La topología de un circuito electrónico es la forma que adopta la red de interconexiones de los componentes del circuito. Diferentes valores específicos o clasificaciones de los componentes se consideran la misma topología. La topología no se ocupa de la disposición física de los componentes de un circuito, ni de sus posiciones en un diagrama de circuito ; De manera similar al concepto matemático de topología , solo se preocupa por las conexiones que existen entre los componentes. Puede haber numerosos diseños físicos y diagramas de circuitos que equivalen a la misma topología.
Estrictamente hablando, reemplazar un componente por uno de un tipo completamente diferente sigue siendo la misma topología. Sin embargo, en algunos contextos, estas pueden describirse vagamente como topologías diferentes. Por ejemplo, intercambiar inductores y condensadores en un filtro de paso bajo da como resultado un filtro de paso alto . Estas podrían describirse como topologías de paso alto y paso bajo aunque la topología de la red sea idéntica. Un término más correcto para estas clases de objetos (es decir, una red donde se especifica el tipo de componente pero no el valor absoluto) es red prototipo .
La topología de redes electrónicas está relacionada con la topología matemática . En particular, para redes que contienen sólo dispositivos de dos terminales, la topología de circuitos puede verse como una aplicación de la teoría de grafos . En un análisis de red de dicho circuito desde un punto de vista topológico, los nodos de la red son los vértices de la teoría de grafos y las ramas de la red son los bordes de la teoría de grafos.
La teoría de grafos estándar se puede ampliar para abordar componentes activos y dispositivos multiterminales, como circuitos integrados . Los gráficos también se pueden utilizar en el análisis de redes infinitas.
Los diagramas de circuitos de este artículo siguen las convenciones habituales en electrónica; [1] las líneas representan conductores , los círculos pequeños rellenos representan uniones de conductores y los círculos pequeños abiertos representan terminales para la conexión con el mundo exterior. En la mayoría de los casos, las impedancias se representan mediante rectángulos. Un diagrama de circuito práctico usaría símbolos específicos para resistencias , inductores , capacitores, etc., pero la topología no tiene que ver con el tipo de componente en la red, por lo que en su lugar se ha usado el símbolo de una impedancia general.
La sección de teoría de grafos de este artículo ofrece un método alternativo para representar redes.
Muchos nombres de topología se relacionan con su apariencia cuando se dibujan esquemáticamente. La mayoría de los circuitos se pueden dibujar de diversas formas y, en consecuencia, tienen diversos nombres. Por ejemplo, los tres circuitos que se muestran en la Figura 1.1 lucen diferentes pero tienen topologías idénticas. [2]
Este ejemplo también demuestra una convención común de nombrar topologías después de una letra del alfabeto con la que tienen un parecido. Las letras del alfabeto griego también se pueden utilizar de esta manera, por ejemplo, topología Π ( pi ) y topología Δ ( delta ).
Para una red con dos ramas, sólo hay dos topologías posibles: serie y paralelo .
Incluso para estas topologías más simples, existen variaciones en la forma en que se puede presentar el circuito.
Para una red con tres ramas, existen cuatro topologías posibles.
Tenga en cuenta que la topología en serie paralela es otra representación de la topología Delta que se analiza más adelante.
Se pueden seguir construyendo topologías en serie y en paralelo con un número cada vez mayor de ramas hasta el infinito . El número de topologías únicas que se pueden obtener a partir de ramas en serie o paralelas es 1, 2, 4, 10, 24, 66, 180, 522, 1532, 4624, (secuencia A000084 en el OEIS ). [3] [4]
Y y Δ son topologías importantes en el análisis de redes lineales debido a que son las redes de tres terminales más simples posibles. Una transformada Y-Δ está disponible para circuitos lineales. Esta transformación es importante porque hay algunas redes que no se pueden analizar en términos de combinaciones en serie y paralelo. Estas redes surgen a menudo en circuitos de potencia trifásicos, ya que son las dos topologías más comunes para los devanados de transformadores o motores trifásicos.
