Velocidad angular

Dirección y velocidad de rotación.

En física , la velocidad angular (símbolo ω o , la letra griega minúscula omega ), también conocida como vector de frecuencia angular , ^[1] es una representación pseudovectorial de cómo la posición angular u orientación de un objeto cambia con el tiempo, es decir, con qué rapidez un objeto gira (gira o gira) alrededor de un eje de rotación y qué tan rápido el propio eje cambia de dirección . ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

La magnitud del pseudovector , representa la velocidad angular (o frecuencia angular ), la velocidad angular a la que el objeto gira (gira o gira). La dirección del pseudovector es normal al plano instantáneo de rotación o desplazamiento angular . ${\displaystyle \omega =\|{\boldsymbol {\omega }}\|}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\omega }}}={\boldsymbol {\omega }}/\omega }$

Hay dos tipos de velocidad angular:

• La velocidad angular orbital se refiere a la rapidez con la que un objeto puntual gira alrededor de un origen fijo , es decir, la tasa de cambio temporal de su posición angular con respecto al origen . ^{[ cita necesaria ]}
• La velocidad angular de giro se refiere a la rapidez con la que gira un cuerpo rígido con respecto a su centro de rotación y es independiente de la elección del origen, a diferencia de la velocidad angular orbital.

La velocidad angular tiene una dimensión de ángulo por unidad de tiempo; esto es análogo a la velocidad lineal , donde el ángulo reemplaza a la distancia , con el tiempo en común. La unidad SI de velocidad angular es radianes por segundo , ^[2] aunque los grados por segundo (°/s) también son comunes. El radianes es una cantidad adimensional , por lo que las unidades SI de velocidad angular son dimensionalmente equivalentes a segundos recíprocos , s ⁻¹ , aunque es preferible rad/s para evitar confusión con la velocidad de rotación en unidades de hercios (también equivalente a s ⁻¹ ). ^[3]

El sentido de la velocidad angular se especifica convencionalmente mediante la regla de la mano derecha , lo que implica rotaciones en el sentido de las agujas del reloj (visto en el plano de rotación); la negación (multiplicación por −1) deja la magnitud sin cambios pero invierte el eje en la dirección opuesta . ^[4]

Por ejemplo, un satélite geoestacionario completa una órbita por día sobre el ecuador (360 grados cada 24 horas) tiene una magnitud de velocidad angular (velocidad angular) ω = 360°/24 h = 15°/h (o 2π rad/24 h ≈ 0,26 rad/h) y dirección de la velocidad angular (un vector unitario ) paralela al eje de rotación de la Tierra ( , en el sistema de coordenadas geocéntricas ). Si el ángulo se mide en radianes, la velocidad lineal es el radio multiplicado por la velocidad angular, . Con un radio orbital de 42.000 km desde el centro de la Tierra, la velocidad tangencial del satélite a través del espacio es, por tanto, v = 42.000 km × 0,26/h ≈ 11.000 km/h. La velocidad angular es positiva ya que el satélite viaja en progrado con la rotación de la Tierra (la misma dirección que la rotación de la Tierra). ${\displaystyle {\hat {\omega }}={\hat {Z}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}=r{\boldsymbol {\omega }}}$

Velocidad angular orbital de una partícula puntual.

Partícula en dos dimensiones.

La velocidad angular de la partícula en P con respecto al origen O está determinada por la componente perpendicular del vector velocidad v .

