Teoría de Chern-Simons

Teoría cuántica de campos topológicos tridimensionales cuya acción es la forma de Chern-Simons

La teoría de Chern-Simons es una teoría cuántica de campos topológica tridimensional de tipo Schwarz desarrollada por Edward Witten . Fue descubierta por primera vez por el físico matemático Albert Schwarz . Recibe su nombre de los matemáticos Shiing-Shen Chern y James Harris Simons , quienes introdujeron la forma 3 de Chern-Simons . En la teoría de Chern-Simons, la acción es proporcional a la integral de la forma 3 de Chern-Simons.

En física de la materia condensada , la teoría de Chern-Simons describe el orden topológico en estados de efecto Hall cuántico fraccionario . En matemáticas, se ha utilizado para calcular invariantes de nudos e invariantes de tres variedades, como el polinomio de Jones . ^[1]

En particular, la teoría de Chern-Simons se especifica mediante la elección de un grupo de Lie simple G, conocido como el grupo de calibración de la teoría, y también un número denominado nivel de la teoría, que es una constante que multiplica la acción. La acción depende del calibre, sin embargo, la función de partición de la teoría cuántica está bien definida cuando el nivel es un número entero y la intensidad del campo de calibración se anula en todos los límites del espacio-tiempo tridimensional.

También es el objeto matemático central en los modelos teóricos para ordenadores cuánticos topológicos (TQC). Específicamente, una teoría Chern-Simons SU(2) describe el modelo anónico no abeliano más simple de un TQC, el modelo Yang-Lee-Fibonacci. ^{[2] [3]}

La dinámica de la teoría de Chern-Simons en el límite bidimensional de una variedad tridimensional está estrechamente relacionada con las reglas de fusión y los bloques conformes en la teoría de campos conformes , y en particular con la teoría WZW . ^{[1] [4]}

La teoría clásica

Origen matemático

En la década de 1940, SS Chern y A. Weil estudiaron las propiedades de curvatura global de variedades suaves M como cohomología de De Rham ( teoría de Chern–Weil ), que es un paso importante en la teoría de clases características en geometría diferencial . Dado un fibrado principal G plano P en M existe un homomorfismo único, llamado homomorfismo de Chern–Weil , desde el álgebra de polinomios invariantes G -adjuntos en g (álgebra de Lie de G ) hasta la cohomología . Si el polinomio invariante es homogéneo, se puede escribir concretamente cualquier forma k de la conexión cerrada ω como alguna forma 2 k de la forma de curvatura asociada Ω de ω . ${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} )}$

En 1974, SS Chern y JH Simons habían construido concretamente una forma (2 k  − 1) df ( ω ) tal que

${\displaystyle dTf(\omega )=f(\Omega ^{k}),}$

donde T es el homomorfismo de Chern–Weil. Esta forma se llama forma de Chern–Simons . Si df ( ω ) es cerrado, se puede integrar la fórmula anterior.

${\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\Omega ^{k}),}$

donde C es un ciclo (2 k  − 1)-dimensional en M . Este invariante se denomina invariante de Chern–Simons . Como se señaló en la introducción del artículo de Chern–Simons, el invariante de Chern–Simons CS( M ) es el término límite que no se puede determinar mediante ninguna formulación combinatoria pura. También se puede definir como

${\displaystyle \operatorname {CS} (M)=\int _{s(M)}{\tfrac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,}$

donde es el primer número de Pontryagin y s ( M ) es la sección del fibrado ortogonal normal P . Además, el término de Chern–Simons se describe como el invariante eta definido por Atiyah, Patodi y Singer. ${\displaystyle p_{1}}$

La invariancia de calibre y la invariancia métrica pueden verse como la invariancia bajo la acción del grupo de Lie adjunto en la teoría de Chern-Weil. La integral de acción ( integral de trayectoria ) de la teoría de campos en física se considera como la integral lagrangiana de la forma de Chern-Simons y el bucle de Wilson, holonomía del fibrado vectorial en M. Estos explican por qué la teoría de Chern-Simons está estrechamente relacionada con la teoría de campos topológicos .