Un ejemplo de esto es la red de la figura 1.6, que consta de una red Y conectada en paralelo con una red Δ. Digamos que se desea calcular la impedancia entre dos nodos de la red. En muchas redes esto se puede hacer mediante aplicaciones sucesivas de las reglas para combinación de impedancias en serie o en paralelo. Sin embargo, esto no es posible en este caso donde se necesita la transformada Y-Δ además de las reglas de series y paralelos. [5] La topología Y también se llama topología en estrella. Sin embargo, la topología en estrella también puede referirse al caso más general de muchas ramas conectadas al mismo nodo en lugar de solo tres. [6]
Las topologías que se muestran en la figura 1.7 se usan comúnmente para diseños de filtros y atenuadores . La sección en L tiene una topología idéntica a la topología del divisor potencial. La sección en T tiene una topología idéntica a la topología en Y. La sección Π tiene una topología idéntica a la topología Δ.
Todas estas topologías pueden verse como una breve sección de una topología en escalera . Las secciones más largas normalmente se describirían como topología en escalera. Este tipo de circuitos comúnmente se analizan y caracterizan en términos de una red de dos puertos . [7]
La topología de puente es una topología importante con muchos usos en aplicaciones lineales y no lineales, incluidos, entre muchos otros, el puente rectificador , el puente de Wheatstone y el ecualizador de fase reticular . Hay varias formas de representar la topología del puente en diagramas de circuito. La primera representación de la figura 1.8 es la representación tradicional de un circuito puente. La segunda representación muestra claramente la equivalencia entre la topología del puente y una topología derivada de combinaciones en serie y en paralelo. La tercera representación se conoce más comúnmente como topología reticular. No es tan obvio que esto sea topológicamente equivalente. Se puede ver que esto es así al visualizar el nodo superior izquierdo movido a la derecha del nodo superior derecho.
Es normal llamar topología de puente de red solo si se utiliza como una red de dos puertos con los puertos de entrada y salida , cada uno de los cuales consta de un par de nodos diagonalmente opuestos. Se puede ver que la topología de caja en la figura 1.7 es idéntica a la topología de puente, pero en el caso del filtro, los puertos de entrada y salida son cada uno un par de nodos adyacentes . A veces, el componente de carga (o indicación nula) en el puerto de salida del puente se incluirá en la topología del puente como se muestra en la figura 1.9. [8]
La topología Bridged T se deriva de la topología bridge de la manera que se explica en el artículo de la red Zobel . Hay muchas topologías derivadas que también se analizan en el mismo artículo.
También existe una topología de doble T que tiene aplicaciones prácticas donde es deseable que la entrada y la salida compartan un terminal común ( tierra ). Esto puede deberse, por ejemplo, a que las conexiones de entrada y salida se realizan con topología coaxial . No se permite conectar juntos un terminal de entrada y salida con la topología de puente normal y, por esta razón, se utiliza Twin-T donde de otro modo se usaría un puente para aplicaciones de equilibrio o medición nula. La topología también se utiliza en el oscilador Twin-T como generador de onda sinusoidal. La parte inferior de la figura 1.11 muestra la topología twin-T rediseñada para enfatizar la conexión con la topología del puente. [9]
La topología en escalera se puede ampliar sin límites y se utiliza mucho en diseños de filtros. Existen muchas variaciones en la topología de escalera, algunas de las cuales se analizan en los artículos Topología de filtro electrónico y Filtro de imagen compuesta .
La forma equilibrada de topología en escalera puede verse como la gráfica del lado de un prisma de orden arbitrario. El lado de un antiprisma forma una topología que, en este sentido, es una antiescalera. La topología anti-escalera encuentra una aplicación en circuitos multiplicadores de voltaje , en particular el generador Cockcroft-Walton . También existe una versión de onda completa del generador Cockcroft-Walton que utiliza una topología anti-escalera doble. [10]
También se pueden formar infinitas topologías conectando en cascada múltiples secciones de alguna otra topología simple, como secciones de celosía o de puente en T. Estas cadenas infinitas de secciones de red ocurren en el análisis teórico y la simulación artificial de líneas de transmisión , pero rara vez se utilizan como implementación práctica de circuito. [11]
Los circuitos que contienen componentes con tres o más terminales aumentan considerablemente el número de topologías posibles. Por el contrario, el número de circuitos diferentes representados por una topología disminuye y en muchos casos el circuito es fácilmente reconocible a partir de la topología incluso cuando no se identifican componentes específicos.
