Gravedad masiva

Teoría de la gravedad en la que el gravitón tiene masa distinta de cero

En física teórica , la gravedad masiva es una teoría de la gravedad que modifica la relatividad general al otorgarle al gravitón una masa distinta de cero . En la teoría clásica, esto significa que las ondas gravitacionales obedecen a una ecuación de onda masiva y, por lo tanto, viajan a velocidades inferiores a la de la luz .

Fondo

La gravedad masiva tiene una larga y tortuosa historia, que se remonta a la década de 1930, cuando Wolfgang Pauli y Markus Fierz desarrollaron por primera vez una teoría de un campo masivo de espín 2 que se propagaba sobre un fondo espaciotemporal plano . Más tarde, en la década de 1970, se comprendió que las teorías de un gravitón masivo adolecían de patologías peligrosas, incluido un modo fantasma y una discontinuidad con la relatividad general en el límite donde la masa del gravitón tiende a cero. Si bien las soluciones a estos problemas habían existido durante algún tiempo en tres dimensiones del espacio-tiempo, ^{[1] [2]} no se resolvieron en cuatro dimensiones y superiores hasta el trabajo de Claudia de Rham , Gregory Gabadadze y Andrew Tolley (modelo dRGT) en 2010.

Una de las primeras teorías de gravedad masiva fue construida en 1965 por Ogievetsky y Polubarinov (OP). ^[3] A pesar del hecho de que el modelo OP coincide con los modelos de gravedad masiva sin fantasmas redescubiertos en dRGT, el modelo OP ha sido casi desconocido entre los físicos contemporáneos que trabajan en gravedad masiva, tal vez porque la estrategia seguida en ese modelo era bastante diferente de lo que generalmente se adopta en la actualidad. ^[4] La gravedad dual masiva al modelo OP ^[5] se puede obtener acoplando el campo de gravitones dual al rizo de su propio tensor de energía-momento. ^{[6] [7]} Dado que la intensidad del campo simétrico mixto de la gravedad dual es comparable al tensor de curvatura extrínseca totalmente simétrica de la teoría de Galileo, el lagrangiano efectivo del modelo dual en 4-D se puede obtener a partir de la recursión de Faddeev-LeVerrier , que es similar a la de la teoría de Galileo hasta los términos que contienen polinomios de la traza de la intensidad del campo. ^{[8] [9]} Esto también se manifiesta en la formulación dual de la teoría de Galileo. ^{[10] [11]}

El hecho de que la relatividad general se modifique a grandes distancias en la gravedad masiva proporciona una posible explicación de la expansión acelerada del Universo que no requiere ninguna energía oscura . La gravedad masiva y sus extensiones, como la gravedad bimétrica , ^[12] pueden producir soluciones cosmológicas que de hecho muestran una aceleración en tiempos tardíos de acuerdo con las observaciones. ^{[13] [14] [15]}

Las observaciones de ondas gravitacionales han limitado la longitud de onda Compton del gravitón a λ _g >1,6 × 10 ¹⁶  m , lo que puede interpretarse como un límite en la masa del gravitón m _g <7,7 × 10 ⁻²³  eV / c ² . ^[16] También se han obtenido límites competitivos sobre la masa del gravitón a partir de mediciones del sistema solar realizadas por misiones espaciales como Cassini y MESSENGER , que en cambio dan la restricción λ _g >1,83 × 10 ¹⁶  m o m _g <6,76 × 10 ⁻²³  eV /c ² . ^[17]

Gravedad masiva linealizada

En el nivel lineal, se puede construir una teoría de un campo masivo de espín -2 que se propaga en el espacio de Minkowski . Esto puede verse como una extensión de la gravedad linealizada de la siguiente manera. La gravedad linealizada se obtiene linealizando la relatividad general alrededor del espacio plano, , donde es la masa de Planck con la constante gravitacional . Esto conduce a un término cinético en el lagrangiano para el cual es consistente con la invariancia del difeomorfismo , así como un acoplamiento a la materia de la forma ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+M_{\mathrm {Pl} }^{-1}h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle M_{\mathrm {Pl} }=(8\pi G)^{-1/2}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu },}$

donde es el tensor de tensión-energía . Este término cinético y el acoplamiento de materia combinados no son otra cosa que la acción de Einstein-Hilbert linealizada sobre el espacio plano. ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$

La gravedad masiva se obtiene sumando términos de interacción no derivados para . En el nivel lineal (es decir, de segundo orden en ), solo hay dos términos de masa posibles: ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }=ah^{\mu \nu }h_{\mu \nu }+b\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}.}$

Fierz y Pauli ^[18] demostraron en 1939 que esto solo propaga las cinco polarizaciones esperadas de un gravitón masivo (en comparación con dos para el caso sin masa) si los coeficientes se eligen de modo que . Cualquier otra elección desbloqueará un sexto grado de libertad fantasmal. Un fantasma es un modo con una energía cinética negativa. Su hamiltoniano no está acotado desde abajo y, por lo tanto, es inestable para desintegrarse en partículas de energías positivas y negativas arbitrariamente grandes. El término de masa de Fierz-Pauli , ${\displaystyle a=-b}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {FP} }=m^{2}\left(h^{\mu \nu }h_{\mu \nu }-\left(\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }\right)^{2}\right)}$

es por lo tanto la única teoría lineal consistente de un campo masivo de espín 2.

