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Plano de rotación

En geometría , un plano de rotación es un objeto abstracto utilizado para describir o visualizar rotaciones en el espacio.

El uso principal de los planos de rotación es describir rotaciones más complejas en un espacio de cuatro dimensiones y dimensiones superiores , donde se pueden utilizar para dividir las rotaciones en partes más simples. Esto se puede hacer usando álgebra geométrica , con los planos de rotación asociados con bivectores simples en el álgebra. [1]

Los planos de rotación no se utilizan mucho en dos y tres dimensiones , ya que en dos dimensiones solo hay un plano (por lo que identificar el plano de rotación es trivial y rara vez se hace), mientras que en tres dimensiones el eje de rotación cumple el mismo propósito y es el enfoque más establecido.

Matemáticamente, estos planos se pueden describir de varias maneras. Se pueden describir en términos de planos y ángulos de rotación . Se pueden asociar con bivectores del álgebra geométrica . Están relacionados con los valores propios y vectores propios de una matriz de rotación . Y en dimensiones particulares están relacionadas con otras propiedades algebraicas y geométricas, que luego pueden generalizarse a otras dimensiones.

Definiciones

Avión

Para este artículo, todos los planos son planos que pasan por el origen , es decir, contienen el vector cero . Tal plano en un espacio de n dimensiones es un subespacio lineal bidimensional del espacio. Está completamente especificado por dos vectores cualesquiera distintos de cero y no paralelos que se encuentran en el plano, es decir, por dos vectores cualesquiera a y b , tales que

donde es el producto exterior del álgebra exterior o álgebra geométrica (en tres dimensiones se puede utilizar el producto cruzado ). Más precisamente, la cantidad ab es el bivector asociado con el plano especificado por a y b , y tiene magnitud | un | | segundo | pecado φ , donde φ es el ángulo entre los vectores; de ahí el requisito de que los vectores sean distintos de cero y no paralelos. [2]

Si el bivector ab se escribe B , entonces la condición de que un punto se encuentre en el plano asociado con B es simplemente [3]

Esto es cierto en todas las dimensiones y puede tomarse como definición en el plano. En particular, a partir de las propiedades del producto exterior, se satisface tanto con a como con b , y así con cualquier vector de la forma

con λ y μ números reales. Como λ y μ abarcan todos los números reales, c abarca todo el plano, por lo que esto puede tomarse como otra definición del plano.

Plano de rotación

Un plano de rotación para una rotación particular es un plano que la rotación asigna a sí mismo. El plano no es fijo, pero todos los vectores en el plano se asignan a otros vectores en el mismo plano mediante la rotación. Esta transformación del plano sobre sí mismo es siempre una rotación alrededor del origen, a través de un ángulo que es el ángulo de rotación del plano.

Cada rotación, excepto la rotación identidad (con matriz, la matriz identidad ) tiene al menos un plano de rotación, y hasta

planos de rotación, donde n es la dimensión. El número máximo de planos hasta ocho dimensiones se muestra en esta tabla:

Cuando una rotación tiene múltiples planos de rotación, siempre son ortogonales entre sí y solo tienen el origen en común. Esta es una condición más fuerte que decir que los planos están en ángulo recto ; en cambio, significa que los planos no tienen vectores en común distintos de cero y que cada vector en un plano es ortogonal a cada vector en el otro plano. Esto sólo puede suceder en cuatro o más dimensiones. En dos dimensiones existe un solo plano, mientras que en tres dimensiones todos los planos tienen al menos un vector distinto de cero en común, a lo largo de su línea de intersección . [4]

En más de tres dimensiones, los planos de rotación no siempre son únicos. Por ejemplo el negativo de la matriz identidad en cuatro dimensiones (la inversión central ),

describe una rotación en cuatro dimensiones en la que cada plano que pasa por el origen es un plano de rotación que pasa por un ángulo π , por lo que cualquier par de planos ortogonales genera la rotación. Pero para una rotación general es al menos teóricamente posible identificar un conjunto único de planos ortogonales, en cada uno de los cuales los puntos giran un ángulo, de modo que el conjunto de planos y ángulos caracterizan completamente la rotación. [5]

Dos dimensiones

En el espacio bidimensional sólo existe un plano de rotación, el plano del propio espacio. En un sistema de coordenadas cartesiano es el plano cartesiano, en números complejos es el plano complejo . Por tanto, cualquier rotación es de todo el plano, es decir del espacio, manteniendo fijo sólo el origen . Está especificado completamente por el ángulo de rotación con signo, en el rango, por ejemplo, de − π a π . Entonces, si el ángulo es θ, la rotación en el plano complejo viene dada por la fórmula de Euler :

mientras que la rotación en un plano cartesiano viene dada por la matriz de rotación 2 × 2 : [6]

Tres dimensiones

Una rotación tridimensional, con un eje de rotación a lo largo del eje z y un plano de rotación en el plano xy .