Con circuitos más complejos, la descripción puede proceder mediante la especificación de una función de transferencia entre los puertos de la red en lugar de la topología de los componentes. [12]
La teoría de grafos es la rama de las matemáticas que se ocupa de los gráficos . En el análisis de redes, los gráficos se utilizan ampliamente para representar una red que se está analizando. El gráfico de una red captura sólo ciertos aspectos de una red; aquellos aspectos relacionados con su conectividad, o lo que es lo mismo, su topología. Esta puede ser una representación y generalización útil de una red porque muchas ecuaciones de red son invariantes en redes con la misma topología. Esto incluye ecuaciones derivadas de las leyes de Kirchhoff y el teorema de Tellegen . [13]
La teoría de grafos se ha utilizado en el análisis de redes pasivas lineales casi desde el momento en que se formularon las leyes de Kirchhoff. El propio Gustav Kirchhoff , en 1847, utilizó gráficos como representación abstracta de una red en su análisis de bucles de circuitos resistivos. [14] Este enfoque se generalizó más tarde a los circuitos RLC, reemplazando resistencias con impedancias. En 1873, James Clerk Maxwell proporcionó la combinación de este análisis con el análisis de nodos. [15] [16] Maxwell también es responsable del teorema topológico de que el determinante de la matriz de admitancia de nodos es igual a la suma de todos los productos de admitancia del árbol. En 1900, Henri Poincaré introdujo la idea de representar un gráfico mediante su matriz de incidencia , [17] fundando así el campo de la topología algebraica . En 1916 Oswald Veblen aplicó la topología algebraica de Poincaré al análisis de Kirchhoff. [18] Veblen también es responsable de la introducción del árbol de expansión para ayudar a elegir un conjunto compatible de variables de red. [19]
La catalogación integral de gráficos de redes en su aplicación a circuitos eléctricos comenzó con Percy MacMahon en 1891 (con un artículo amigable para los ingenieros en The Electrician en 1892), quien limitó su estudio a combinaciones en serie y paralelo. MacMahon llamó a estos gráficos cadenas de yugo. [nota 1] Ronald M. Foster en 1932 clasificó los gráficos por su nulidad o rango y proporcionó gráficos de todos aquellos con un pequeño número de nodos. Este trabajo surgió de una encuesta anterior realizada por Foster mientras colaboraba con George Campbell en 1920 sobre repetidores telefónicos de 4 puertos y produjo 83.539 gráficos distintos. [20]
Durante mucho tiempo, la topología en la teoría de circuitos eléctricos se ocupó únicamente de las redes pasivas lineales. Los desarrollos más recientes de dispositivos y circuitos semiconductores han requerido nuevas herramientas en topología para abordarlos. Los enormes aumentos en la complejidad de los circuitos han llevado al uso de la combinatoria en la teoría de grafos para mejorar la eficiencia del cálculo por computadora. [19]
Las redes comúnmente se clasifican según el tipo de elementos eléctricos que las componen. En un diagrama de circuito, estos tipos de elementos se dibujan específicamente, cada uno con su propio símbolo único. Las redes resistivas son redes de un solo elemento, que constan únicamente de elementos R. Asimismo, las redes capacitivas o inductivas son de un solo elemento. Los circuitos RC , RL y LC son redes simples de dos elementos. El circuito RLC es la red de tres elementos más simple. La red de escalera LC comúnmente utilizada para filtros de paso bajo puede tener muchos elementos, pero es otro ejemplo de una red de dos elementos. [21]
Por el contrario, la topología se ocupa únicamente de la relación geométrica entre los elementos de una red, no del tipo de elementos en sí. El corazón de una representación topológica de una red es el gráfico de la red. Los elementos se representan como los bordes del gráfico. Un borde se dibuja como una línea que termina en puntos o pequeños círculos de los que pueden emanar otros bordes (elementos). En el análisis de circuitos, los bordes del gráfico se denominan ramas . Los puntos se denominan vértices del gráfico y representan los nodos de la red. Nodo y vértice son términos que se pueden usar indistintamente cuando se analizan gráficos de redes. La figura 2.2 muestra una representación gráfica del circuito de la figura 2.1. [22]