La discontinuidad vDVZ

En la década de 1970, Hendrik van Dam y Martinus JG Veltman ^[19] e, independientemente, Valentin I. Zakharov ^[20] descubrieron una propiedad peculiar de la gravedad masiva de Fierz-Pauli: sus predicciones no se reducen uniformemente a las de la relatividad general en el límite . En particular, mientras que a escalas pequeñas (más cortas que la longitud de onda Compton de la masa del gravitón), se recupera la ley gravitacional de Newton , la curvatura de la luz es solo tres cuartas partes del resultado que Albert Einstein obtuvo en la relatividad general. Esto se conoce como la discontinuidad vDVZ . ${\displaystyle m\to 0}$

Podemos entender la curvatura más pequeña de la luz de la siguiente manera. El gravitón masivo de Fierz-Pauli, debido a la invariancia del difeomorfismo rota , propaga tres grados de libertad adicionales en comparación con el gravitón sin masa de la relatividad general linealizada. Estos tres grados de libertad se empaquetan en un campo vectorial, que es irrelevante para nuestros propósitos, y un campo escalar. Este modo escalar ejerce una atracción adicional en el caso masivo en comparación con el caso sin masa. Por lo tanto, si uno quiere que las mediciones de la fuerza ejercida entre masas no relativistas concuerden, la constante de acoplamiento de la teoría masiva debería ser menor que la de la teoría sin masa. Pero la curvatura de la luz es ciega al sector escalar, porque el tensor de tensión-energía de la luz no tiene trazas. Por lo tanto, siempre que las dos teorías concuerden en la fuerza entre sondas no relativistas, la teoría masiva predeciría una curvatura más pequeña de la luz que la sin masa.

Proyección de Vainshtein

^{Dos años después, Vainshtein [21]} argumentó que la discontinuidad vDVZ es un artefacto de la teoría lineal y que las predicciones de la relatividad general se recuperan de hecho a escalas pequeñas cuando se tienen en cuenta los efectos no lineales, es decir, términos superiores a los cuadráticos en . Heurísticamente hablando, dentro de una región conocida como el radio de Vainshtein , las fluctuaciones del modo escalar se vuelven no lineales y sus términos derivados de orden superior se vuelven más grandes que el término cinético canónico. Por lo tanto, la normalización canónica del escalar alrededor de este fondo conduce a un término cinético muy suprimido, que amortigua las fluctuaciones del escalar dentro del radio de Vainshtein. Debido a que la fuerza adicional mediada por el escalar es proporcional a (menos) su gradiente, esto conduce a una fuerza adicional mucho menor de la que habríamos calculado utilizando solo la teoría lineal de Fierz-Pauli. ${\displaystyle h_{\mu \nu }}$

Este fenómeno, conocido como cribado de Vainshtein , no sólo se da en la gravedad masiva, sino también en teorías relacionadas con la gravedad modificada, como la teoría de la gravedad modificada por gravedad y ciertas teorías escalar-tensoriales , donde es crucial para ocultar los efectos de la gravedad modificada en el sistema solar. Esto permite que estas teorías coincidan con las pruebas de gravedad terrestres y del sistema solar , así como lo hace la relatividad general, al tiempo que mantienen grandes desviaciones a distancias mayores. De esta manera, estas teorías pueden conducir a la aceleración cósmica y tener huellas observables en la estructura a gran escala del Universo sin entrar en conflicto con otras restricciones mucho más estrictas de las observaciones más cercanas.

El fantasma de Boulware-Deser

Como respuesta al modelo de gravedad de rango finito de Freund -Maheshwari-Schonberg ^[22], y aproximadamente al mismo tiempo que se descubrieron la discontinuidad vDVZ y el mecanismo de Vainshtein, David Boulware y Stanley Deser descubrieron en 1972 que las extensiones no lineales genéricas de la teoría de Fierz-Pauli reintroducían el peligroso modo fantasma; ^[23] descubrieron que el ajuste que aseguraba la ausencia de este modo en el orden cuadrático generalmente se interrumpía en órdenes cúbicos y superiores, reintroduciendo el fantasma en esos órdenes. Como resultado, este fantasma de Boulware-Deser estaría presente, por ejemplo, alrededor de fondos altamente no homogéneos. ${\displaystyle a=-b}$

Esto es problemático porque una teoría linealizada de la gravedad, como la de Fierz-Pauli, está bien definida por sí misma pero no puede interactuar con la materia, ya que el acoplamiento rompe la invariancia del difeomorfismo. Esto debe remediarse añadiendo nuevos términos en órdenes cada vez más altos, ad infinitum . Para un gravitón sin masa, este proceso converge y el resultado es bien conocido: uno simplemente llega a la relatividad general. Este es el significado de la afirmación de que la relatividad general es la única teoría (hasta las condiciones de dimensionalidad, localidad, etc.) de un campo de espín 2 sin masa. ${\displaystyle h^{\mu \nu }T_{\mu \nu }}$

