocidad del fluido Es decir, la trayectoria sigue la corriente de fluido descrita por el campo de velocidad u del fluido.
Los cambios debidos al movimiento de la partícula (en sí mismo causados por el movimiento del fluido) se llaman advección (o convección si se transporta un vector).
Para un vector, el gradiente se convierte en un tensor gradiente; para los campos de tensor podemos querer tener en cuenta no solo la traducción del sistema de coordenadas debido al movimiento del fluido, sino también su rotación y estiramiento.
Esto se logra mediante la derivada convectiva temporal superior.