Los gráficos utilizados en el análisis de redes suelen ser, además, tanto gráficos dirigidos , para capturar la dirección del flujo de corriente y voltaje, como gráficos etiquetados , para capturar la unicidad de las ramas y nodos. Por ejemplo, un gráfico que consta de un cuadrado de ramas seguiría siendo el mismo gráfico topológico si se intercambiaran dos ramas, a menos que las ramas estuvieran etiquetadas de forma única. En los gráficos dirigidos, los dos nodos a los que se conecta una rama se denominan nodos de origen y de destino. Normalmente, estos estarán indicados por una flecha dibujada en la rama. [23]
La incidencia es una de las propiedades básicas de un gráfico. Una arista que está conectada a un vértice se dice que incide en ese vértice. La incidencia de un gráfico se puede capturar en formato matricial con una matriz llamada matriz de incidencia. De hecho, la matriz de incidencia es una representación matemática alternativa del gráfico que prescinde de cualquier tipo de dibujo. Las filas de la matriz corresponden a nodos y las columnas de la matriz corresponden a ramas. Los elementos de la matriz son cero, para ninguna incidencia, o uno, para incidencia entre el nodo y la rama. La dirección en gráficos dirigidos se indica mediante el signo del elemento. [19] [24]
Los gráficos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante deformación. La deformación puede incluir las operaciones de traslación , rotación y reflexión ; doblar y estirar las ramas; y cruzar o anudar las ramas. Dos gráficas que son equivalentes por deformación se dicen congruentes . [25]
En el campo de las redes eléctricas, hay dos transformadas adicionales que se considera que dan como resultado gráficos equivalentes que no producen gráficos congruentes. El primero de ellos es el intercambio de ramales conectados en serie. Este es el dual de intercambio de ramas conectadas paralelas que se puede lograr mediante deformación sin necesidad de una regla especial. El segundo se refiere a gráficos divididos en dos o más partes separadas , es decir, un gráfico con dos conjuntos de nodos que no tienen ramas incidentes en un nodo de cada conjunto. Dos de estas partes separadas se consideran un gráfico equivalente a uno en el que las partes se unen combinando un nodo de cada una en un solo nodo. Asimismo, también se considera equivalente un gráfico que se puede dividir en dos partes separadas dividiendo un nodo en dos. [26]
Un árbol es un grafo en el que todos los nodos están conectados, directa o indirectamente, por ramas, pero sin formar ningún bucle cerrado. Como no hay bucles cerrados, no hay corrientes en un árbol. En el análisis de redes nos interesan los árboles de expansión , es decir, árboles que conectan cada nodo presente en el gráfico de la red. En este artículo, árbol de expansión se refiere a un árbol no calificado a menos que se indique lo contrario. Un gráfico de red determinado puede contener varios árboles diferentes. Las ramas eliminadas de un gráfico para formar un árbol se llaman enlaces , las ramas que quedan en el árbol se llaman ramitas . Para un gráfico con n nodos, el número de ramas en cada árbol, t , debe ser;
Una relación importante para el análisis de circuitos es;
donde b es el número de ramas en el gráfico y ℓ es el número de enlaces eliminados para formar el árbol. [27]
El objetivo del análisis de circuitos es determinar todas las corrientes y voltajes derivados de la red. Estas variables de red no son todas independientes. Los voltajes de rama están relacionados con las corrientes de rama por la función de transferencia de los elementos que los componen. Por lo tanto, una solución completa de la red puede ser en términos de corrientes de derivación o únicamente en términos de tensiones de derivación. Tampoco todas las corrientes derivadas son independientes entre sí. El número mínimo de corrientes derivadas requeridas para una solución completa es l . Esto es una consecuencia del hecho de que a un árbol se le han eliminado enlaces l y no puede haber corrientes en un árbol. Dado que las ramas restantes del árbol tienen corriente cero, no pueden ser independientes de las corrientes del enlace. Las corrientes de rama elegidas como un conjunto de variables independientes deben ser un conjunto asociado con los enlaces de un árbol: no se pueden elegir arbitrariamente ninguna rama . [28]