Para que la gravedad masiva describa realmente la gravedad, es decir, un campo masivo de espín 2 acoplado a la materia y por lo tanto mediando la fuerza gravitacional, se debe obtener de manera similar una completitud no lineal. El fantasma de Boulware-Deser presenta un serio obstáculo para tal esfuerzo. La gran mayoría de las teorías de campos de espín 2 masivos e interactuantes sufrirán de este fantasma y, por lo tanto, no serán viables. De hecho, hasta 2010 se creía ampliamente que todas las teorías de gravedad masiva invariantes de Lorentz poseían el fantasma de Boulware-Deser ^[24] a pesar de los esfuerzos por demostrar que tal creencia es inválida. ^[25] Vale la pena señalar que el modelo dRGT es la mejor manera de identificar y "reventar" el fantasma BD ya que ambos se desarrollan utilizando tratamientos hamiltonianos y variables ADM . Pero para el modelo de gravedad de rango finito y el modelo de Ogievetsky y Polubarinov, resulta que necesitan el principio variacional de Noether junto con la redefinición y la mejora conforme del tensor de momento de energía como campo fuente . ^[26]

Gravedad masiva sin fantasmas

En 2010 se logró un gran avance cuando de Rham , Gabadadze y Tolley construyeron, orden por orden, una teoría de la gravedad masiva con coeficientes ajustados para evitar el fantasma de Boulware-Deser al empaquetar todos los operadores fantasmales (es decir, de derivadas superiores) en derivadas totales que no contribuyen a las ecuaciones de movimiento. ^{[27] [28]} La ausencia completa del fantasma de Boulware-Deser, en todos los órdenes y más allá del límite de desacoplamiento, fue posteriormente demostrada por Fawad Hassan y Rachel Rosen . ^{[29] [30]}

La acción para la gravedad masiva libre de fantasmas de De Rham–Gabadadze–Tolley (dRGT) está dada por ^[31]

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g\;~}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\alpha _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {K} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)\ ,}$

o, equivalentemente,

${\displaystyle S=\int d^{4}x\ {\sqrt {-g\;}}\ \left(-{\frac {\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}}{2}}\ R+m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}^{2}\ \sum _{n=0}^{4}\beta _{n}\ e_{n}\!\left(\mathbb {X} \right)+{\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\!\left(g,\Phi _{i}\right)\right)~.}$

Los ingredientes requieren una explicación. Como en la relatividad general estándar, hay un término cinético de Einstein-Hilbert proporcional al escalar de Ricci y un acoplamiento mínimo al lagrangiano de la materia con que representa todos los campos de materia, como los del Modelo Estándar . La nueva pieza es un término de masa, o potencial de interacción, construido cuidadosamente para evitar el fantasma de Boulware-Deser, con una fuerza de interacción que está (si los valores distintos de cero son ) estrechamente relacionada con la masa del gravitón. ${\displaystyle \ R\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathsf {m}}\ ,}$ ${\displaystyle \ \Phi _{i}\ }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \ \beta _{i}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {O}}(1)\ }$

El principio de invariancia de calibre hace que las expresiones sean redundantes en cualquier teoría de campos que cuente con su(s) calibre(s) correspondiente(s). Por ejemplo, en la acción masiva de Proca de espín 1 , la parte masiva en el lagrangiano rompe la invariancia de calibre. Sin embargo, la invariancia se restaura introduciendo las transformaciones: Lo mismo se puede hacer para la gravedad masiva siguiendo la teoría de campo efectiva de Arkani-Hamed, Georgi y Schwartz para la gravedad masiva. ^[32] La ausencia de discontinuidad vDVZ en este enfoque motivó el desarrollo de la resumación dRGT de la teoría de la gravedad masiva de la siguiente manera. ^[28] ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\ m\ A_{\mu }\ A^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \mathrm {U} (1)\ }$ ${\displaystyle A_{\mu }\to A_{\mu }+\partial _{\mu }\pi ~.}$

El potencial de interacción se construye a partir de los polinomios simétricos elementales de los valores propios de las matrices o parametrizados por constantes de acoplamiento adimensionales o respectivamente. Aquí está la raíz cuadrada de la matriz de la matriz . Escrito en notación de índice, se define por la relación Hemos introducido una métrica de referencia para construir el término de interacción. Hay una razón simple para esto: es imposible construir un término de interacción no trivial (es decir, no derivado) a partir de solo. Las únicas posibilidades son y ambas conducen a un término de constante cosmológica en lugar de una interacción auténtica . Físicamente, corresponde a la métrica de fondo alrededor de la cual las fluctuaciones toman la forma de Fierz-Pauli. Esto significa que, por ejemplo, completar de forma no lineal la teoría de Fierz-Pauli alrededor del espacio de Minkowski dada anteriormente conducirá a una gravedad masiva dRGT con aunque la prueba de ausencia del fantasma de Boulware-Deser es válida para . ^[33] ${\displaystyle \ e_{n}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {K} =\mathbb {I} -{\sqrt {g^{-1}f\;~}}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} ={\sqrt {g^{-1}f\;~}}\ ,}$ ${\displaystyle \ \alpha _{i}\ }$ ${\displaystyle \beta _{i},}$ ${\displaystyle \ {\sqrt {g^{-1}f\;~}}\ }$ ${\displaystyle g^{-1}f}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$ ${\displaystyle \ X^{\mu }{}_{\alpha }\ X^{\alpha }{}_{\nu }=g^{\mu \alpha }\ f_{\nu \alpha }~.}$ ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \ g_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ g^{\mu \alpha }g_{\alpha \nu }=\delta _{\nu }^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \det g\ ,}$ ${\displaystyle \ f_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\ ,}$ ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$