En el caso más simple de movimiento circular con un radio , con la posición dada por el desplazamiento angular desde el eje x, la velocidad angular orbital es la tasa de cambio del ángulo con respecto al tiempo: . Si se mide en radianes , la longitud del arco desde el eje x positivo alrededor del círculo hasta la partícula es y la velocidad lineal es , de modo que . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \phi (t)}$ ${\textstyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \ell =r\phi }$ ${\textstyle v(t)={\frac {d\ell }{dt}}=r\omega (t)}$ ${\textstyle \omega ={\frac {v}{r}}}$

En el caso general de una partícula que se mueve en el plano, la velocidad angular orbital es la velocidad a la que el vector de posición relativo a un origen elegido "barre" el ángulo. El diagrama muestra el vector de posición desde el origen hasta una partícula , con sus coordenadas polares . (Todas las variables son funciones del tiempo ). La partícula tiene una velocidad lineal que se divide como , con el componente radial paralelo al radio y el componente radial transversal (o tangencial) perpendicular al radio. Cuando no hay componente radial, la partícula se mueve alrededor del origen en un círculo; pero cuando no hay componente radial transversal, se mueve en línea recta desde el origen. Dado que el movimiento radial deja el ángulo sin cambios, sólo la componente radial transversal de la velocidad lineal contribuye a la velocidad angular. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (r,\phi )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\|}+\mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\|}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$

La velocidad angular ω es la tasa de cambio de la posición angular con respecto al tiempo, que se puede calcular a partir de la velocidad radial transversal como:

ω = re ϕ re t = v ⊥ r . {\displaystyle \omega ={\frac {d\phi }{dt}}={\frac {v_{\perp }}{r}}.}

Aquí la velocidad radial transversal es la magnitud con signo de , positiva para el movimiento en el sentido contrario a las agujas del reloj y negativa para el movimiento en el sentido de las agujas del reloj. Tomar coordenadas polares para la velocidad lineal da la magnitud (velocidad lineal) y el ángulo relativo al radio vector; en estos términos, de modo que ${\displaystyle v_{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle v_{\perp }=v\sin(\theta )}$

ω = v pecado ⁡ ( θ ) r . {\displaystyle \omega ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}.}

Estas fórmulas se pueden derivar haciendo , siendo función de la distancia al origen con respecto al tiempo, y función del ángulo entre el vector y el eje x. Entonces: ${\displaystyle \mathbf {r} =(r\cos(\varphi ),r\sin(\varphi ))}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \varphi }$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=({\dot {r}}\cos(\varphi )-r{\dot {\varphi }}\sin(\varphi ),{\dot {r}}\sin(\varphi )+r{\dot {\varphi }}\cos(\varphi )),}$$

$${\displaystyle {\dot {r}}(\cos(\varphi ),\sin(\varphi ))+r{\dot {\varphi }}(-\sin(\varphi ),\cos(\varphi ))={\dot {r}}{\hat {r}}+r{\dot {\varphi }}{\hat {\varphi }}}$$

Vector unitario

Conociendo , concluimos que la componente radial de la velocidad está dada por , porque es un vector unitario radial; y la componente perpendicular está dada por porque es un vector unitario perpendicular. ${\textstyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=\mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\dot {r}}}$ ${\displaystyle {\hat {r}}}$ ${\displaystyle r{\dot {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\hat {\varphi }}}$

En dos dimensiones, la velocidad angular es un número con un signo más o menos que indica orientación, pero no apunta en una dirección. Convencionalmente se considera que el signo es positivo si el radio vector gira en el sentido contrario a las agujas del reloj y negativo si lo hace en el sentido de las agujas del reloj. La velocidad angular entonces puede denominarse pseudoescalar , una cantidad numérica que cambia de signo bajo una inversión de paridad , como invertir un eje o cambiar los dos ejes.

Partícula en tres dimensiones.

El vector de velocidad angular orbital codifica la tasa de cambio de posición angular en el tiempo, así como el plano instantáneo de desplazamiento angular. En este caso (movimiento circular en sentido antihorario), el vector apunta hacia arriba.

En el espacio tridimensional , nuevamente tenemos el vector de posición r de una partícula en movimiento. Aquí, la velocidad angular orbital es un pseudovector cuya magnitud es la velocidad a la que r barre el ángulo (en radianes por unidad de tiempo), y cuya dirección es perpendicular al plano instantáneo en el que r barre el ángulo (es decir, el plano abarcado por r y V ). Sin embargo, como existen dos direcciones perpendiculares a cualquier plano, es necesaria una condición adicional para especificar de forma única la dirección de la velocidad angular; convencionalmente se utiliza la regla de la mano derecha .

