Un haz constante de partículas sufre la dispersión en un potencial con simetría esférica
En principio, cualquier partícula vendría descrita por un paquete de ondas, pero describiremos la dispersión de una onda plana viajando en la dirección del eje z
, porque los paquetes de ondas se pueden descomponer en términos de ondas planas y es más sencillo matemáticamente.
Dado que el haz está en operación durante tiempos largos en comparación con el tiempo de interacción de las partículas con el potencial, se supone que está en el estado estacionario.
Esto significa que se debe resolver la ecuación de Schrödinger estacionaria para la función de ondas
del haz de partículas: Hacemos el siguiente ansatz: onde
es de interés, ya que las observaciones cerca del centro dispersor (por ejemplo, un núcleo atómico) usualmente no son viables y la detección de partículas se realiza lejos del origen.
debería ser por tanto una solución a la ecuación de Schrödinger libre.
Esto sugiere que debería tener una forma similar a una onda plana, omitiendo las partes físicamente irrelevantes.
Por lo tanto examinamos la expansión en ondas planas: La función de Bessel esférica
se comporta asintóticamente como Esto corresponde a una onda esférica incidente y saliente.
Para la función de onda dispersada, solo se necesita la parte saliente.
, la función de onda dispersada puede desarrollarse en armónicos esféricos que se reducen a polinomios de Legendre por la simetría azimutal (no hay dependencia en
La parte radial de esta función de ondas depende únicamente de funciones de Bessel esféricas, que se pueden reescribir como la suma de dos funciones de Hankel esféricas: El significado físico es el siguiente: hℓ(1) se comporta asintóticamente (es decir, para r grande) como i−(ℓ+1)eikr/(kr) y por tanto es una onda saliente, mientras que hℓ(2) se comporta asintóticamente como iℓ+1e−ikr/(kr) y es por tanto una onda incidente.
La onda incidente no se ve afectada por la dispersión, mientras que la onda dispresada se modifica por un factor conocido como el elemento de la matriz S de la onda parcial Sℓ: donde uℓ(r)/r es la componente radial de la función de ondas.
Esto es lo que ocurre normalmente, a no ser que el potencial tenga una componente imaginaria de absorción, lo que se emplea en modelos fenomenológicos para describir pérdidas debido a otros canales de reacción.
Por tanto, la función de ondas asintótica completa es Restando ψin se obtiene la onda saliente asintótica: Empleando el comportamiento asintótico de las funciones de Hankel se obtiene: De la definición de amplitud de dispersión f(θ, φ) se sigue que y por tanto la sección eficaz diferencial está dada por Este procedimiento se puede aplicar a cualquier interacción de corto alcance.