Homología afín
En la terminología de la geometría descriptiva, se emplean las denominaciones de homología afín o de afinidad homológica para designar a un caso particular de homología, en el que el vértice o centro es un punto impropio (situado en el infinito), y en consecuencia, las líneas de proyección son paralelas entre sí (es decir, que cada pareja de puntos afines (como A-A') están unidos por una recta que es paralela a la dirección de afininidad).
Por otro lado, en matemáticas, una afinidad es una aplicación lineal o afín de un espacio vectorial o afín sobre sí mismo, que equivale a la identidad en una dirección y a una homotecia en otra.
El término afinidad (affinitas en latín) en un sentido matemático fue introducido por Leonhard Euler en su obra de 1748, "Introductio in Analysin infinitorum".
[1] En su capítulo De similitudine et affinitate linearum curvarum[2], Euler estudia curvas similares, es decir que tienen la misma forma pero con un posible cambio de orientación y tamaño.
Estas son curvas entre cuyas imágenes se puede establecer una relación de semejanza.
Después de observar que multiplicando la abscisa y la ordenada por el mismo número, se transforma una curva en una curva similar, se planteó la cuestión del caso en el que la abscisa y la ordenada se multiplican por números diferentes.
[3] Observó que las curvas ya no son semejantes pero, debido a cierta analogía de forma, dirá que presentan una “afinidad”[4] entre ellas.
Así, un círculo y una elipse no son similares pero tienen afinidad entre ellos.
La afinidad estudiada por Euler no se corresponde estrictamente con la definida actualmente, ya que permite una modificación de escala en varias direcciones, pero es fácilmente reducible a ella aplicando composiciones de varias afinidades “modernas”.
Una afinidad vectorial es un endomorfismo, que a su vez es la suma directa de una identidad y de una homotecia.
un número real; entonces la afinidad de la base
, es igual a la homotecia de razón
: Caracterización en dimensión finita: endomorfismo diagonalizable que tiene como máximo dos valores propios distintos, de los cuales como máximo uno es diferente de la unidad.
mediante la siguiente igualdad:[5] Dado un espacio afín
"Recíprocamente", una aplicación afín de una parte lineal y una afinidad vectorial es una afinidad puntual siempre que tenga al menos un punto fijo.
De hecho, cualquier transformación afín del plano euclídeo se descompone en el producto de una isometría, una homotecia, una afinidad y un cizallamiento.
[6] El uso de afinidades en el plano permite agrupar curvas por familias.
Por ejemplo: La homología afín es un caso especial de homología, en la que el centro es un punto impropio (es decir, un punto del infinito).
Sus elementos fundamentales son el eje de afinidad e, y la dirección de afinidad d (la dirección del vértice impropio).
[8] Cuando la dirección de afinidad coincide con la del eje, se habla de una afinidad especial; y cuando es normal al eje, se habla de una afinidad ortogonal.
En los demás casos, se habla de una afinidad oblicua.