En el espacio tridimensional hay un número infinito de planos de rotación, de los cuales sólo uno participa en una rotación determinada. Es decir, para una rotación general existe precisamente un plano al que está asociado o en el que tiene lugar la rotación. La única excepción es la rotación trivial, correspondiente a la matriz identidad, en la que no tiene lugar ninguna rotación.

En cualquier rotación en tres dimensiones siempre hay un eje fijo, el eje de rotación. La rotación se puede describir dando este eje, con el ángulo con el que gira la rotación alrededor de él; esta es la representación del ángulo del eje de una rotación. El plano de rotación es el plano ortogonal a este eje, por lo que el eje es una superficie normal al plano. Luego, la rotación hace girar este plano en el mismo ángulo que gira alrededor del eje, es decir, todo en el plano gira en el mismo ángulo alrededor del origen.

En el diagrama se muestra un ejemplo, donde la rotación tiene lugar alrededor del eje z . El plano de rotación es el plano xy , por lo que todo en ese plano se mantuvo en el plano por la rotación. Esto podría describirse mediante una matriz como la siguiente, con la rotación en un ángulo θ (alrededor del eje o en el plano):

La Tierra mostrando su eje y plano de rotación, ambos inclinados con respecto al plano y perpendiculares a la órbita de la Tierra.

Otro ejemplo es la rotación de la Tierra . El eje de rotación es la línea que une el Polo Norte y el Polo Sur y el plano de rotación es el plano que pasa por el ecuador entre los hemisferios norte y sur . Otros ejemplos incluyen dispositivos mecánicos como un giroscopio o un volante que almacena energía rotacional en masa, generalmente a lo largo del plano de rotación.

En cualquier rotación tridimensional, el plano de rotación está definido de forma única. Junto con el ángulo de rotación, describe completamente la rotación. O en un objeto que gira continuamente, las propiedades rotacionales, como la velocidad de rotación, se pueden describir en términos del plano de rotación. Es perpendicular a un eje de rotación y, por lo tanto, está definido por él y lo define, por lo que cualquier descripción de una rotación en términos de un plano de rotación puede describirse en términos de un eje de rotación, y viceversa. Pero a diferencia del eje de rotación, el plano se generaliza en otras dimensiones, en particular en dimensiones superiores. [7]

Cuatro dimensiones

Una rotación general en un espacio de cuatro dimensiones tiene un solo punto fijo, el origen. Por tanto, un eje de rotación no se puede utilizar en cuatro dimensiones. Pero se pueden utilizar planos de rotación, y cada rotación no trivial en cuatro dimensiones tiene uno o dos planos de rotación.

Rotaciones simples

Una rotación con un solo plano de rotación es una rotación simple . En una rotación simple hay un plano fijo, y se puede decir que la rotación tiene lugar alrededor de este plano, por lo que los puntos a medida que giran no cambian su distancia a este plano. El plano de rotación es ortogonal a este plano y se puede decir que la rotación tiene lugar en este plano.

Por ejemplo, la siguiente matriz fija el plano xy : los puntos en ese plano y sólo en ese plano no cambian. El plano de rotación es el plano zw , los puntos en este plano giran un ángulo θ . Un punto general gira sólo en el plano zw , es decir, gira alrededor del plano xy cambiando sólo sus coordenadas z y w .

En dos y tres dimensiones todas las rotaciones son simples, ya que tienen un solo plano de rotación. Sólo en cuatro y más dimensiones hay rotaciones que no son simples rotaciones. En particular, en cuatro dimensiones también hay rotaciones dobles e isoclínicas.

Rotaciones dobles

En una doble rotación hay dos planos de rotación, no hay planos fijos y el único punto fijo es el origen. Se puede decir que la rotación tiene lugar en ambos planos de rotación, ya que los puntos en ellos giran dentro de los planos. Estos planos son ortogonales, es decir, no tienen vectores en común, por lo que cada vector en un plano forma ángulos rectos con cada vector en el otro plano. Los dos planos de rotación abarcan un espacio de cuatro dimensiones, por lo que cada punto del espacio puede especificarse mediante dos puntos, uno en cada uno de los planos.

Una doble rotación tiene dos ángulos de rotación, uno para cada plano de rotación. La rotación se especifica dando los dos planos y dos ángulos distintos de cero, α y β (si cualquiera de los ángulos es cero, la rotación es simple). Los puntos en el primer plano giran a través de α , mientras que los puntos en el segundo plano giran a través de β . Todos los demás puntos giran formando un ángulo entre α y β , por lo que, en cierto sentido, juntos determinan la cantidad de rotación. Para una doble rotación general, los planos de rotación y los ángulos son únicos y, dada una rotación general, se pueden calcular. Por ejemplo, una rotación de α en el plano xy y β en el plano zw viene dada por la matriz

Rotaciones isoclínicas

Una proyección de un teseracto con una rotación isoclínica.