Configuraciones

Las teorías de Chern-Simons pueden definirse en cualquier variedad topológica de 3 dimensiones M , con o sin borde. Como estas teorías son teorías topológicas de tipo Schwarz, no es necesario introducir ninguna métrica en M .

La teoría de Chern-Simons es una teoría de calibración , lo que significa que una configuración clásica en la teoría de Chern-Simons en M con grupo de calibración G se describe por un fibrado principal G en M. La conexión de este fibrado se caracteriza por una forma unidireccional de conexión A que se valora en el álgebra de Lie g del grupo de Lie G. En general, la conexión A solo se define en parches de coordenadas individuales , y los valores de A en diferentes parches están relacionados por mapas conocidos como transformaciones de calibración . Estas se caracterizan por la afirmación de que la derivada covariante , que es la suma del operador de derivada exterior d y la conexión A , se transforma en la representación adjunta del grupo de calibración G. El cuadrado de la derivada covariante consigo misma se puede interpretar como una forma bidireccional F con valor g llamada forma de curvatura o intensidad de campo . También se transforma en la representación adjunta.

Dinámica

La acción S de la teoría de Chern-Simons es proporcional a la integral de la 3-forma de Chern-Simons

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

La constante k se denomina nivel de la teoría. La física clásica de la teoría de Chern-Simons es independiente de la elección del nivel k .

Clásicamente el sistema se caracteriza por sus ecuaciones de movimiento que son los extremos de la acción con respecto a las variaciones del campo A . En términos de la curvatura del campo

${\displaystyle F=dA+A\wedge A\,}$

La ecuación de campo es explícitamente

${\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F.}$

Por lo tanto, las ecuaciones clásicas de movimiento se satisfacen si y solo si la curvatura se anula en todas partes, en cuyo caso se dice que la conexión es plana . Por lo tanto, las soluciones clásicas de la teoría de Chern-Simons G son las conexiones planas de los fibrados G principales en M. Las conexiones planas están determinadas completamente por holonomías alrededor de ciclos no contráctiles en la base M. Más precisamente, están en correspondencia biunívoca con las clases de equivalencia de homomorfismos desde el grupo fundamental de M hasta el grupo de calibración G hasta la conjugación.

Si M tiene un límite N entonces hay datos adicionales que describen una elección de trivialización del fibrado principal G en N . Tal elección caracteriza una función de N a G . La dinámica de esta función se describe mediante el modelo Wess–Zumino–Witten (WZW) en N en el nivel k .

Cuantización

Para cuantificar canónicamente la teoría de Chern-Simons se define un estado en cada superficie bidimensional Σ en M. Como en cualquier teoría cuántica de campos, los estados corresponden a rayos en un espacio de Hilbert . No hay una noción preferida de tiempo en una teoría de campos topológicos de tipo Schwarz y, por lo tanto, se puede exigir que Σ sea una superficie de Cauchy ; de hecho, se puede definir un estado en cualquier superficie.

Σ es de codimensión uno, por lo que se puede cortar M a lo largo de Σ. Después de tal corte, M será una variedad con borde y, en particular, de manera clásica, la dinámica de Σ se describirá mediante un modelo WZW. Witten ha demostrado que esta correspondencia se cumple incluso en mecánica cuántica. Más precisamente, demostró que el espacio de Hilbert de estados es siempre de dimensión finita y puede identificarse canónicamente con el espacio de bloques conformes del modelo G WZW en el nivel k.

Por ejemplo, cuando Σ es una 2-esfera, este espacio de Hilbert es unidimensional y, por lo tanto, solo hay un estado. Cuando Σ es un 2-toro, los estados corresponden a las representaciones integrables del álgebra de Lie afín correspondiente a g en el nivel k. Las caracterizaciones de los bloques conformes en géneros superiores no son necesarias para la solución de Witten de la teoría de Chern-Simons.

Observables

Bucles de Wilson

Los observables de la teoría de Chern-Simons son las funciones de correlación de n puntos de los operadores invariantes de calibre. La clase de operadores invariantes de calibre que se estudia con más frecuencia son los bucles de Wilson . Un bucle de Wilson es la holonomía alrededor de un bucle en M , trazado en una representación dada R de G . Como nos interesarán los productos de los bucles de Wilson, sin pérdida de generalidad podemos restringir nuestra atención a las representaciones irreducibles R .

