Rotaciones encadenadas de Davenport

En física e ingeniería , las rotaciones encadenadas de Davenport son tres rotaciones intrínsecas encadenadas alrededor de ejes específicos fijos en el cuerpo. Las rotaciones de Euler y las rotaciones de Tait-Bryan son casos particulares de la descomposición de la rotación general de Davenport. Los ángulos de rotación se llaman ángulos de Davenport porque el problema general de descomponer una rotación en una secuencia de tres fue estudiado por primera vez por Paul B. Davenport. ^[1]

Se puede imaginar que el sistema de coordenadas giratorio no ortogonal está unido rígidamente a un cuerpo rígido. En este caso, a veces se le denomina sistema de coordenadas local . Dado que los ejes de rotación son solidarios con el cuerpo en movimiento, las rotaciones generalizadas se pueden dividir en dos grupos (aquí x , y y z se refieren al marco móvil no ortogonal):

Rotaciones de Euler generalizadas: $(zxz, xyx, yzy, zyz, xzx, yxy)$
Rotaciones generalizadas de Tait-Bryan: $(xyz, yzx, zxy, xzy, zyx, yxz)$ .

La mayoría de los casos pertenecen al segundo grupo, dado que las rotaciones de Euler generalizadas son un caso degenerado en el que el primer y el tercer eje se superponen.

Teorema de rotación de Davenport

El problema general de descomponer una rotación en tres movimientos compuestos alrededor de ejes intrínsecos fue estudiado por P. Davenport, bajo el nombre de " ángulos de Euler generalizados ", pero más tarde estos ángulos fueron denominados "ángulos de Davenport" por M. Shuster y L. Markley. ^[2]

El problema general consiste en obtener la descomposición matricial de una rotación dados los tres ejes conocidos. En algunos casos se repite uno de los ejes. Este problema es equivalente a un problema de descomposición de matrices. ^[3]

Davenport demostró que se puede lograr cualquier orientación componiendo tres rotaciones elementales utilizando ejes no ortogonales. Las rotaciones elementales pueden ocurrir alrededor de los ejes del sistema de coordenadas fijo (rotaciones extrínsecas) o alrededor de los ejes de un sistema de coordenadas giratorio, que inicialmente está alineado con el fijo y modifica su orientación después de cada rotación elemental (rotaciones intrínsecas).

Según el teorema de Davenport, una descomposición única es posible si y sólo si el segundo eje es perpendicular a los otros dos ejes. Por lo tanto, los ejes 1 y 3 deben estar en el plano ortogonal al eje 2. ^[2]

Por tanto, las descomposiciones en rotaciones encadenadas de Euler y rotaciones encadenadas de Tait-Bryan son casos particulares de esto. El caso Tait-Bryan aparece cuando los ejes 1 y 3 son perpendiculares, y el caso Euler aparece cuando se superponen.

Sistema completo de rotaciones.

Imagen 2: Avión descansando sobre un avión

Se dice que un conjunto de rotaciones de Davenport es completo si es suficiente para generar cualquier rotación del espacio por composición. Hablando en términos matriciales, es completo si puede generar cualquier matriz ortonormal del espacio, cuyo determinante sea +1. Debido a la no conmutatividad del producto de la matriz, se debe solicitar el sistema de rotación.

A veces el orden lo impone la geometría del problema subyacente. Por ejemplo, cuando se utiliza en vehículos que tienen un eje especial que apunta en la dirección "hacia adelante", sólo es útil una de las seis combinaciones posibles de rotaciones. La composición interesante es la capaz de controlar el rumbo y la elevación del avión con una rotación independiente cada uno.

En el dibujo adyacente, la composición de guiñada, cabeceo y balanceo (YPR) permite el ajuste de la dirección de una aeronave con los dos primeros ángulos. Una composición diferente como YRP permitiría establecer la dirección del eje de las alas, lo que obviamente no es útil en la mayoría de los casos.