Un caso especial de la doble rotación es cuando los ángulos son iguales, es decir si α = β ≠ 0 . Esto se llama rotación isoclínica y se diferencia de una doble rotación general en varios aspectos. Por ejemplo, en una rotación isoclínica, todos los puntos distintos de cero giran en el mismo ángulo, α . Lo más importante es que los planos de rotación no están identificados de forma única. En cambio, hay un número infinito de pares de planos ortogonales que pueden tratarse como planos de rotación. Por ejemplo, se puede tomar cualquier punto y el plano en el que gira junto con el plano ortogonal a él se pueden utilizar como dos planos de rotación. [8]

Dimensiones más altas

Como ya se señaló, el número máximo de planos de rotación en n dimensiones es

por lo que la complejidad aumenta rápidamente con más de cuatro dimensiones y categorizar las rotaciones como se indicó anteriormente se vuelve demasiado complejo para ser práctico, pero se pueden hacer algunas observaciones.

Las rotaciones simples se pueden identificar en todas las dimensiones, como rotaciones con un solo plano de rotación. Una rotación simple en n dimensiones tiene lugar alrededor (es decir, a una distancia fija de) un ( n − 2 ) -subespacio dimensional ortogonal al plano de rotación.

Una rotación general no es simple y tiene el número máximo de planos de rotación indicados anteriormente. En el caso general, los ángulos de rotación en estos planos son distintos y los planos están definidos de forma única. Si alguno de los ángulos es igual entonces los planos no son únicos, como en cuatro dimensiones con una rotación isoclínica.

En dimensiones pares ( n = 2, 4, 6... ) hay hasta norte/2 los planos de rotación abarcan el espacio, por lo que una rotación general gira todos los puntos excepto el origen, que es el único punto fijo. En dimensiones impares ( n = 3, 5, 7, ... ) haynorte - 1/2 planos y ángulos de rotación, iguales que la dimensión par uno más abajo. Estos no abarcan el espacio, pero dejan una línea que no gira, como el eje de rotación en tres dimensiones, excepto que las rotaciones no tienen lugar alrededor de esta línea sino en múltiples planos ortogonales a ella. [1]

Propiedades matemáticas

Los ejemplos dados anteriormente fueron elegidos por ser ejemplos claros y simples de rotaciones, con planos generalmente paralelos a los ejes de coordenadas en tres y cuatro dimensiones. Pero generalmente este no es el caso: los planos no suelen ser paralelos a los ejes y las matrices no se pueden escribir simplemente. En todas las dimensiones las rotaciones están completamente descritas por los planos de rotación y sus ángulos asociados, por lo que es útil poder determinarlas, o al menos encontrar formas de describirlas matemáticamente.

Reflexiones

Dos reflexiones diferentes en dos dimensiones generando una rotación.

Cada rotación simple puede generarse mediante dos reflexiones . Las reflexiones se pueden especificar en n dimensiones dando un subespacio ( n − 1) -dimensional para reflejar, de modo que una reflexión bidimensional está en una línea, una reflexión tridimensional está en un plano, y así sucesivamente. Pero esto se vuelve cada vez más difícil de aplicar en dimensiones superiores, por lo que es mejor utilizar vectores, como se muestra a continuación.

Una reflexión en n dimensiones está especificada por un vector perpendicular al subespacio ( n − 1) -dimensional. Para generar rotaciones simples solo se necesitan reflexiones que fijen el origen, por lo que el vector no tiene posición, solo dirección. Tampoco importa en qué dirección esté: se puede sustituir por su negativo sin cambiar el resultado. De manera similar, se pueden utilizar vectores unitarios para simplificar los cálculos.

Entonces, la reflexión en un espacio dimensional ( n − 1) viene dada por el vector unitario perpendicular a él, m , así:

donde el producto es el producto geométrico del álgebra geométrica .

Si x′ se refleja en otro espacio distinto ( n − 1) dimensional, descrito por un vector unitario n perpendicular a él, el resultado es

Esta es una rotación simple en n dimensiones , a través del doble del ángulo entre los subespacios, que también es el ángulo entre los vectores myn . Se puede comprobar mediante álgebra geométrica que se trata de una rotación y que gira todos los vectores como se esperaba.

La cantidad mn es un rotor y nm es su inversa como

Entonces la rotación se puede escribir

donde R = mn es el rotor.

