Modelo de Heisenberg

En el modelo de Ising prototípico, definido en una red d-dimensional, en cada punto de la red, un espínrepresenta un dipolo magnético microscópico en el que el momento magnético se dirige hacia arriba o hacia abajo.Excepto por el acoplamiento entre momentos dipolares magnéticos, existe también una versión multipolar del modelo de Heisenberg llamado de interacción de intercambio multipolar.Por razones mecano-cuánticas, el acoplamiento dominante entre dos dipolos puede causar que los primeros vecinos tengan menores energías cuando están alineados.Bajo esta presunción (que las interacciones magnéticas solo ocurren entre dipolos adyacentes) el hamiltoniano se puede escribir en la forma dondees la constante de acoplamiento de un modelo unidimensional consistente en N dipolos, representados por vectores clásicos (o espines) σj, sujetos a la condición de contorno periódicaAsí, en tres dimensiones, el hamiltoniano viene dado por donde laen el lado derecho de la ecuación indica el campo magnético externo.Con condiciones de contorno periódicas, y con espín, las matrices de espín vienen dadas por El hamiltoniano actúa por tanto sobre el producto tensorialEl objetivo es determinar es espectro del hamiltoniano, del cual se puede calcular la función de partición, pudiendo así estudiar la termodinámica del sistema.Una versión simplificada del modelo de Heisenberg es el modelo de Ising unidimensional, donde el campo magnético transverso está dirigido en el eje x, mientras que la interacción se da solo en la dirección z: Con g pequeña y g grande, la degeneración del estado fundamental es diferente, lo que implica que debe existir una transición de fase intermedia.Se puede resolver de forma exacta para el punto crítico usando el análisis de dualidad.Bajo condiciones de contorno periódicas, el hamiltoniano transformado se puede expresar en una forma muy similar: excepto por laAsumiendo que existe un único punto crítico, podemos concluir que la transición de fase ocurre en, se obtiene el modelo de Heisenberg XXZ.[2]​ En la formulación algebraica, estos se relacionan con álgebras afines cuánticas particulares y con el grupo cuántico elíptico en los casos XXZ y XYZ respectivamente.[3]​ Otras aproximaciones lo abordan sin el ansatz de Bethe.y de la dimensión del espacio.negativas, el estado fundamental es antiferromagnético en dos y tres dimensiones, es desde este estado fundamental desde el que se plantea el modelo de Hubbard.Si el espín es entero, entonces solo se presenta interacción a corto rango.Un sistema de espines semienteros presenta interacción a rango cuasi-largo.