En metalógica, la consistencia o consistencia lógica es la propiedad que tienen los sistemas formales cuando no es posible deducir una contradicción dentro del sistema.
La existencia de un modelo implica que una teoría lógica es consistente.
Generalizando, la consistencia es una propiedad que pueden tener los conjuntos de fórmulas.
Intuitivamente, un conjunto de fórmulas es consistente cuando no es posible deducir una contradicción del mismo.
Es decir, dado un lenguaje formal y un aparato deductivo, no es posible demostrar una fórmula y su negación.
Equivalentemente, esto se puede expresar diciendo que para ninguna proposición lógica p:
En términos semánticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si tiene un modelo
Es decir, si existe al menos una interpretación que haga verdaderas a todas las fórmulas del conjunto.
Luego, de acuerdo con la definición semántica, el conjunto es inconsistente.
En términos sintácticos, un conjunto de fórmulas es consistente si y sólo si para toda fórmula A, no es posible deducir tanto A como ￢A (i.e.
Utilizando la regla de inferencia del modus ponens entre
Luego, según la definición sintáctica de consistencia, el conjunto es inconsistente.
[1] Por los teoremas de la incompletitud de Gödel sabemos que ningún sistema formal que tenga un mínimo de poder expresivo puede ser a la vez consistente y completo.
Un sistema formal es consistente si no contiene una contradicción, o, en forma más precisa, no existe una proposición tal que se puede demostrar o deducir simultáneamente la proposición y su negación.
Referido a un argumento, la consistencia es la necesidad de que todas las premisas tengan que ser necesariamente y a la vez, como producto, todas verdaderas, para que el argumento, si es consistente, pueda ser válido o no válido.
Referido al discurso, la consistencia tiene que ver con que las implicaciones lógicas del mismo no sean autocontradictorias.
La eliminación de corte (o en forma equivalente, la normalización del cálculo subyacente, si es que existe uno) implica la consistencia del cálculo: dado que obviamente no existe prueba de falsedad que sea libre de corte, no existe, por lo tanto, contradicción en general.
Los principales resultados relacionados con la consistencia y completitud fueron demostrados por Kurt Gödel: Mediante la aplicación de estas ideas, se pueden encontrar cuatro tipos distintos de teorías de primer orden: En forma adicional, se ha descubierto recientemente que existe un quinto tipo de teoría, las teorías auto verificables, que son lo suficientemente robustas como para analizar su propia relación de demostración, pero son demasiado débiles como para realizar una diagonalización de Gödel, y que, por lo tanto, pueden demostrar en forma consistencia su propia consistencia.
Sin embargo, una teoría que demuestra su propia consistencia no permite obtener ninguna información interesante, dado que las teorías inconsistentes también demuestran su propia consistencia.
en lógica de primer orden es consistente (expresado como Con
) si y solo si no existe una fórmula
es inconsistente y se expresa Inc
es simplemente consistente si y solo si para ninguna fórmula
es máximamente consistente si y solo si para toda fórmula
se dice contiene testigos si y solo si para cada fórmula de la forma
Los siguientes son equivalentes: (a) Inc
es satisfactible si y solo si existe un modelo
un conjunto de fórmulas consistentes y que poseen testigos.
un conjunto de fórmulas máximamente consistentes testigos.
Define una relación binaria en el conjunto de términos S