Análisis de circuitos simbólicos

El análisis simbólico de circuitos es una técnica formal de análisis de circuitos para calcular el comportamiento o la característica de un circuito eléctrico/electrónico con las variables independientes (tiempo o frecuencia), las variables dependientes (voltajes y corrientes) y (algunos o todos) los elementos del circuito representados por símbolos. ^{[1] [2]}

Al analizar circuitos eléctricos/electrónicos, podemos hacernos dos tipos de preguntas: ¿Cuál es el valor de cierta variable del circuito ( voltaje , corriente , resistencia , ganancia , etc.) o cuál es la relación entre algunas variables del circuito o entre una variable del circuito y los componentes del circuito y la frecuencia (o tiempo)? Dicha relación puede tomar la forma de un gráfico, donde los valores numéricos de una variable del circuito se representan en función de la frecuencia o el valor del componente (el ejemplo más común sería un gráfico de la magnitud de una función de transferencia en función de la frecuencia).

El análisis de circuitos simbólicos se ocupa de obtener esas relaciones en forma simbólica, es decir, en forma de expresión analítica , donde la frecuencia compleja (o tiempo) y algunos o todos los componentes del circuito están representados por símbolos.

Expresiones en el dominio de la frecuencia

En el dominio de la frecuencia, la tarea más común del análisis de circuitos simbólicos es obtener la relación entre las variables de entrada y salida en forma de una función racional en las variables simbólicas y de frecuencia complejas : ${\displaystyle {\mathit {s}}\,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle T(s,\mathbf {x} )={\frac {N(s,\mathbf {x} )}{D(s,\mathbf {x} )}}}$

La relación anterior se suele denominar función de red. Para sistemas físicos, y son polinomios con coeficientes reales: ${\displaystyle N(s,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle D(s,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\mathit {s}}\,}$

${\displaystyle T(s,\mathbf {x} )={\frac {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}(\mathbf {x} )s^{i}}{\displaystyle \sum _{i=0}^{m}b_{i}(\mathbf {x} )s^{i}}}=K{\frac {\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(s-z_{i}(\mathbf {x} ))}{\displaystyle \prod _{i=1}^{m}(s-p_{i}(\mathbf {x} ))}}}$

donde son los ceros y son los polos de la función de red; . ${\displaystyle z_{i}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle p_{i}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle m\geqslant n}$

Si bien existen varios métodos para generar coeficientes y , no existe ninguna técnica para obtener expresiones simbólicas exactas para polos y ceros para polinomios de orden superior a 5. ${\displaystyle a_{i}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle b_{i}(\mathbf {x} )}$

Tipos de funciones de red simbólica

Dependiendo de qué parámetros se mantengan como símbolos, podemos tener varios tipos diferentes de funciones de red simbólicas. Esto se ilustra mejor con un ejemplo. Considere, por ejemplo, el circuito de filtro biquad con amplificadores operacionales ideales , que se muestra a continuación. Queremos obtener una fórmula para su transmitancia de voltaje (también llamada ganancia de voltaje ) en el dominio de frecuencia, . ${\displaystyle {T_{v}(s)=V_{out}(s)/V_{in}(s)}\,}$

Figura 1: Circuito biquad con amplificadores operacionales ideales. (Este diagrama se creó utilizando la función de captura esquemática de SapWin ).

Función de red conscomo única variable

Si la frecuencia compleja es la única variable, la fórmula se verá así (para simplificar usamos los valores numéricos: ): ${\displaystyle {\mathit {s}}\,}$ ${\displaystyle R_{i}=i,C_{i}=0.01i\,}$

${\displaystyle T(s)={\frac {3.48s}{13.2s^{2}+1.32s+0.33}}}$

Función de red semi-simbólica

Si la frecuencia compleja y algunas variables del circuito se mantienen como símbolos (análisis semisimbólico), la fórmula puede tomar la forma: ${\displaystyle {\mathit {s}}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T(s,\mathbf {x} )&={\frac {1.74C_{2}s}{6.6C_{1}C_{2}s^{2}+0.66C_{2}s+0.33}}\\\mathbf {x} &=[C_{1}~C_{2}]\end{aligned}}}$