Sea el pseudovector el vector unitario perpendicular al plano abarcado por r y v , de modo que se cumpla la regla de la mano derecha (es decir, la dirección instantánea del desplazamiento angular es en sentido antihorario mirando desde la parte superior de ). Tomando coordenadas polares en este plano, como en el caso bidimensional anterior, se puede definir el vector de velocidad angular orbital como: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (r,\phi )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {u} ={\frac {d\phi }{dt}}\mathbf {u} ={\frac {v\sin(\theta )}{r}}\mathbf {u} ,}$

donde θ es el ángulo entre r y v . En términos del producto cruzado, esto es:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {\mathbf {r} \times \mathbf {v} }{r^{2}}}.}$^[5]

De la ecuación anterior, se puede recuperar la velocidad tangencial como:

${\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$

Velocidad angular de giro de un cuerpo rígido o marco de referencia

Dado un sistema giratorio de tres vectores unitarios de coordenadas, los tres deben tener la misma velocidad angular en cada instante. En tal marco, cada vector puede considerarse como una partícula en movimiento con radio escalar constante.

El marco giratorio aparece en el contexto de los cuerpos rígidos , y se han desarrollado herramientas especiales para él: la velocidad angular de giro puede describirse como un vector o, de manera equivalente, como un tensor .

De acuerdo con la definición general, la velocidad angular de giro de un marco se define como la velocidad angular orbital de cualquiera de los tres vectores (igual para todos) con respecto a su propio centro de rotación. La suma de vectores de velocidad angular para fotogramas también se define mediante la habitual suma de vectores (composición de movimientos lineales), y puede resultar útil para descomponer la rotación como en un cardán . Todos los componentes del vector se pueden calcular como derivados de los parámetros que definen los marcos móviles (ángulos de Euler o matrices de rotación). Como en el caso general, la suma es conmutativa: . ${\displaystyle \omega _{1}+\omega _{2}=\omega _{2}+\omega _{1}}$

Según el teorema de rotación de Euler , cualquier sistema giratorio posee un eje de rotación instantáneo , que es la dirección del vector de velocidad angular, y la magnitud de la velocidad angular es consistente con el caso bidimensional.

Si elegimos un punto de referencia fijo en el cuerpo rígido, la velocidad de cualquier punto del cuerpo viene dada por ${\displaystyle {{\boldsymbol {r}}_{0}}}$ ${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}}$

${\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}={\dot {{\boldsymbol {r}}_{0}}}+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {r}}-{{\boldsymbol {r}}_{0}})}$

Componentes de los vectores base de un marco fijo al cuerpo.

Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un punto fijo O. Construya un sistema de referencia en el cuerpo que consista en un conjunto ortonormal de vectores fijos al cuerpo y con su origen común en O. El vector de velocidad angular de giro tanto del sistema como del cuerpo con respecto a O es entonces ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\left({\dot {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\right)\mathbf {e} _{3}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\right)\mathbf {e} _{1}+\left({\dot {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\right)\mathbf {e} _{2},}$

donde es la tasa de cambio temporal del vector de cuadro debido a la rotación. ${\displaystyle {\dot {\mathbf {e} }}_{i}={\frac {d\mathbf {e} _{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i},i=1,2,3,}$

Esta fórmula es incompatible con la expresión de velocidad angular orbital.

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {v}}}{r^{2}}},}$

ya que esa fórmula define la velocidad angular para un solo punto alrededor de O, mientras que la fórmula de esta sección se aplica a una estructura o cuerpo rígido. En el caso de un cuerpo rígido, uno debe tener en cuenta el movimiento de todas las partículas del cuerpo. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Componentes de los ángulos de Euler

Diagrama que muestra el marco de Euler en verde.