La métrica de referencia se transforma como un tensor métrico bajo difeomorfismo

${\displaystyle f_{\mu \nu }\to f'_{\mu \nu }\!\left(\ X(x)\ \right)\equiv f_{\alpha \beta }\ \partial _{\mu }X^{\alpha }\ \partial _{\nu }X^{\beta }~.}$

Por lo tanto, y términos similares con potencias superiores, se transforma como un escalar bajo el mismo difeomorfismo. Para un cambio en las coordenadas , desarrollamos con tal que la métrica perturbada se convierte en: ${\displaystyle \ \left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]=X^{\mu }{}_{\alpha }\ X^{\alpha }{}_{\mu }=g^{\mu \alpha }\ f_{\mu \alpha }\ ,}$ ${\displaystyle x_{\mu }\to x_{\mu }+\xi _{\mu }}$ ${\displaystyle \ X^{\mu }=x^{\mu }-\phi ^{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ f_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }\ }$

${\displaystyle h_{\mu \nu }\to h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }\phi _{\nu }+\partial _{\nu }\phi _{\mu }-\partial _{\mu }\phi ^{\alpha }\ \partial _{\nu }\phi _{\alpha }\ ,}$

mientras que el vector de tipo potencial se transforma según el truco de Stueckelberg de tal manera que el campo de Stueckelberg se define como ^[34] A partir del difeomorfismo, se puede definir otra matriz de Stueckelberg donde y tienen los mismos valores propios. ^[35] Ahora, se consideran las siguientes simetrías: ${\displaystyle \ \phi _{\mu }\to \phi _{\mu }+\xi _{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \phi ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\left(A_{\nu }-\partial _{\nu }\pi \right)~.}$ ${\displaystyle \ \mathbb {Y} _{~b}^{a}\equiv f_{bc}g^{\mu \nu }\partial _{\mu }X^{a}\partial _{\nu }X^{c}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbb {Y} _{~b}^{a}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} _{~b}^{a}\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta h_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ {\mathcal {L}}_{\xi }\ h_{\mu \nu }\\\delta A_{\mu }&=\partial _{\mu }\pi -m\ \xi _{\mu }+{\frac {2}{\ M_{\mathsf {Pl}}\ }}\ \xi ^{\alpha }\partial _{\alpha }A_{\mu }\\\delta \pi &=-m\ \pi \end{aligned}}}$

de modo que la métrica perturbada transformada se convierte en:

${\displaystyle h'_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }+\partial _{\mu }A_{\nu }+\partial _{\nu }A_{\mu }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }A_{\alpha }-\partial _{\mu }A^{\alpha }\ \partial _{\nu }\partial _{\alpha }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }A^{\alpha }-2\ \partial _{\mu }\partial _{\nu }\pi -\partial _{\mu }\partial _{\alpha }\pi \ \partial _{\nu }\partial ^{\alpha }\ \pi ~.}$

La forma covariante de estas transformaciones se obtiene de la siguiente manera. Si el modo de helicidad-0 (o espín-0) es un indicador puro de modos Goldstone no físicos, con ^[36] la matriz es una función tensorial del tensor de covariantización ${\displaystyle \ \pi \ }$ ${\displaystyle \ \Pi _{\mu \nu }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\pi \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$

${\displaystyle H_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\Pi _{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\Pi _{\mu \alpha }\Pi _{\beta \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }-\eta _{ab}\nabla _{\mu }\phi ^{a}\nabla _{\nu }\phi ^{b}}$

de la perturbación métrica tal que el tensor es Stueckelbergizado por el campo ^[37] El modo de helicidad-0 se transforma bajo transformaciones galileanas, de ahí el nombre "Galileones". ^[38] La matriz es una función tensorial del tensor de covariantización de la perturbación métrica con componentes dados por: ${\displaystyle \ h_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ H_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ \phi ^{a}=A^{a}-\eta ^{a\mu }\nabla _{\mu }\pi ~.}$ ${\displaystyle \ \pi \to \pi +c+v_{\mu }\ x^{\mu }\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$ ${\displaystyle \ H_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }-f'_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ h_{\mu \nu }\ }$

${\displaystyle \mathbb {X} _{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+2\ {\mathcal {K}}_{\mu \nu }-\eta ^{\alpha \beta }\ {\mathcal {K}}_{\mu \alpha }{\mathcal {K}}_{\beta \nu }\ ,}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-\left({\sqrt {\mathbb {X} \;~}}\right)_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }-{\sqrt {\ \eta _{\mu \nu }-H_{\mu \nu }\;~}}}$

es la curvatura extrínseca. ^[39]

Curiosamente, el tensor de covariantización fue introducido originalmente por Maheshwari en un artículo de autoría individual, secuela del modelo de gravitación de rango finito de helicidad-Freund–Maheshwari–Schonberg. ^[26] En el trabajo de Maheshwari, la perturbación métrica obedece a la condición de Hilbert-Lorentz bajo la variación ${\displaystyle (2\oplus 0)}$ ${\displaystyle \ m^{2}\left(\partial _{\nu }h_{\mu \nu }+q\ \partial _{\mu }h\right)=0\ }$