Función de red completamente simbólica

Si la frecuencia compleja y todas las variables del circuito son simbólicas (análisis totalmente simbólico), la transmitancia de voltaje viene dada por (aquí ): ${\displaystyle {\mathit {s}}\,}$ ${\displaystyle G_{i}=1/R_{i}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T(s,\mathbf {x} )&={\frac {G_{4}G_{6}G_{8}C_{2}s}{G_{6}G_{11}C_{1}C_{2}s^{2}+G_{1}G_{6}G_{11}C_{2}s+G_{2}G_{3}G_{5}G_{11}}}\\\mathbf {x} &=[C_{1}~C_{2}~G_{1}~G_{2}~G_{3}~G_{4}~G_{5}~G_{6}~G_{8}~G_{11}]\end{aligned}}}$

Todas las expresiones anteriores son extremadamente útiles para obtener información sobre el funcionamiento del circuito y comprender cómo cada componente contribuye al rendimiento general del circuito. Sin embargo, a medida que aumenta el tamaño del circuito, la cantidad de términos en dichas expresiones crece exponencialmente. Por lo tanto, incluso para circuitos relativamente simples, las fórmulas se vuelven demasiado largas para tener algún valor práctico. Una forma de abordar este problema es omitir los términos numéricamente insignificantes de la expresión simbólica, manteniendo el error inevitable por debajo del límite predeterminado. ^[3]

Formulario de secuencia de expresiones

Otra posibilidad para acortar la expresión simbólica a una longitud manejable es representar la función de red mediante una secuencia de expresiones (SoE). ^[4] Por supuesto, se pierde la interpretabilidad de la fórmula, pero este enfoque es muy útil para cálculos numéricos repetitivos. Se ha desarrollado un paquete de software STAINS (Análisis simbólico de dos puertos mediante supresión de nodos internos) para generar dichas secuencias. ^[5] Hay varios tipos de SoE que se pueden obtener a partir de STAINS. Por ejemplo, el SoE compacto para nuestro biquad es ${\displaystyle T_{v}(s)\,}$

x1 = G5*G3/G6x2 = -G1-s*C1-G2*x1/(s*C2)x3 = -G4*G8/x2Ts = x3/G11

La secuencia anterior contiene fracciones. Si esto no es deseable (cuando aparecen divisiones por cero, por ejemplo), podemos generar una ecuación de estado sin fracciones:

x1 = -G2*G5x2 = G6*s*C2x3 = -G4*x2x4 = x1*G3-(G1+s*C1)*x2x5 = x3*G8x6 = -G11*x4Ts = -x5/x6

Otra forma de abreviar la expresión es factorizar polinomios y . En nuestro ejemplo, esto es muy sencillo y da como resultado: ${\displaystyle N(s,\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle D(s,\mathbf {x} )}$

Número = G4*G6*G8*s*C2Guarida = G11*((G1+s*C1)*G6*s*C2+G2*G3*G5)Ts = Número/Den

Sin embargo, para circuitos más grandes, la factorización se convierte en un problema combinatorio difícil y el resultado final puede ser poco práctico tanto para la interpretación como para los cálculos numéricos.

Véase también

• Gráfico de flujo de señales
• Topología (circuitos eléctricos)

Enlaces externos

• SCAM - Script de MATLAB para calcular funciones de transferencia de circuitos simbólicos.
• Cómo utilizar Wolfram System Modeller para realizar análisis de circuitos simbólicos.

Referencias

1. G. Gielen y W. Sansen, Análisis simbólico para el diseño automatizado de circuitos integrados analógicos. Boston: Kluwer Academic Publishers, 1991.
2. Labrèche P., presentación: Circuitos eléctricos lineales: análisis simbólico de redes, 1977
3. B. Rodanski, M. Hassoun, "Análisis simbólico", en The Circuits and Filters Handbook: Fundamentals of Circuits and Filters, 3.ª ed., Wai-Kai Chen, editor. CRC Press, 2009, págs. 25-1 - 25-29.
4. M. Pierzchala, B. Rodanski, "Generación de funciones de red simbólicas secuenciales para redes de gran escala mediante reducción de circuito a dos puertos", IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications , vol. 48, núm. 7, julio de 2001, págs. 906-909.
5. LP Huelsman, "STAINS - Análisis simbólico de dos puertos mediante supresión de nodo interno", IEEE Circuits & Devices Magazine, marzo de 2002, págs. 3-6.