El plano de rotación es el plano que contiene myn , que debe ser distinto , de lo contrario las reflexiones son las mismas y no se produce ninguna rotación. Como cualquiera de los vectores puede ser sustituido por su negativo el ángulo entre ellos siempre puede ser agudo, o como mucho π/2 . La rotación es el doble del ángulo entre los vectores, hasta π o media vuelta. El sentido de la rotación es girar de m hacia n : el producto geométrico no es conmutativo por lo que el producto nm es la rotación inversa, con sentido de n a m .

Por el contrario, todas las rotaciones simples se pueden generar de esta manera, con dos reflexiones, mediante dos vectores unitarios en el plano de rotación separados por la mitad del ángulo de rotación deseado. Estos se pueden componer para producir rotaciones más generales, usando hasta n reflexiones si la dimensión n es par, n − 2 si n es impar, eligiendo pares de reflexiones dadas por dos vectores en cada plano de rotación. [9] [10]

Bivectores

Los bivectores son cantidades del álgebra geométrica , el álgebra de Clifford y el álgebra exterior , que generalizan la idea de vectores en dos dimensiones. Como los vectores son a las líneas, también lo son los bivectores a los planos. Entonces, cada plano (en cualquier dimensión) puede asociarse con un bivector, y cada bivector simple está asociado con un plano. Esto los convierte en una buena opción para describir planos de rotación.

Cada plano de rotación en una rotación tiene un bivector simple asociado. Este es paralelo al plano y tiene magnitud igual al ángulo de rotación en el plano. Estos bivectores se suman para producir un bivector único, generalmente no simple, para toda la rotación. Esto puede generar un rotor a través del mapa exponencial , que puede usarse para rotar un objeto.

Los bivectores están relacionados con los rotores a través del mapa exponencial (que aplicado a los bivectores genera rotores y rotaciones usando la fórmula de De Moivre ). En particular, dado cualquier bivector B, el rotor asociado con él es

Esta es una rotación simple si el bivector es simple; en caso contrario, una rotación más general. Cuando se eleva al cuadrado,

da un rotor que gira el doble de ángulo. Si B es simple, entonces esta es la misma rotación generada por dos reflexiones, ya que el producto mn da una rotación del doble del ángulo entre los vectores. Estos pueden ser equiparados,

de lo cual se deduce que el bivector asociado con el plano de rotación que contiene myn que gira m an es

Este es un bivector simple, asociado con la rotación simple descrita. Las rotaciones más generales en cuatro o más dimensiones están asociadas con sumas de bivectores simples, uno para cada plano de rotación, calculado como anteriormente.

Los ejemplos incluyen las dos rotaciones en cuatro dimensiones dadas anteriormente. La rotación simple en el plano zw por un ángulo θ tiene un bivector e 34 θ , un bivector simple. La doble rotación por α y β en el plano xy y zw tiene el bivector e 12 α + e 34 β , la suma de dos bivectores simples e 12 α y e 34 β que son paralelos a los dos planos de rotación y tienen magnitudes iguales a los ángulos de rotación.

Dado un rotor, el bivector asociado a él se puede recuperar tomando el logaritmo del rotor, que luego se puede dividir en bivectores simples para determinar los planos de rotación, aunque en la práctica, excepto en los casos más simples, esto puede resultar poco práctico. Pero dados los bivectores simples, el álgebra geométrica es una herramienta útil para estudiar planos de rotación usando álgebra como la anterior. [1] [11]

Valores propios y planos propios

Los planos de rotación para una rotación particular usando los valores propios . Dada una matriz de rotación general en n dimensiones, su ecuación característica tiene una (en dimensiones impares) o cero (en dimensiones pares) raíces reales. Las otras raíces están en pares conjugados complejos, exactamente

tales pares. Estos corresponden a los planos de rotación, los planos propios de la matriz, que pueden calcularse mediante técnicas algebraicas. Además los argumentos de las raíces complejas son las magnitudes de los bivectores asociados a los planos de rotación. La forma de la ecuación característica está relacionada con los planos, lo que permite relacionar sus propiedades algebraicas como raíces repetidas con los bivectores, donde las magnitudes de los bivectores repetidos tienen interpretaciones geométricas particulares. [1] [12]

Ver también

Notas

  1. ^ abcd Lounesto (2001) págs. 222-223
  2. ^ Lounesto (2001) pág. 38
  3. ^ Hestenes (1999) p. 48
  4. ^ Lounesto (2001) pág. 222
  5. ^ Lounesto (2001) p.87
  6. ^ Lounesto (2001) págs. 27-28
  7. ^ Hestenes (1999) págs. 280–284
  8. ^ Lounesto (2001) págs. 83–89
  9. ^ Lounesto (2001) pág. 57–58
  10. ^ Hestenes (1999) p. 278–280
  11. ^ Dorst, Doran, Lasenby (2002) págs. 79–89
  12. ^ Dorst, Doran, Lasenby (2002) págs. 145-154

Referencias