En términos de voltajes de rama, se puede obtener una solución completa de la red con t voltajes de rama. Esto es una consecuencia del hecho de que al cortocircuitar todas las ramas de un árbol el voltaje es cero en todas partes. Por lo tanto, las tensiones del enlace no pueden ser independientes de las tensiones de las ramas del árbol. [29]
Un enfoque de análisis común es resolver las corrientes de bucle en lugar de las corrientes de rama. Las corrientes de rama se encuentran luego en términos de las corrientes de bucle. Nuevamente, el conjunto de corrientes del bucle no puede elegirse arbitrariamente. Para garantizar un conjunto de variables independientes, las corrientes del bucle deben ser las asociadas con un determinado conjunto de bucles. Este conjunto de bucles está formado por aquellos bucles formados sustituyendo un único eslabón de un árbol determinado del gráfico del circuito a analizar. Dado que reemplazar un solo eslabón en un árbol forma exactamente un bucle único, el número de corrientes de bucle así definidas es igual a l . El término bucle en este contexto no es el mismo que el significado habitual de bucle en la teoría de grafos. Al conjunto de ramas que forman un bucle determinado se le llama conjunto de amarre . [nota 2] El conjunto de ecuaciones de red se forma igualando las corrientes del bucle con la suma algebraica de las corrientes de las ramas del conjunto de unión. [30]
Es posible elegir un conjunto de corrientes de bucle independientes sin referencia a los árboles y conjuntos de vínculos. Una condición suficiente, pero no necesaria, para elegir un conjunto de bucles independientes es garantizar que cada bucle elegido incluya al menos una rama que no esté incluida previamente en los bucles ya elegidos. Una elección particularmente sencilla es la que se utiliza en el análisis de mallas , en el que todos los bucles se eligen como mallas. [nota 3] El análisis de malla solo se puede aplicar si es posible mapear el gráfico en un plano o una esfera sin que ninguna de las ramas se cruce. Este tipo de gráficas se denominan gráficas planas . La capacidad de mapear en un plano o una esfera son condiciones equivalentes. Cualquier gráfico finito mapeado en un plano se puede reducir hasta que se mapee en una pequeña región de una esfera. Por el contrario, una malla de cualquier gráfico asignado a una esfera se puede estirar hasta que el espacio interior ocupe casi toda la esfera. Entonces, todo el gráfico ocupa sólo una pequeña región de la esfera. Esto es lo mismo que el primer caso, por lo tanto, la gráfica también se asignará a un plano. [31]
Existe un método para elegir variables de red con voltajes que es análogo y dual al método de corriente de bucle. Aquí, el voltaje asociado con los pares de nodos son las variables principales y los voltajes de las ramas se encuentran en términos de ellas. También en este método, se debe elegir un árbol particular del gráfico para garantizar que todas las variables sean independientes. El dual del conjunto de corbata es el conjunto de corte . Un conjunto de vínculos se forma permitiendo que todos los enlaces del gráfico menos uno estén en circuito abierto. Un conjunto de corte se forma permitiendo que todas las ramas del árbol menos una estén en cortocircuito. El conjunto cortado consta de la rama del árbol que no fue cortocircuitada y cualquiera de los eslabones que no están cortocircuitados por las otras ramas del árbol. Un conjunto de corte de un gráfico produce dos subgrafos disjuntos , es decir, corta el gráfico en dos partes y es el conjunto mínimo de ramas necesarias para hacerlo. El conjunto de ecuaciones de red se forma equiparando los voltajes de los pares de nodos con la suma algebraica de los voltajes de las ramas cortadas. [32] El dual del caso especial del análisis de malla es el análisis nodal . [33]
La nulidad, N , de un gráfico con s partes separadas y b ramas está definida por;
La nulidad de un gráfico representa el número de grados de libertad de su conjunto de ecuaciones de red. Para un gráfico plano, la nulidad es igual al número de mallas en el gráfico. [34]
El rango R de un gráfico está definido por;
El rango juega el mismo papel en el análisis nodal que la nulidad en el análisis de malla. Es decir, proporciona el número de ecuaciones de tensión de nodo necesarias. Rango y nulidad son conceptos duales y están relacionados por; [35]