Rotaciones encadenadas de Tait-Bryan

Las rotaciones de Tait-Bryan son un caso especial en el que el primer y tercer eje son perpendiculares entre sí. Suponiendo un marco de referencia ⟨ x , y , z ⟩ con una convención como en la imagen 2, y un plano con ejes ⟨guiñada, cabeceo, balanceo⟩ como en la imagen 3 [ faltan datos ] , horizontal en el plano ⟨x, y ⟩ al principio, después de realizar rotaciones intrínsecas Y, P y R en los ejes de guiñada, cabeceo y balanceo (en este orden) obtenemos algo similar a la imagen 4 [ faltan datos ] .

Al principio :

el eje de balanceo del plano está en el eje x del sistema de referencia
el eje de paso del plano está en el eje y del sistema de referencia
el eje de guiñada del plano está en el eje z del sistema de referencia

Las rotaciones se aplican en orden de guiñada, cabeceo y balanceo . En estas condiciones, el rumbo (ángulo en el plano horizontal) será igual a la guiñada aplicada y la elevación será igual al cabeceo.

Las expresiones matriciales para las tres rotaciones de Tait-Bryan en 3 dimensiones son:

{\begin{aligned}\\R_{x}(\phi )=\mathrm {Roll} (\phi )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \ phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \ theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Guía} (\psi )&={ \begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

La matriz de las rotaciones compuestas es

{\begin{aligned}M&=\mathrm {Roll} (\phi )\,\mathrm {Pitch} (\theta )\,\mathrm {Guía} (\psi )\\&=R_{x} (\phi )R_{y}(\theta )R_{z}(\psi ).\end{aligned}}

De las seis combinaciones posibles de guiñada, cabeceo y balanceo, esta combinación es la única en la que el rumbo (dirección del eje de balanceo) es igual a una de las rotaciones (la guiñada), y la elevación (ángulo del eje de balanceo) con el plano horizontal) es igual a otras de las rotaciones (al tono).

Rotaciones encadenadas de Euler

Imagen 5: Posición inicial de una aeronave para aplicar los ángulos de Euler adecuados

Las rotaciones de Euler aparecen como el caso especial en el que el primer y tercer eje de rotación se superponen. Estas rotaciones de Euler están relacionadas con los ángulos propios de Euler, que se pensaba que estudiaban el movimiento de un cuerpo rígido como un planeta. El ángulo para definir la dirección del eje de balanceo normalmente se denomina "longitud del eje de revolución" o "longitud de la línea de nodos" en lugar de "rumbo", lo que no tiene sentido para un planeta.

De todos modos, las rotaciones de Euler todavía se pueden utilizar cuando se habla de un vehículo, aunque tendrán un comportamiento extraño. Como el eje vertical es el origen de los ángulos, se denomina "inclinación" en lugar de "elevación". Como antes, al describir la actitud de un vehículo, se considera que un eje apunta hacia adelante, por lo que sólo será útil una de las posibles combinaciones de rotaciones.

La combinación depende de cómo se toman los ejes y cuál es la posición inicial del avión. Utilizando el del dibujo, y combinando rotaciones de forma que se repita un eje, sólo roll-pitch-roll permitirá controlar la longitud y la inclinación con una rotación cada una.

Las tres matrices a multiplicar son:

{\begin{aligned}R_{z}(\phi )=\mathrm {Roll} _{1}(\phi )&={\begin{bmatrix}\cos \phi &-\sin \phi &0 \\\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )=\mathrm {Pitch} (\theta )&={\begin{bmatrix}\ cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0&\cos \theta \end{bmatrix}}\\R_{z}(\psi )=\mathrm {Roll} _{2}( \psi )&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi &\cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

En esta convención, el Rollo ₁ impone el "rumbo", el Cabeceo es la "inclinación" (complementaria de la elevación) y el Rollo ₂ impone la "inclinación".

Conversión a rotaciones extrínsecas

Imagen 6: Una rotación representada por ángulos de Euler ( α , β , γ ) = (−60°, 30°, 45°), usando rotaciones intrínsecas *z-x'-z″*

Imagen 7: La misma rotación representada por (γ, β, α) = (45°, 30°, −60°), usando rotaciones extrínsecas *zxz*

Las rotaciones de Davenport suelen estudiarse como una composición de rotación intrínseca, debido a la importancia de los ejes fijados a un cuerpo en movimiento, pero se pueden convertir a una composición de rotación extrínseca, en caso de que pueda ser más intuitivo.

