En mecánica clásica , la velocidad área (también llamada velocidad sectorial o velocidad sectorial ) es un pseudovector cuya longitud es igual a la tasa de cambio a la que una partícula barre el área a medida que se mueve a lo largo de una curva . Tiene unidades SI de metros cuadrados por segundo (m 2 /s) y dimensión de longitud cuadrada por tiempo L 2 T -1 .
En la figura adjunta, supongamos que una partícula se mueve a lo largo de la curva azul. En un determinado instante t , la partícula se sitúa en el punto B , y poco después, en el instante t + Δ t , la partícula se ha desplazado hasta el punto C. La región barrida por la partícula está sombreada en verde en la figura, delimitada por los segmentos de línea AB y AC y la curva a lo largo de la cual se mueve la partícula. La magnitud de la velocidad área (es decir, la velocidad área ) es el área de esta región dividida por el intervalo de tiempo Δ t en el límite en el que Δ t se vuelve evanescentemente pequeño. Se postula que la dirección del vector es normal al plano que contiene los vectores de posición y velocidad de la partícula, siguiendo una convención conocida como regla de la mano derecha .
La conservación de la velocidad áreal es una propiedad general del movimiento de la fuerza central , [1] y, dentro del contexto de la mecánica clásica, es equivalente a la conservación del momento angular .
La velocidad áreal está estrechamente relacionada con el momento angular . Cualquier objeto tiene un momento angular orbital alrededor de un origen, y éste resulta ser, hasta una constante escalar multiplicativa, igual a la velocidad área del objeto alrededor del mismo origen. Una propiedad crucial del momento angular es que se conserva bajo la acción de fuerzas centrales (es decir, fuerzas que actúan radialmente hacia o alejándose del origen). Históricamente, la ley de conservación del momento angular se enunciaba enteramente en términos de velocidad área.
Un caso especial de esto es la segunda ley de Kepler , que establece que la velocidad área de un planeta, tomando como origen el Sol, es constante en el tiempo. Debido a que la fuerza gravitacional que actúa sobre un planeta es aproximadamente una fuerza central (dado que la masa del planeta es pequeña en comparación con la del sol), el momento angular del planeta (y por lo tanto la velocidad área) debe permanecer (aproximadamente) constante. . Isaac Newton fue el primer científico en reconocer el significado dinámico de la segunda ley de Kepler. Con la ayuda de sus leyes del movimiento demostró en 1684 que cualquier planeta atraído por un centro fijo barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales. Por esta razón, la ley de conservación del momento angular históricamente se denominó "principio de áreas iguales". La ley de conservación del momento angular se amplió y generalizó posteriormente a situaciones más complicadas que no se pueden describir fácilmente mediante el concepto de velocidad área. Dado que la forma moderna de la ley de conservación del momento angular incluye mucho más que la segunda ley de Kepler, la designación "principio de áreas iguales" se ha abandonado en los trabajos modernos.
En la situación de la primera figura, el área barrida durante el período Δ t por la partícula es aproximadamente igual al área del triángulo ABC . A medida que Δ t se acerca a cero, esta casi igualdad se vuelve exacta como un límite .
Sea el punto D la cuarta esquina del paralelogramo ABDC que se muestra en la figura, de modo que la suma de los vectores AB y AC según la regla del paralelogramo da el vector AD . Entonces el área del triángulo ABC es la mitad del área del paralelogramo ABDC , y el área de ABDC es igual a la magnitud del producto vectorial de los vectores AB y AC . Esta área también se puede ver como un (pseudo)vector con esta magnitud y que apunta en una dirección perpendicular al paralelogramo (siguiendo la regla de la mano derecha ); este vector es el producto cruzado en sí:
Por eso
La velocidad área es este área vectorial dividida por Δ t en el límite en el que Δ t se vuelve evanescentemente pequeño:
Pero, es el vector velocidad de la partícula en movimiento, de modo que
Por otro lado, el momento angular de la partícula es
y por tanto el momento angular es igual a 2 m multiplicado por la velocidad área.
La velocidad superficial también está estrechamente relacionada con el concepto de dipolos magnéticos en la electrodinámica clásica. Cada corriente eléctrica posee una cantidad (pseudo)vectorial llamada momento dipolar magnético alrededor de un origen determinado. En el caso especial de que la corriente consista en una sola carga puntual en movimiento, el momento dipolar magnético alrededor de cualquier origen dado resulta ser, hasta un factor escalar, igual a la velocidad área de la carga alrededor del mismo origen. En el caso más general donde la corriente consiste en un número grande pero finito de cargas puntuales en movimiento, el momento dipolar magnético es la suma de los momentos dipolares de cada una de las cargas y, por tanto, es proporcional a la suma de las velocidades regionales de todos los cargos. En el límite de continuidad donde el número de cargas en la corriente se vuelve infinito, la suma se vuelve integral; es decir, el momento dipolar magnético de una corriente continua alrededor de un origen dado es, hasta un factor escalar, igual a la integral de la velocidad del área a lo largo de la trayectoria de la corriente. Si el camino de la corriente resulta ser un circuito cerrado y si la corriente es la misma en todos los puntos del circuito, esta integral resulta ser independiente del origen elegido, de modo que el momento dipolar magnético se convierte en una constante fundamental asociada con la corriente. bucle.
