teorema de tellegen

El teorema de Tellegen es uno de los teoremas más poderosos de la teoría de redes . La mayoría de los teoremas de distribución de energía y los principios extremos de la teoría de redes pueden derivarse de él. Fue publicado en 1952 por Bernard Tellegen . ^[1] Fundamentalmente, el teorema de Tellegen proporciona una relación simple entre magnitudes que satisfacen las leyes de la teoría de circuitos eléctricos de Kirchhoff .

El teorema de Tellegen es aplicable a multitud de sistemas de redes. Los supuestos básicos de los sistemas son la conservación del flujo de grandes cantidades ( ley de corrientes de Kirchhoff , KCL) y la unicidad de los potenciales en los nodos de la red ( ley de tensiones de Kirchhoff , KVL). El teorema de Tellegen proporciona una herramienta útil para analizar sistemas de redes complejos, incluidos circuitos eléctricos, redes biológicas y metabólicas , redes de transporte por tuberías y redes de procesos químicos .

el teorema

Considere una red agrupada arbitraria que tiene ramas y nodos. En una red eléctrica, los ramales son componentes de dos terminales y los nodos son puntos de interconexión. Supongamos que a cada rama asignamos arbitrariamente una diferencia de potencial de rama y una corriente de rama para , y supongamos que se miden con respecto a direcciones de referencia asociadas elegidas arbitrariamente. Si las diferencias de potencial de las ramas satisfacen todas las restricciones impuestas por KVL y si las corrientes de las ramas satisfacen todas las restricciones impuestas por KCL, entonces ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle k=1,2,\dots ,b}$ ${\displaystyle W_{1},W_{2},\dots ,W_{b}}$ ${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{b}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.}$

El teorema de Tellegen es extremadamente general; es válido para cualquier red agrupada que contenga cualquier elemento, lineal o no lineal , pasivo o activo , variable o invariante en el tiempo . La generalidad se extiende cuando y son operaciones lineales sobre el conjunto de diferencias de potencial y sobre el conjunto de corrientes derivadas (respectivamente) ya que las operaciones lineales no afectan a KVL y KCL. Por ejemplo, la operación lineal puede ser la media o la transformada de Laplace . De manera más general, los operadores que preservan KVL se denominan operadores de voltaje de Kirchhoff, los operadores que preservan KCL se denominan operadores de corriente de Kirchhoff y los operadores que preservan ambos se denominan simplemente operadores de Kirchhoff. Estos operadores no necesitan ser necesariamente lineales para que se cumpla el teorema de Tellegen. ^[2] ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle F_{k}}$

El conjunto de corrientes también se puede muestrear en un momento diferente del conjunto de diferencias de potencial, ya que KVL y KCL son verdaderos en todos los instantes de tiempo. Otra extensión es cuando el conjunto de diferencias de potencial proviene de una red y el conjunto de corrientes proviene de una red completamente diferente, siempre que las dos redes tengan la misma topología (misma matriz de incidencia ), el teorema de Tellegen sigue siendo cierto. Esta extensión del teorema de Tellegen conduce a muchos teoremas relacionados con redes de dos puertos. ^[3] ${\displaystyle W_{k}}$ ${\displaystyle F_{k}}$

Definiciones

Necesitamos introducir algunas definiciones de red necesarias para proporcionar una prueba compacta.

Matriz de incidencia: La matriz se denomina matriz de incidencia de nodo a rama por los elementos de la matriz que se ${\displaystyle n\times b}$ ${\displaystyle \mathbf {A_{a}} }$ ${\displaystyle a_{ij}}$

${\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{if current in branch }}j{\text{ leaves node }}i\\-1,&{\text{if current in branch }}j{\text{ enters node }}i\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Se introduce un nodo de referencia o de referencia para representar el entorno y se conecta a todos los nodos y terminales dinámicos. La matriz , donde se elimina la fila que contiene los elementos del nodo de referencia , se llama matriz de incidencia reducida. ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle (n-1)\times b}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle a_{0j}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

Las leyes de conservación (KCL) en forma de matriz vectorial:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0} }$

La condición de unicidad para los potenciales (KVL) en forma de matriz vectorial:

${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w} }$

¿Dónde están los potenciales absolutos en los nodos al nodo de referencia ? ${\displaystyle w_{k}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

Prueba

Usando KVL:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}}$

porque por KCL. Entonces: ${\displaystyle \mathbf {AF} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0}$

Aplicaciones

Se han construido análogos de red para una amplia variedad de sistemas físicos y han demostrado ser extremadamente útiles para analizar su comportamiento dinámico. El área de aplicación clásica de la teoría de redes y del teorema de Tellegen es la teoría de circuitos eléctricos. Se utiliza principalmente para diseñar filtros en aplicaciones de procesamiento de señales.

Una aplicación más reciente del teorema de Tellegen se encuentra en el área de los procesos químicos y biológicos. Los supuestos para circuitos eléctricos (leyes de Kirchhoff) se generalizan para sistemas dinámicos que obedecen a las leyes de la termodinámica irreversible. La topología y estructura de las redes de reacción (mecanismos de reacción, redes metabólicas) se pueden analizar utilizando el teorema de Tellegen.

Otra aplicación del teorema de Tellegen es determinar la estabilidad y la optimización de sistemas de procesos complejos, como plantas químicas o sistemas de producción de petróleo. El teorema de Tellegen se puede formular para sistemas de proceso que utilizan nodos de proceso, terminales, conexiones de flujo y permiten sumideros y fuentes para la producción o destrucción de grandes cantidades.

Una formulación para el teorema de los sistemas de procesos de Tellegen:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{b}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}}$

donde están los términos de producción, son las conexiones terminales y son los términos de almacenamiento dinámico para las variables extensivas. ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle t_{j}}$ ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}}$

Referencias

Referencias en línea

1. Tellegen, BDH (1952). "Un teorema general de redes con aplicaciones". Informes de investigación de Philips . 7 : 259–269.
2. Penfield, P. (1970). "Una forma generalizada del teorema de Tellegen" (PDF) . Transacciones IEEE sobre teoría de circuitos . CT-17: 302–305 . Consultado el 8 de noviembre de 2016 .
3. Teorema de Tellegen y redes eléctricas por Paul Penfield, Jr., Robert Spence y Simon Duinker, The MIT Press, Cambridge, MA, 1970

Referencias generales

• Teoría básica de circuitos por CA Desoer y ES Kuh, McGraw-Hill, Nueva York, 1969
• "Teorema de Tellegen y desigualdades termodinámicas", GF Oster y CA Desoer, J. Theor. Biol 32 (1971), 219–241
• "Métodos de red en modelos de producción", Donald Watson, Networks , 10 (1980), 1-15

enlaces externos

• Ejemplo de circuito para el teorema de Tellegen
• GF Oster y CA Desoer, el teorema de Tellegen y las desigualdades termodinámicas
• Termodinámica de redes