${\displaystyle \delta ^{*}h_{\mu \nu }=\delta h_{\mu \nu }+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }+p\ \eta _{\mu \nu }\ h+\delta h_{\mu \nu }^{\mathsf {spin}}}$

que se introduce en la gravedad masiva de Ogievetsky-Polubarinov, donde y se deben determinar. ^[40] Es fácil notar la similitud entre el tensor en dRGT y el tensor en el trabajo de Maheshwari una vez que se elige. También el modelo de Ogievetsky-Polubarinov exige lo que significa que en 4D, la variación es conforme. ${\displaystyle \ p\ }$ ${\displaystyle \ q\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$ ${\displaystyle \ h_{(p)}^{\mu \nu }=(\eta ^{\mu \nu }-n\ \psi ^{\mu \nu })^{\tfrac {1}{n}}\ }$ ${\displaystyle \ n=2\ }$ ${\displaystyle \ n=-{\frac {\ 1\ }{p}}\ ,}$ ${\displaystyle \ p=-{\frac {\ 1\ }{n}}=-{\frac {\ 1\ }{2}}\ ,}$ ${\displaystyle \ \delta h_{\mu \nu }\ }$

Los campos masivos dRGT se dividen en dos grados de libertad de helicidad-2, dos de helicidad-1 y uno de helicidad-0 , al igual que los de la teoría masiva de Fierz-Pauli. Sin embargo, la covariantización, junto con el límite de desacoplamiento , garantizan que las simetrías de esta teoría masiva se reduzcan a la simetría de la relatividad general linealizada más la de la teoría masiva, mientras que el escalar se desacopla. Si se elige que no tenga divergencia, es decir, el límite de desacoplamiento de dRGT da la gravedad linealizada conocida. ^[41] Para ver cómo sucede eso, expanda los términos que contienen en la acción en potencias de donde se expresa en términos de campos como cómo se expresa en términos de Los campos se reemplazan por: ${\displaystyle \ h_{\mu \nu }\ ,}$ ${\displaystyle \ A_{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \pi \ }$ ${\displaystyle \ U(1)\ }$ ${\displaystyle \ v_{\mu }\ }$ ${\displaystyle \ \Box \ \pi =0\ ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \ H_{\mu \nu }\ ,}$ ${\displaystyle H_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ \phi ^{a}\ }$ ${\displaystyle \ h'_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ A^{\mu }~.}$ ${\displaystyle \ h_{\mu \nu },A_{\mu },\pi \ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {h}}_{\mu \nu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ h_{\mu \nu }\\{\tilde {A}}_{\mu }&=M_{\mathsf {Pl}}\ m\ A_{\mu }\\{\tilde {\pi }}&=M_{\mathsf {Pl}}\ m^{2}\ \pi \\{\hat {h}}_{\mu \nu }&={\tilde {h}}_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }{\tilde {\pi }}\end{aligned}}}$

Entonces se deduce que en el límite de desacoplamiento , es decir cuando tanto la gravedad masiva Lagrangiana es invariante bajo: ${\displaystyle \ M_{\mathsf {Pl}}\to \infty ,m\to 0,m^{2}\ M_{\mathsf {Pl}}={\mathsf {const.}}\ ,}$

1. ${\displaystyle \ \delta h_{\mu \nu }=\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }\ ,}$como en la teoría general linealizada de la relatividad,
2. ${\displaystyle \ \delta A_{\mu }=\partial _{\mu }\pi \ ,}$como en la teoría electromagnética de Maxwell, y
3. ${\displaystyle \ \delta \pi =0~.}$

En principio, la métrica de referencia debe especificarse a mano, y por lo tanto no hay una única teoría de gravedad masiva dRGT, ya que la teoría con una métrica de referencia plana es diferente de una con una métrica de referencia de De Sitter , etc. Alternativamente, uno puede pensar en como una constante de la teoría, muy similar a o En lugar de especificar una métrica de referencia desde el principio, uno puede permitir que tenga su propia dinámica. Si el término cinético para también es Einstein-Hilbert, entonces la teoría permanece libre de fantasmas y nos quedamos con una teoría de bigravedad masiva , ^[12] (o relatividad bimétrica , BR) que propaga los dos grados de libertad de un gravitón sin masa además de los cinco de uno masivo. ${\displaystyle \ f_{\mu \nu }\ }$ ${\displaystyle \ m\ }$ ${\displaystyle \ M_{\mathsf {Pl}}~.}$ ${\displaystyle \ f_{\mu \nu }\ }$