Cualquier rotación extrínseca equivale a una rotación intrínseca de los mismos ángulos pero con orden invertido de rotaciones elementales, y viceversa. Por ejemplo, las rotaciones intrínsecas x-y'-z” según los ángulos α , β , γ son equivalentes a las rotaciones extrínsecas zyx según los ángulos γ , β , α . Ambos están representados por una matriz.

R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )

Donde , y son las matrices de rotación elemental de los ángulos correspondientes. El producto de estas matrices, , debe multiplicarse previamente por un vector de columna . Tome nota de las ambigüedades en la definición de matrices de rotación , ya que algunas definiciones pueden utilizar vectores de fila en su lugar. $X(\alpha )$ $Y(\beta )$ $Z(\gamma )$ $R$

Relación con los movimientos físicos.

Rotaciones intrínsecas

Las rotaciones intrínsecas son rotaciones elementales que ocurren alrededor de los ejes del sistema de coordenadas giratorio XYZ , que cambia su orientación después de cada rotación elemental. El sistema XYZ gira, mientras que xyz está fijo. Comenzando con XYZ superpuesto a xyz , se puede usar una composición de tres rotaciones intrínsecas para alcanzar cualquier orientación objetivo para XYZ . Los ángulos de Euler o Tait-Bryan ( α , β , γ ) son las amplitudes de estas rotaciones elementales. Por ejemplo, la orientación objetivo se puede alcanzar de la siguiente manera:

El sistema XYZ gira α alrededor del eje Z (que coincide con el eje z ). El eje X ahora se encuentra en la línea de nodos.
El sistema XYZ gira alrededor del eje X ahora girado en β . El eje Z ahora está en su orientación final y el eje X permanece en la línea de nodos.
El sistema XYZ gira una tercera vez alrededor del nuevo eje Z por γ .

La notación mencionada anteriormente nos permite resumir esto de la siguiente manera: las tres rotaciones elementales del sistema XYZ ocurren alrededor de z , x ' y z ″. De hecho, esta secuencia a menudo se denomina z-x'-z″ . Los conjuntos de ejes de rotación asociados tanto con los ángulos propios de Euler como con los ángulos de Tait-Bryan se denominan comúnmente utilizando esta notación (ver arriba para más detalles). A veces, la misma secuencia se denomina simplemente zxz , ZXZ o 3-1-3 , pero esta notación puede ser ambigua ya que puede ser idéntica a la utilizada para las rotaciones extrínsecas. En este caso, resulta necesario especificar por separado si las rotaciones son intrínsecas o extrínsecas.

Las matrices de rotación se pueden utilizar para representar una secuencia de rotaciones intrínsecas. Por ejemplo,

R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )

representa una composición de rotaciones intrínsecas alrededor de los ejes x-y'-z″ , si se usa para multiplicar previamente los vectores de columna . Esta es una práctica estándar, pero tenga en cuenta las ambigüedades en la definición de matrices de rotación .

Rotaciones extrínsecas

Las rotaciones extrínsecas son rotaciones elementales que ocurren alrededor de los ejes del sistema de coordenadas fijo xyz . El sistema XYZ gira, mientras que xyz está fijo. Comenzando con XYZ superpuesto a xyz , se puede usar una composición de tres rotaciones extrínsecas para alcanzar cualquier orientación objetivo para XYZ . Los ángulos de Euler o Tait-Bryan ( α , β , γ ) son las amplitudes de estas rotaciones elementales. Por ejemplo, la orientación objetivo se puede alcanzar de la siguiente manera:

El sistema XYZ gira alrededor del eje z por α . El eje X ahora forma un ángulo α con respecto al eje x .
El sistema XYZ gira nuevamente alrededor del eje x por β . El eje Z ahora forma un ángulo β con respecto al eje z .
El sistema XYZ gira una tercera vez alrededor del eje z en γ .

En resumen, las tres rotaciones elementales ocurren alrededor de z , x y z . De hecho, esta secuencia a menudo se denomina zxz (o 3-1-3). Los conjuntos de ejes de rotación asociados tanto con los ángulos propios de Euler como con los ángulos de Tait-Bryan se denominan comúnmente utilizando esta notación (ver arriba para más detalles).