Una vez elegido un conjunto de variables geométricamente independientes, el estado de la red se expresa en términos de éstas. El resultado es un conjunto de ecuaciones lineales independientes que deben resolverse simultáneamente para encontrar los valores de las variables de la red. Este conjunto de ecuaciones se puede expresar en un formato matricial que conduce a una matriz de parámetros característicos para la red. Las matrices de parámetros toman la forma de una matriz de impedancia si las ecuaciones se han formado mediante un análisis de bucle, o como una matriz de admitancia si las ecuaciones se han formado mediante un análisis de nodos. [36]
Estas ecuaciones se pueden resolver de varias formas bien conocidas. Un método es la eliminación sistemática de variables . [37] Otro método implica el uso de determinantes . Esto se conoce como regla de Cramer y proporciona una expresión directa de la variable desconocida en términos de determinantes. Esto es útil porque proporciona una expresión compacta para la solución. Sin embargo, para cualquier cosa que no sean las redes más triviales, se requiere un mayor esfuerzo de cálculo para este método cuando se trabaja manualmente. [38]
Dos gráficos son duales cuando la relación entre ramas y pares de nodos en uno es la misma que la relación entre ramas y bucles en el otro. El dual de un gráfico se puede encontrar enteramente mediante un método gráfico . [39]
El dual de una gráfica es otra gráfica. Para un árbol dado en un gráfico, el conjunto complementario de ramas (es decir, las ramas que no están en el árbol) forman un árbol en el gráfico dual. El conjunto de ecuaciones de bucle de corriente asociadas con los conjuntos de vínculos del gráfico y árbol originales son idénticos al conjunto de ecuaciones de pares de nodos de voltaje asociados con los conjuntos de corte del gráfico dual. [40]
La siguiente tabla enumera conceptos duales en topología relacionados con la teoría de circuitos. [41]
El dual de un árbol a veces se llama laberinto [ nota 4] . Consta de espacios conectados por enlaces de la misma manera que el árbol consta de nodos conectados por ramas de árbol. [42]
No se pueden formar duales para cada gráfico. La dualidad requiere que cada conjunto de empates tenga un conjunto de corte dual en el gráfico dual. Esta condición se cumple si y sólo si el gráfico se puede asignar a una esfera sin ramas que se crucen. Para ver esto, tenga en cuenta que se requiere un conjunto de unión para "unir" un gráfico en dos porciones y su doble, el conjunto de corte, se requiere para cortar un gráfico en dos porciones. La gráfica de una red finita que no se asignará a una esfera requerirá un toroide n veces mayor . Un conjunto de empates que pasa a través de un agujero en un toroide no logrará unir la gráfica en dos partes. En consecuencia, el gráfico dual no se cortará en dos partes y no contendrá el conjunto de corte requerido. En consecuencia, sólo los gráficos planos tienen duales. [43]
Tampoco se pueden formar duales para redes que contienen inductancias mutuas ya que no existe un elemento capacitivo correspondiente. Se pueden desarrollar circuitos equivalentes que tengan duales, pero el dual no puede formarse directamente a partir de una inductancia mutua. [44]
Las operaciones en un conjunto de ecuaciones de red tienen un significado topológico que puede ayudar a visualizar lo que está sucediendo. La eliminación de la tensión de un nodo de un conjunto de ecuaciones de red corresponde topológicamente a la eliminación de ese nodo del gráfico. Para un nodo conectado a otros tres nodos, esto corresponde a la conocida transformada Y-Δ . La transformación se puede extender a un mayor número de nodos conectados y luego se conoce como transformación de malla en estrella . [45]
La inversa de esta transformada es la transformada Δ-Y que analíticamente corresponde a la eliminación de una corriente de malla y topológicamente corresponde a la eliminación de una malla. Sin embargo, la eliminación de una corriente de malla cuya malla tiene ramas en común con un número arbitrario de otras mallas no dará, en general, como resultado un gráfico realizable. Esto se debe a que el gráfico de la transformada de la estrella general es un gráfico que no se asignará a una esfera (contiene polígonos de estrellas y, por lo tanto, múltiples cruces). El dual de tal gráfico no puede existir, pero es el gráfico requerido para representar una eliminación de malla generalizada. [45]
