Algoritmo QR

Francis (Reino Unido) y Vera N. Kublánovskaya (URSS), de forma independiente.Si se multiplica a la inversa, la matriz resultante sigue teniendo los mismos valores propios e iterando se puede llegar a una matriz que los contenga en la diagonal.Formalmente, sea A una matriz real de la que queremos calcular los valores propios, se asigna A0:=A.En adelante se calculan las siguientes iteraciones de forma: luego todas las Ak son matrices semejantes y por tanto tienen los mismos valores propios.Dado que los valores propios de una matriz triangular están listados en su diagonal, se pueden obtener directamente entonces.Comprobar su convergencia es impráctico, pero se puede acotar el error por el Teorema de Gerschgorin.El algoritmo QR se puede considerar una versión más sofisticada del método de las potencias.Así para el valor final cuando converge AQ=QΛ se obtiene la matriz diagonal Λ que contiene todos los valores propios y por tanto Q queda con los vectores propios en las columnas.Se puede mitigar esto convirtiendo A en una matriz de Hessenberg, lo que ocupaLa subrutina LAPACK de DBDSQR implementa este método iterativo con algunas modificaciones para cubrir el caso de que los valores sean demasiado pequeños (Demmel y Kahan, 1990).Junto a un primer paso usando reflexiones de Householder y, si procede, la descomposición QR, esto forma la rutina DGESVD para el cálculo de la descomposición en valores singulares.El algoritmo QR es en comparación más estable así que le desplazó y el LR es poco usado hoy en día.Tras formularlo de una forma apropiada computacionalmente, descubrió que el algoritmo era en realidad la iteración Ak = LkUk (Descomposición LU), Ak+1 = UkLk, aplicado sobre una matriz tridiagonal de la que deriva el algoritmo LR.