Las matrices de rotación se pueden utilizar para representar una secuencia de rotaciones extrínsecas. Por ejemplo,

R=Z(\gamma )Y(\beta )X(\alpha )

representa una composición de rotaciones extrínsecas sobre ejes xyz , si se usa para multiplicar previamente vectores de columna . Esta es una práctica estándar, pero tenga en cuenta las ambigüedades en la definición de matrices de rotación .

Conversión entre rotaciones intrínsecas y extrínsecas

Imagen 8: Una rotación representada por ángulos de Euler ( α , β , γ ) = (−60°, 30°, 45°), usando rotaciones intrínsecas *z-x'-z″*

Imagen 9: La misma rotación representada por (γ, β, α) = (45°, 30°, −60°), usando rotaciones extrínsecas *zxz*

R=X(\alpha )Y(\beta )Z(\gamma )

if se utiliza para premultiplicar vectores de columna . Esta es una práctica estándar, pero tenga en cuenta las ambigüedades en la definición de matrices de rotación . $R$

La prueba de la conversión en el caso previo a la multiplicación.

La matriz de rotación de la secuencia de rotación intrínseca x-y'-z″ se puede obtener mediante rotaciones secuenciales de elementos intrínsecos de derecha a izquierda:

R=Z''Y'X.

En este proceso hay tres cuadros relacionados en la secuencia de rotación intrínseca. Designemos el cuadro 0 como el cuadro inicial, el cuadro 1 después de la primera rotación alrededor del eje x , el cuadro 2 después de la segunda rotación alrededor del eje y y el cuadro 3 como la tercera rotación alrededor del eje z” .

Dado que se puede representar una matriz de rotación entre estos tres cuadros, usemos el índice del hombro izquierdo para indicar el cuadro de representación. La siguiente notación significa la matriz de rotación que transforma el cuadro a en el cuadro by que se representa en el cuadro c :

{}^{c}\!R_{a\rightarrow b}.

Una matriz de rotación de elementos intrínsecos representada en ese marco donde ocurre la rotación tiene el mismo valor que el de la matriz de rotación de elementos extrínsecos correspondiente:

{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}=X,\quad {}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}=Y,\quad {}^{2}\ !R_{3\rightarrow 2}=Z.

La matriz de rotación de elementos intrínsecos Y' y Z'' representada en el cuadro 0 se puede expresar de otras formas:

{\begin{aligned}Y'&={}^{0}\!R_{2\rightarrow 1}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^ {1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=XYX^{-1}\\[3pt]Z'' &={}^{0}\!R_{3\rightarrow 2}\\&={}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}{}^{1}\!R_{3\rightarrow 2 }{}^{0}\!R_{1\rightarrow 0}^{-1}\\&=X\left({}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}{}^{2} \!R_{3\rightarrow 2}{}^{1}\!R_{2\rightarrow 1}^{-1}\right)X^{-1}\\&=XYZY^{-1}X^ {-1}\end{alineado}}

Las dos ecuaciones anteriores se sustituyen por la primera ecuación:

{\begin{aligned}R&=Z''Y'X\\&=\left(XYZY^{-1}X^{-1}\right)\left(XYX^{-1}\right )X\\&=XYZY^{-1}\left(X^{-1}X\right)Y\left(X^{-1}X\right)\\&=XYZ\left(Y^{ -1}Y\right)\\&=XYZ\end{aligned}}

Por tanto, la matriz de rotación de una secuencia de rotación de elementos intrínseca es la misma que la de la secuencia de rotación de elementos extrínseca inversa:

R=Z''Y'X=XYZ.

Ver también

Referencias

^ PB Davenport, Rotaciones sobre ejes no ortogonales
^ ab M. Shuster y L. Markley, Generalización de los ángulos de Euler, Revista de Ciencias Astronáuticas, vol. 51, núm. 2, abril-junio de 2003, págs. 123-123
^ J. Wittenburg, L. Lilov, Descomposición de una rotación finita en tres rotaciones alrededor de ejes dados [1]