En la representación gráfica convencional de circuitos, no existe forma de representar explícitamente acoplamientos inductivos mutuos, como ocurre en un transformador , y dichos componentes pueden dar como resultado un gráfico desconectado con más de una parte separada. Para facilitar el análisis, un gráfico con varias partes se puede combinar en un solo gráfico unificando un nodo de cada parte en un solo nodo. Esto no influye en el comportamiento teórico del circuito, por lo que el análisis realizado en él sigue siendo válido. Sin embargo, si un circuito se implementara de esta manera, habría una diferencia práctica, ya que destruiría el aislamiento entre las partes. Un ejemplo sería un transformador conectado a tierra tanto en el lado primario como en el secundario. El transformador todavía funciona como transformador con la misma relación de voltaje, pero ahora ya no se puede utilizar como transformador de aislamiento . [46]
Las técnicas más recientes de la teoría de grafos pueden abordar componentes activos, que también son problemáticos en la teoría convencional. Estas nuevas técnicas también pueden abordar los acoplamientos mutuos. [47]
Hay dos enfoques básicos disponibles para tratar con acoplamientos mutuos y componentes activos. En el primero de ellos, Samuel Jefferson Mason introdujo en 1953 los gráficos de flujo de señales . [48] Los gráficos de flujo de señales son gráficos dirigidos y ponderados. Los utilizó para analizar circuitos que contienen acoplamientos mutuos y redes activas. El peso de un borde dirigido en estos gráficos representa una ganancia, como la que posee un amplificador. En general, los gráficos de flujo de señales, a diferencia de los gráficos dirigidos habituales descritos anteriormente, no corresponden a la topología de la disposición física de los componentes. [47]
El segundo enfoque consiste en ampliar el método clásico para que incluya acoplamientos mutuos y componentes activos. Se han propuesto varios métodos para lograrlo. En uno de ellos se construyen dos gráficos, uno que representa las corrientes en el circuito y el otro que representa los voltajes. Los componentes pasivos tendrán ramas idénticas en ambos árboles, pero es posible que los componentes activos no. El método se basa en identificar árboles de expansión que sean comunes a ambos gráficos. Chen propuso un método alternativo para ampliar el enfoque clásico que requiere solo un gráfico en 1965. [nota 5] El método de Chen se basa en un árbol con raíces . [47]
Otra forma de ampliar la teoría de grafos clásica para componentes activos es mediante el uso de hipergrafos . Algunos componentes electrónicos no se representan de forma natural mediante gráficos. El transistor tiene tres puntos de conexión, pero una rama gráfica normal sólo puede conectarse a dos nodos. Los circuitos integrados modernos tienen muchas más conexiones que ésta. Este problema se puede superar utilizando hipergráficos en lugar de gráficos regulares. [49]
En una representación convencional, los componentes se representan mediante aristas, cada una de las cuales se conecta a dos nodos. En un hipergráfico, los componentes están representados por hiperbordes que pueden conectarse a un número arbitrario de nodos. Los hiperbordes tienen tentáculos que conectan el hiperborde con los nodos. La representación gráfica de un hiperborde puede ser una caja (en comparación con el borde que es una línea) y las representaciones de sus tentáculos son líneas desde la caja hasta los nodos conectados. En un hipergrafo dirigido, los tentáculos llevan etiquetas que están determinadas por la etiqueta del hiperborde. Un gráfico dirigido convencional puede considerarse como un hipergráfico con hiperbordes, cada uno de los cuales tiene dos tentáculos. Estos dos tentáculos están etiquetados como fuente y destino y generalmente se indican con una flecha. En un hipergráfico general con más tentáculos, se requerirá un etiquetado más complejo. [50]