Leonhard Euler calculó por primera vez los componentes del pseudovector de velocidad angular de espín utilizando sus ángulos de Euler y el uso de un marco intermedio:

• Un eje del sistema de referencia (el eje de precesión)
• La línea de nodos del marco móvil con respecto al marco de referencia (eje de nutación)
• Un eje del marco móvil (el eje de rotación intrínseco)

Euler demostró que las proyecciones del pseudovector de velocidad angular sobre cada uno de estos tres ejes es la derivada de su ángulo asociado (lo que equivale a descomponer la rotación instantánea en tres rotaciones instantáneas de Euler ). Por lo tanto: ^[6]

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}={\dot {\alpha }}\mathbf {u} _{1}+{\dot {\beta }}\mathbf {u} _{2}+{\dot {\gamma }}\mathbf {u} _{3}}$

Esta base no es ortonormal y es difícil de usar, pero ahora el vector velocidad se puede cambiar al marco fijo o al marco móvil con solo un cambio de bases. Por ejemplo, cambiando al marco móvil:

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=({\dot {\alpha }}\sin \beta \sin \gamma +{\dot {\beta }}\cos \gamma ){\hat {\mathbf {i} }}+({\dot {\alpha }}\sin \beta \cos \gamma -{\dot {\beta }}\sin \gamma ){\hat {\mathbf {j} }}+({\dot {\alpha }}\cos \beta +{\dot {\gamma }}){\hat {\mathbf {k} }}}$

¿Dónde están los vectores unitarios del marco fijado en el cuerpo en movimiento? Este ejemplo se ha realizado utilizando la convención ZXZ para ángulos de Euler. ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$

Tensor

El tensor de velocidad angular es una matriz simétrica sesgada definida por:

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\\\end{pmatrix}}}$

Los elementos escalares anteriores corresponden a los componentes del vector de velocidad angular . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$

Esta es una matriz de rotación infinitesimal . El mapeo lineal Ω actúa como un producto cruzado : ${\displaystyle ({\boldsymbol {\omega }}\times )}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}=\Omega {\boldsymbol {r}}}$

donde es un vector de posición . ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}}$

Cuando se multiplica por una diferencia de tiempo, da como resultado el tensor de desplazamiento angular .

Ver también

• Aceleración angular
• Frecuencia angular
• Momento angular
• Velocidad de área
• isometria
• grupo ortogonal
• Dinámica del cuerpo rígido
• vorticidad

Referencias

1. Cummings, Karen; Halliday, David (2007). Comprender la física. Nueva Delhi: John Wiley & Sons Inc., reimpresión autorizada para Wiley – India. págs.449, 484, 485, 487. ISBN 978-81-265-0882-2.(ARRIBA1)
2. Taylor, Barry N. (2009). Sistema Internacional de Unidades (SI) (edición revisada en 2008). Editorial DIANE. pag. 27.ISBN​ 978-1-4379-1558-7.Extracto de la página 27
3. "Unidades con nombres y símbolos especiales; unidades que incorporan nombres y símbolos especiales".
4. Hibbeler, Russell C. (2009). Ingeniería Mecánica. Upper Saddle River , Nueva Jersey: Pearson Prentice Hall. págs.314, 153. ISBN 978-0-13-607791-6.(EM1)
5. Singh, Sunil K. Velocidad angular. Universidad de Rice . Consultado el 21 de mayo de 2021 a través de OpenStax.
6. KSHEDRIH: Leonhard Euler (1707-1783) y la dinámica de cuerpos rígidos

• Symon, Keith (1971). Mecánica . Addison-Wesley, Reading, MA. ISBN 978-0-201-07392-8.
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1997). Mecánica . Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-7506-2896-9.

enlaces externos

• Un libro de texto universitario de física Por Arthur Lalanne Kimball ( Velocidad angular de una partícula )
• Pickering, Steve (2009). "ω Velocidad de rotación [velocidad angular]". Sesenta símbolos . Brady Haran para la Universidad de Nottingham .