En la práctica, no es necesario calcular los valores propios de (o ) para obtenerlos. Se pueden escribir directamente en términos de como ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {K} \ }$ ${\displaystyle \ e_{n}~.}$ ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}\!\left(\mathbb {X} \right)&=1\ ,\\e_{1}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\left[\ \mathbb {X} \right]\ ,\\e_{2}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{2}-\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]\right)\ ,\\e_{3}\!\left(\mathbb {X} \right)&={\tfrac {\ 1\ }{6}}\left(\left[\ \mathbb {X} \ \right]^{3}-3\ \left[\ \mathbb {X} \ \right]\left[\ \mathbb {X} ^{2}\ \right]+2\ \left[\ \mathbb {X} ^{3}\ \right]\right)\ ,\\e_{4}\!\left(\mathbb {X} \right)&=\det \mathbb {X} \ ,\end{aligned}}}$

donde los corchetes indican un rastro , es la combinación antisimétrica particular de términos en cada uno de los que es responsable de hacer que el fantasma de Boulware-Deser sea no dinámico. ${\displaystyle [\ \mathbb {X} \ ]\equiv X^{\mu }{}_{\mu }\equiv \operatorname {tr} \mathbb {X} ~.}$ ${\displaystyle \ e_{n}\ }$

La elección de utilizar o , con la matriz identidad , es una convención, ya que en ambos casos el término de masa libre de fantasmas es una combinación lineal de los polinomios simétricos elementales de la matriz elegida. Se puede transformar de una base a la otra, en cuyo caso los coeficientes satisfacen la relación ^[31] ${\displaystyle \ \mathbb {X} \ }$ ${\displaystyle \mathbb {K} =\mathbb {I} -\mathbb {X} }$ ${\displaystyle \ \mathbb {I} \ }$

${\displaystyle \beta _{n}=(4-n)!\ \sum _{i=n}^{4}\ {\frac {\ (-1)^{i+n}\ }{\ (4-i)!(i-n)!\ }}\ \alpha _{i}~.}$

Los coeficientes son de un polinomio característico que tiene la forma de determinante de Fredholm . También se pueden obtener utilizando el algoritmo de Faddeev–LeVerrier .

Gravedad masiva en el idioma vierbein.

En un marco de tétrada ortonormal 4D , tenemos las bases:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{\,\mu }^{0}&=(-1,0,0,0)\\e_{\,\mu }^{I}&=(0,e_{i}^{I})\end{aligned}}}$

donde el índice es para el componente espacial 3D de las coordenadas no ortonormales, y el índice es para los componentes espaciales 3D de las coordenadas ortonormales. El transporte paralelo requiere la conexión de espín . Por lo tanto, la curvatura extrínseca , que corresponde a en el formalismo métrico, se convierte en ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle e^{0\nu }\nabla _{e^{0\nu }}e_{~\mu }^{I}=0.}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\mu \nu }}$

${\displaystyle K_{j}^{i}\equiv {\frac {1}{2}}\gamma ^{ik}\partial _{t}(\gamma _{kj})=e_{I}^{i}\partial _{t}(e_{j}^{I}),}$

donde es la métrica espacial como en el formalismo ADM y la formulación del valor inicial . ${\displaystyle \gamma _{ij}}$

Si la tétrada se transforma conformemente a medida que la curvatura extrínseca se convierte en , donde de las ecuaciones de Friedmann , y (a pesar de que es controvertido ^[42] ), es decir, la curvatura extrínseca se transforma como . Esto parece muy similar a la matriz o al tensor . ${\displaystyle e_{i}^{I}\to {e'}_{i}^{I}\equiv a(t)~e_{i}^{I},}$ ${\displaystyle {K'}_{j}^{i}={\frac {a}{\dot {a}}}K_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-{\frac {a}{\dot {a}}}e_{I}^{i}\partial _{t}\!\!\left(e_{j}^{I}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {a}{\dot {a}}}={\frac {a}{\partial _{t}a}}\sim {\frac {1}{\sqrt {\Lambda }}}}$ ${\displaystyle m\sim 1/{\sqrt {\Lambda }}}$ ${\displaystyle K_{j}^{i}\to mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{j}^{i}}$

El dRGT se desarrolló inspirado en la aplicación de la técnica anterior al modelo DGP 5D después de considerar la deconstrucción de teorías de gravedad de Kaluza-Klein ^{de dimensiones superiores, [43]} en las que las dimensiones adicionales se reemplazan por una serie de N sitios de red de modo que la métrica de dimensión superior se reemplaza por un conjunto de métricas interactuantes que dependen solo de los componentes 4D. ^[39]

La presencia de una matriz de raíz cuadrada es algo incómoda y apunta a una formulación alternativa, más simple, en términos de vierbeins . Dividir las métricas en vierbeins como

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=\eta _{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }\\f_{\mu \nu }&=\eta _{ab}f^{a}{}_{\mu }f^{b}{}_{\nu }\end{aligned}}}$

y luego definir las formas únicas

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{a}&=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {f} ^{a}&=f^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\\\mathbf {i} ^{a}&=\delta ^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }\end{aligned}}}$

Los términos de interacción libre de fantasmas en la teoría de bigravidad de Hassan-Rosen se pueden escribir simplemente como (hasta factores numéricos) ^[44]

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {e} ^{d}\\e_{1}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {e} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{2}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {e} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{3}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {e} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\\e_{4}(\mathbb {X} )\propto \epsilon _{abcd}\mathbf {f} ^{a}\wedge \mathbf {f} ^{b}\wedge \mathbf {f} ^{c}\wedge \mathbf {f} ^{d}\end{aligned}}}$

Por lo tanto, en términos de vierbeins, en lugar de métricas, podemos ver con bastante claridad el significado físico de los términos potenciales dRGT libres de fantasmas: son simplemente todas las diferentes combinaciones posibles de productos de cuña de los vierbeins de las dos métricas.

