Inverso aditivo

Número que, cuando se suma al número original, produce la identidad aditiva

En matemáticas, el inverso aditivo de un elemento x , denotado -x ^[1] , es el elemento que cuando se suma a x , produce la identidad aditiva , 0 ^[2] . En los casos más familiares, este es el número 0, pero también puede referirse a un elemento cero más generalizado .

En matemáticas elementales , el inverso aditivo suele denominarse número opuesto ^{[3] [4]} . El concepto está estrechamente relacionado con la resta ^[5] y es importante para resolver ecuaciones algebraicas ^[6] . No todos los conjuntos donde se define la suma tienen un inverso aditivo, como los números naturales ^[7] .

Ejemplos comunes

Cuando se trabaja con números enteros , números racionales , números reales y números complejos , el inverso aditivo de cualquier número se puede encontrar multiplicándolo por −1 . ^[6]

Estos números complejos, dos de ocho valores de ⁸ √ 1 , son mutuamente opuestos

El concepto también puede extenderse a expresiones algebraicas, que suele utilizarse a la hora de equilibrar ecuaciones .

Relación con la resta

El inverso aditivo está estrechamente relacionado con la resta , que puede verse como una suma usando el inverso:

un - segundo  =  un + (- segundo ) .

Por el contrario, el inverso aditivo se puede considerar como una resta de cero:

− un  = 0 − un .

Esta conexión llevó a que el signo menos se utilizara tanto para magnitudes opuestas como para restas ya en el siglo XVII. Si bien esta notación es estándar hoy en día, encontró oposición en su momento, ya que algunos matemáticos consideraron que podría ser poco clara y dar lugar a errores. ^[8]

Definicion formal

Dada una estructura algebraica definida bajo suma con identidad aditiva , un elemento tiene un inverso aditivo si y sólo si , y . ^[7] ${\displaystyle (S,+)}$ ${\displaystyle e\in S}$ ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y\in S}$ ${\displaystyle x+y=e}$ ${\displaystyle y+x=e}$

La suma normalmente solo se usa para referirse a una operación conmutativa , pero no es necesariamente asociativa . Cuando es asociativo, entonces , los inversos izquierdo y derecho, si existen, coincidirán, y el inverso aditivo será único. En casos no asociativos, las inversas izquierda y derecha pueden no coincidir y, en estos casos, se considera que la inversa no existe. ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

La definición requiere cierre , en el que se encuentre el elemento aditivo . Es por eso que a pesar de que la suma se define sobre los números naturales, no es un inverso aditivo para sus miembros. Los inversos asociados serían los números negativos , razón por la cual los números enteros sí tienen inverso aditivo. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle S}$

Más ejemplos

• En un espacio vectorial , el inverso aditivo − v (a menudo llamado vector opuesto de v ) tiene la misma magnitud que v pero en dirección opuesta. ^[9]
• En aritmética modular , el inverso aditivo modular de x es el número a tal que a + x ≡ 0 (mod n ) y siempre existe. Por ejemplo, el inverso de 3 módulo 11 es 8, ya que 3 + 8 ≡ 0 (mod 11) . ^[10]
• En un anillo booleano , que tiene elementos, la suma a menudo se define como la diferencia simétrica . Y entonces .​ ​Nuestra identidad aditiva es 0, y ambos elementos son su propio inverso aditivo como y . ^[11] ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle 0+0=0}$ ${\displaystyle 0+1=1}$ ${\displaystyle 1+0=1}$ ${\displaystyle 1+1=0}$ ${\displaystyle 0+0=0}$ ${\displaystyle 1+1=0}$

Ver también

• Valor absoluto (relacionado a través de la identidad |− x | = | x | ).
• monoide
• Función inversa
• Involución (matemáticas)
• Multiplicación inversa
• Reflexión (matemáticas)
• Simetría de reflexión
• Semigrupo

notas y referencias

1. Galliano, Joseph A. (2017). Álgebra abstracta contemporánea (9ª ed.). Boston, MA: Aprendizaje Cengage. pag. 52.ISBN​ 978-1-305-65796-0.
2. Fraleigh, John B. (2014). Un primer curso de álgebra abstracta (7ª ed.). Harlow: Pearson. págs. 169-170. ISBN 978-1-292-02496-7.
3. Mazur, Izabela (26 de marzo de 2021). "2.5 Propiedades de los números reales - Introducción al álgebra" . Consultado el 4 de agosto de 2024 .
4. "Estándares::Entender p + q como el número ubicado a una distancia |q| de p, en dirección positiva o negativa dependiendo de si q es positivo o negativo. Demuestre que un número y su opuesto tienen una suma de 0 (son inversos aditivos). Interpretar sumas de números racionales describiendo contextos del mundo real". learninglab.si.edu . Consultado el 4 de agosto de 2024 .
5. Marrón, Cristóbal. "SI242: divisibilidad". www.usna.edu . Consultado el 4 de agosto de 2024 .
6. "2.2.5: Propiedades de igualdad con decimales". K12 LibreTexts . 2020-07-21 . Consultado el 4 de agosto de 2024 .
7. Fraleigh, John B. (2014). Un primer curso de álgebra abstracta (7ª ed.). Harlow: Pearson. págs. 37–39. ISBN 978-1-292-02496-7.
8. Cajori, Florián (2011). Una historia de las notaciones matemáticas: dos volúmenes en uno . Nueva York: Cosimo Classics. págs. 246-247. ISBN 978-1-61640-571-7.
9. Axler, Sheldon (2024), Axler, Sheldon (ed.), "Vector Spaces", Álgebra lineal bien hecha , Cham: Springer International Publishing, págs. 1 a 26, doi :10.1007/978-3-031-41026- 0_1, ISBN 978-3-031-41026-0, recuperado 2024-08-04
10. Gupta, Prakash C. (2015). Criptografía y seguridad de redes . Edición de economía oriental. Delhi: PHI Learning Private Limited. pag. 15.ISBN​ 978-81-203-5045-8.
11. Martín, Urúsula; Nipkow, Tobías (1 de marzo de 1989). "Unificación booleana: la historia hasta ahora". Revista de Computación Simbólica . Unificación: Parte 1. 7 (3): 275–293. doi :10.1016/S0747-7171(89)80013-6. ISSN  0747-7171.