Los hipergrafos se pueden caracterizar por sus matrices de incidencia. Un gráfico regular que contiene solo componentes de dos terminales tendrá exactamente dos entradas distintas de cero en cada fila. Cualquier matriz de incidencia con más de dos entradas distintas de cero en cualquier fila es una representación de un hipergráfico. El número de entradas consecutivas distintas de cero es el rango de la rama correspondiente, y el rango de rama más alto es el rango de la matriz de incidencia. [51]
El análisis de redes clásico desarrolla un conjunto de ecuaciones de red cuyas variables de red son homogéneas en corriente (análisis de bucle) o voltaje (análisis de nodo). El conjunto de variables de red así encontrado no es necesariamente el mínimo necesario para formar un conjunto de ecuaciones independientes. Puede haber una diferencia entre el número de variables en un análisis de bucle y un análisis de nodo. En algunos casos, el número mínimo posible puede ser menor que cualquiera de estos si se relaja el requisito de homogeneidad y se permite una combinación de variables de corriente y voltaje. Un resultado de Kishi y Katajini en 1967 [nota 6] es que el número mínimo absoluto de variables necesarias para describir el comportamiento de la red está dado por la distancia máxima [nota 7] entre dos bosques cualesquiera [nota 8] de la red. grafico. [47]
La teoría de grafos se puede aplicar a la síntesis de redes . La síntesis de red clásica realiza la red requerida en una de varias formas canónicas . Ejemplos de formas canónicas son la realización de una impedancia del punto conductor mediante la red de escalera canónica de Cauer o la forma canónica de Foster o la realización de Brune de una inmitancia de sus funciones reales positivas . Los métodos topológicos, por otra parte, no parten de una forma canónica determinada. Más bien, la forma es el resultado de la representación matemática. Algunas formas canónicas requieren inductancias mutuas para su realización. Un objetivo principal de los métodos topológicos de síntesis de redes ha sido eliminar la necesidad de estas inductancias mutuas. Un teorema que surge de la topología es que la realización de una impedancia del punto conductor sin acoplamientos mutuos es mínima si y sólo si no hay bucles totalmente inductores o totalmente condensadores. [52]
La teoría de grafos es más poderosa en la síntesis de redes cuando los elementos de la red pueden representarse mediante números reales (redes de un solo elemento, como redes resistivas) o estados binarios (como redes de conmutación). [47]
Quizás, la primera red con un gráfico infinito que se estudió fue la red en escalera utilizada para representar líneas de transmisión desarrollada, en su forma final, por Oliver Heaviside en 1881. Ciertamente, todos los primeros estudios de redes infinitas se limitaron a estructuras periódicas como escaleras o cuadrículas con los mismos elementos repetidos una y otra vez. No fue hasta finales del siglo XX que estuvieron disponibles herramientas para analizar redes infinitas con una topología arbitraria. [53]
Las redes infinitas tienen en gran medida sólo un interés teórico y son el juguete de los matemáticos. Las redes infinitas que no están limitadas por restricciones del mundo real pueden tener algunas propiedades muy poco físicas. Por ejemplo, las leyes de Kirchhoff pueden fallar en algunos casos y se pueden definir escaleras de resistencias infinitas que tienen una impedancia del punto conductor que depende de la terminación en el infinito. Otra propiedad no física de las redes infinitas teóricas es que, en general, disiparán potencia infinita a menos que se les impongan restricciones además de las leyes habituales de las redes, como las leyes de Ohm y Kirchhoff. Sin embargo, existen algunas aplicaciones del mundo real. El ejemplo de la línea de transmisión pertenece a una clase de problemas prácticos que pueden modelarse mediante elementos infinitesimales (el modelo de elementos distribuidos ). Otros ejemplos son el lanzamiento de ondas en un medio continuo, problemas de campos marginales y la medición de resistencia entre puntos de un sustrato o en un pozo. [54]
Las redes transfinitas amplían aún más la idea de redes infinitas. Un nodo en un extremo de una red infinita puede tener otra rama conectada que conduzca a otra red. Esta nueva red puede ser en sí misma infinita. Por tanto, se pueden construir topologías que tengan pares de nodos sin un camino finito entre ellos. Estas redes de redes infinitas se denominan redes transfinitas. [55]