Nótese que la gravedad masiva en las formulaciones métricas y de Vierbein solo son equivalentes si se cumple la condición de simetría.

${\displaystyle (e^{-1})_{a}{}^{\mu }f_{b\nu }=(e^{-1})_{b}{}^{\mu }f_{a\nu }}$

se cumple. Si bien esto es cierto para la mayoría de las situaciones físicas, puede haber casos, como cuando la materia se acopla a ambas métricas o en teorías multimétricas con ciclos de interacción, en los que no sea así. En estos casos, las formulaciones métricas y de Vierbein son teorías físicas distintas, aunque cada una propaga un gravitón masivo saludable.

La novedad de la gravedad masiva dRGT es que es una teoría de invariancia de calibre bajo ambas transformaciones locales de Lorentz, a partir de suponer que la métrica de referencia es igual a la métrica de Minkowski , y de invariancia de difeomorfismo, a partir de la existencia del espacio-tiempo curvo activo . Esto se demuestra reescribiendo el formalismo de Stueckelberg discutido previamente en el lenguaje de Vierbein de la siguiente manera. ^[45] ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

La versión 4D de las ecuaciones de campo de Einstein en 5D se lee

${\displaystyle G_{\mu \nu }n^{\mu }n^{\nu }={\frac {1}{2}}\left(R-K^{\mu \nu }K_{\mu \nu }+\left(K_{~\mu }^{\mu }\right)^{2}\right),}$

donde es el vector normal al corte 4D. Usando la definición de curvatura extrínseca masiva es fácil ver que los términos que contienen curvaturas extrínsecas toman la forma funcional en la acción tetrádica. ${\displaystyle n^{\mu }}$ ${\displaystyle mK_{j}^{i}=\delta _{j}^{i}-m~e_{I}^{i}{\dot {e}}_{j}^{I},}$ ${\displaystyle (f^{a}-e^{a})\wedge (f^{b}-e^{b})\wedge e^{c}\wedge e^{d}}$

Por lo tanto, hasta los coeficientes numéricos, la acción dRGT completa en su forma tensorial es

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\int dx^{4}{\sqrt {g}}\left(R+2m^{2}[e_{2}({\mathcal {K}})+e_{3}({\mathcal {K}})+e_{4}({\mathcal {K}})]\right),}$

donde las funciones toman formas similares a la de . Entonces, hasta algunos coeficientes numéricos, la acción toma la forma integral ${\displaystyle e_{i}({\mathcal {K}})}$ ${\displaystyle e_{i}(\mathbb {X} )}$

${\displaystyle S={\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}\epsilon _{abcd}\int {\Big (}\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land R^{cd}-m^{2}\left[\mathbf {e} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {e} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {e} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}+\mathbf {i} ^{a}\land \mathbf {i} ^{b}\land \mathbf {i} ^{c}\land \mathbf {e} ^{d}\right]{\Big )},}$

donde el primer término es la parte de Einstein-Hilbert de la acción tetrádica de Palatini y es el símbolo de Levi-Civita . ${\displaystyle \epsilon _{abcd}}$

Como el límite de desacoplamiento garantiza que y al comparar con , es legítimo pensar en el tensor Comparando esto con la definición de la forma 1, se pueden definir componentes covariantes del campo de marco , es decir , para reemplazar el de modo que los últimos tres términos de interacción en la acción de Vierbein se conviertan en ${\displaystyle \Box \pi =0}$ ${\displaystyle A_{\mu }\to x_{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$ ${\displaystyle \phi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{a}=\delta _{~\mu }^{a}.}$ ${\displaystyle \mathbf {i} ^{a},}$ ${\displaystyle f_{~\mu }^{a}=\partial _{\mu }\phi ^{\nu }\delta _{~\nu }^{a},}$ ${\displaystyle e_{~\mu }^{a}={\frac {\partial x^{\nu }}{\partial \phi ^{\mu }}}\Lambda _{~b}^{a}e_{~\nu }^{b}}$ ${\displaystyle \mathbf {i} ^{a}}$

${\displaystyle S=-{\frac {M_{\text{Pl}}^{2}}{2}}m^{2}\epsilon _{abcd}\int \left[\mathbf {f} ^{a}\land \left(\Lambda _{b'}^{b}\mathbf {e} ^{b'}\right)\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \left(\Lambda _{c'}^{c}\mathbf {e} ^{c'}\right)\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)+\mathbf {f} ^{a}\land \mathbf {f} ^{b}\land \mathbf {f} ^{c}\land \left(\Lambda _{d'}^{d}\mathbf {e} ^{d'}\right)\right].}$

Esto se puede hacer porque se permite mover libremente las transformaciones de difeomorfismo sobre el vierbein de referencia a través de las transformaciones de Lorentz . Más importante aún, las transformaciones de difeomorfismo ayudan a manifestar la dinámica de los modos de helicidad-0 y helicidad-1, de ahí la facilidad para calibrarlos cuando se compara la teoría con su versión con las únicas transformaciones de calibración mientras los campos de Stueckelberg están apagados. ${\displaystyle \partial _{\nu }\phi ^{\mu }}$ ${\displaystyle \Lambda _{~b}^{a}}$ ${\displaystyle U(1)}$

