En física, el ansatz de Bethe es un método de suposición (ansatz) para encontrar las funciones de onda exactas de ciertos modelos cuánticos unidimensionales de muchos cuerpos.
Fue inventado por Hans Bethe en 1931[1] para resolver el modelo de Heisenberg unidimensional antiferromagnético.
Desde entonces, el método se ha extendido a otros modelos en una dimensión: la cadena de Heisenberg (anisotrópica) (modelo XXZ), la interacción de Lieb-Liniger del gas de Bose, el modelo Hubbard, el modelo de Kondo, el modelo de impurezas de Anderson, el modelo de Richardson, etc.
En el marco de la mecánica cuántica de muchos cuerpos, los modelos que se pueden resolver mediante el ansatz de Bethe se pueden contrastar con los modelos de fermiones libres.
Se puede decir que la dinámica de un modelo libre es reducible de un cuerpo: la función de onda de muchos cuerpos para fermiones (bosones) es el producto antisimetrizado (simétrizado) de las funciones de onda de un cuerpo.
Los modelos que se pueden resolver con el ansatz de Bethe no son gratuitos: el sector de dos cuerpos tiene una matriz de dispersión no trivial, que en general depende de los momentos.
Por otro lado, la dinámica de los modelos que se pueden resolver con el ansatz de Bethe es reducible en dos cuerpos: la matriz de dispersión de muchos cuerpos es un producto de matrices de dispersión de dos cuerpos.
Las colisiones de muchos cuerpos ocurren como una secuencia de colisiones de dos cuerpos y la función de onda de muchos cuerpos se puede representar en una forma que contiene solo elementos de las funciones de onda de dos cuerpos.
La matriz de dispersión de muchos cuerpos es igual al producto de las matrices de dispersión por pares.
La forma genérica del ansatz de Bethe para una función de onda de muchos cuerpos es
es el número de partículas,
es el (cuasi) impulso del
s g n
es la función de signo.
Esta forma es universal (al menos para sistemas no anidados), y las funciones de momento y dispersión dependen del modelo.
La ecuación de Yang-Baxter garantiza la consistencia de la construcción.
El principio de exclusión de Pauli es válido para modelos que pueden resolverse mediante el ansatz de Bethe, incluso para modelos de bosones que interactúan.
El estado fundamental es una esfera de Fermi.
Las condiciones de contorno periódicas conducen a las ecuaciones del ansatz de Bethe.
En forma logarítmica, las ecuaciones del ansatz de Bethe pueden generarse mediante la acción de Yang.
[2] El desarrollo del ansatz de Bethe algebraico[3] condujo a un progreso esencial.
El método de dispersión inversa cuántica ... un método bien desarrollado ... ha permitido resolver una amplia clase de ecuaciones de evolución no lineal.
Explica la naturaleza algebraica del ansatz de Bethe.Las soluciones exactas del llamado modelo s-d (por P. B. Wiegmann[4] en 1980 e independientemente por N. Andrei,[5] también en 1980) y el modelo de Anderson (por P. B. Wiegmann[6] en 1981, y por N. Kawakami y A. Okiji[7] en 1981) también se basan en el ansatz de Bethe.
Existen generalizaciones multicanal de estos dos modelos también susceptibles de soluciones exactas (por N. Andrei y C. Destri[8] y por CJ Bolech y N. Andrei[9] ).
La cadena antiferromagnética de Heisenberg está definida por el hamiltoniano (asumiendo condiciones de contorno periódicas)
Este modelo se puede resolver usando el ansatz de Bethe.
en el que el impulso ha sido convenientemente reparametrizado como
en términos de rapidez
Las condiciones de contorno (aquí, periódicas) imponen las ecuaciones de Bethe
o más convenientemente en forma logarítmica