Uno puede preguntarse por qué se eliminan los coeficientes y cómo garantizar que sean numéricos sin dependencia explícita de los campos. De hecho, esto se permite porque la variación de la acción de Vierbein con respecto a los campos de Stueckelberg transformados localmente por Lorentz produce este bonito resultado. ^[45] Además, podemos resolver explícitamente los campos de Stueckelberg invariantes de Lorentz y, al sustituir nuevamente en la acción de Vierbein, podemos demostrar una equivalencia completa con la forma tensorial de la gravedad masiva dRGT. ^[46]

Cosmología

Si la masa del gravitón es comparable a la tasa de Hubble , entonces a distancias cosmológicas el término de masa puede producir un efecto gravitacional repulsivo que conduce a la aceleración cósmica. Debido a que, en términos generales, la simetría difeomorfista mejorada en el límite protege a una pequeña masa de gravitón de grandes correcciones cuánticas, la elección es de hecho técnicamente natural . ^[47] La ​​gravedad masiva puede, por lo tanto, proporcionar una solución al problema de la constante cosmológica : ¿por qué las correcciones cuánticas no hacen que el Universo se acelere en tiempos extremadamente tempranos? ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle m\sim H_{0}}$

Sin embargo, resulta que las soluciones cosmológicas planas y cerradas de Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker no existen en la gravedad masiva dRGT con una métrica de referencia plana. ^[13] Las soluciones abiertas y las soluciones con métricas de referencia generales sufren inestabilidades. ^[48] Por lo tanto, solo se pueden encontrar cosmologías viables en la gravedad masiva si uno abandona el principio cosmológico de que el Universo es uniforme a gran escala, o de lo contrario generaliza dRGT. Por ejemplo, las soluciones cosmológicas se comportan mejor en la bigravedad , ^[14] la teoría que extiende dRGT al dar dinámica. Si bien estas tienden a poseer inestabilidades también, ^{[49] [50]} esas inestabilidades podrían encontrar una resolución en la dinámica no lineal (a través de un mecanismo similar a Vainshtein) o al empujar la era de la inestabilidad al Universo muy temprano. ^[15] ${\displaystyle f_{\mu \nu }}$

Gravedad masiva 3D

Existe un caso especial en tres dimensiones, donde un gravitón sin masa no propaga ningún grado de libertad. Aquí se pueden definir varias teorías libres de fantasmas de un gravitón masivo, que propaga dos grados de libertad. En el caso de la gravedad topológicamente masiva ^[1] se tiene la acción

${\displaystyle S={\frac {M_{3}}{2}}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}(R-2\Lambda )+{\frac {1}{4\mu }}\epsilon ^{\lambda \mu \nu }\Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }\left(\partial _{\mu }\Gamma _{\rho \nu }^{\sigma }+{\frac {2}{3}}\Gamma _{\mu \alpha }^{\sigma }\Gamma _{\nu \rho }^{\alpha }\right),}$

con la masa tridimensional de Planck. Se trata de una relatividad general tridimensional complementada con un término similar al de Chern-Simons elaborado a partir de los símbolos de Christoffel . ${\displaystyle M_{3}}$

Más recientemente, se ha desarrollado una teoría denominada nueva gravedad masiva , ^[2] que se describe por la acción

${\displaystyle S=M_{3}\int d^{3}x{\sqrt {-g}}\left[\pm R+{\frac {1}{m^{2}}}\left(R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }-{\frac {3}{8}}R^{2}\right)\right].}$

Relación con las ondas gravitacionales

El descubrimiento de las ondas gravitacionales en 2016 ^[51] y las observaciones posteriores han permitido establecer límites a la masa máxima de los gravitones, si es que son masivos. Tras el evento GW170104 , se descubrió que la longitud de onda Compton del gravitón era al menos1,6 × 10 ¹⁶  m , o aproximadamente 1,6 años luz , lo que corresponde a una masa de gravitón de no más de7,7 × 10 ⁻²³  eV/c ² . ^[16] Esta relación entre longitud de onda y energía se calcula con la misma fórmula (la relación de Planck-Einstein ) que relaciona la longitud de onda electromagnética con la energía del fotón . Sin embargo, los fotones , que solo tienen energía y no masa, son fundamentalmente diferentes de los gravitones masivos en este aspecto, ya que la longitud de onda Compton del gravitón no es igual a la longitud de onda gravitacional. En cambio, la longitud de onda Compton del gravitón de límite inferior es de aproximadamente9 × 10 ⁹ veces mayor que la longitud de onda gravitacional del evento GW170104, que fue de ~1700 km. Esto se debe a que la longitud de onda Compton está definida por la masa en reposo del gravitón y es una cantidad escalar invariante.

Véase también

• Aceleración de la expansión del universo  – Fenómeno cosmológico
• Alternativas a la relatividad general  : teorías propuestas sobre la gravedad
• La teoría de Horndeski
• Gravedad bimétrica  – Teorías propuestas sobre la gravedad
• Modelo DGP
• Teoría escalar-tensor  : teoría en física con escalares y tensores que describen una fuerza o interacción.
• Gravitón dual

Lectura adicional

Artículos de revisión

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