Más concretamente, dada una representación irreducible R y un bucle K en M , se puede definir el bucle de Wilson mediante ${\displaystyle W_{R}(K)}$

${\displaystyle W_{R}(K)=\operatorname {Tr} _{R}\,{\mathcal {P}}\exp \left(i\oint _{K}A\right)}$

donde A es la forma 1 de la conexión y tomamos el valor principal de Cauchy de la integral de contorno y es la exponencial ordenada por trayectoria . ${\displaystyle {\mathcal {P}}\exp }$

Polinomios de HOMFLY y Jones

Consideremos un enlace L en M , que es una colección de ℓ bucles disjuntos. Un observable particularmente interesante es la función de correlación de ℓ puntos formada a partir del producto de los bucles de Wilson alrededor de cada bucle disjunto, cada uno trazado en la representación fundamental de G . Se puede formar una función de correlación normalizada dividiendo este observable por la función de partición Z ( M ), que es simplemente la función de correlación de 0 puntos.

En el caso especial en el que M es la 3-esfera, Witten ha demostrado que estas funciones de correlación normalizadas son proporcionales a polinomios de nudos conocidos . Por ejemplo, en la teoría de Chern–Simons G  =  U ( N ) en el nivel k la función de correlación normalizada es, hasta una fase, igual a

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}}$

multiplicado por el polinomio HOMFLY . En particular, cuando N  = 2, el polinomio HOMFLY se reduce al polinomio de Jones . En el caso SO( N ), se encuentra una expresión similar con el polinomio de Kauffman .

La ambigüedad de fase refleja el hecho de que, como ha demostrado Witten, las funciones de correlación cuántica no están completamente definidas por los datos clásicos. El número de enlace de un bucle consigo mismo entra en el cálculo de la función de partición, pero este número no es invariante ante pequeñas deformaciones y, en particular, no es un invariante topológico. Este número puede definirse bien si se elige un marco para cada bucle, que es una elección del vector normal distinto de cero preferido en cada punto a lo largo del cual se deforma el bucle para calcular su número de autoenlace. Este procedimiento es un ejemplo del procedimiento de regularización por división de puntos introducido por Paul Dirac y Rudolf Peierls para definir cantidades aparentemente divergentes en la teoría cuántica de campos en 1934.

Sir Michael Atiyah ha demostrado que existe una opción canónica de encuadre 2, ^[5] que se utiliza generalmente en la literatura actual y que conduce a un número de enlace bien definido. Con el encuadre canónico, la fase anterior es la exponencial de 2π i /( k  +  N ) multiplicada por el número de enlace de L consigo mismo.

Problema (Extensión del polinomio de Jones a 3-variedades generales)　

"El polinomio de Jones original se definió para enlaces 1 en la esfera tridimensional (la esfera tridimensional, el espacio tridimensional R3). ¿Puede definir el polinomio de Jones para enlaces 1 en cualquier variedad tridimensional?"

Véase la sección 1.1 de este artículo ^[6] para conocer los antecedentes y la historia de este problema. Kauffman presentó una solución en el caso de la variedad de producto de la superficie orientada cerrada y el intervalo cerrado, introduciendo 1-nudos virtuales. ^[7] Es abierta en los otros casos. La integral de trayectoria de Witten para el polinomio de Jones está escrita para enlaces en cualquier variedad 3-compacta formalmente, pero el cálculo no se realiza ni siquiera en el nivel de física en ningún caso que no sea la 3-esfera (la 3-bola, el 3-espacio R ³ ). Este problema también está abierto en el nivel de física. En el caso del polinomio de Alexander, este problema está resuelto.

Relaciones con otras teorías

Teorías de cuerdas topológicas

En el contexto de la teoría de cuerdas , una teoría de Chern-Simons U ( N ) sobre una 3-subvariedad lagrangiana orientada M de una 6-variedad X surge como la teoría de campos de cuerdas abiertas que terminan en una D-brana que envuelve a X en la teoría de cuerdas topológica del modelo A sobre X . La teoría de campos de cuerdas abiertas topológica del modelo B sobre el volumen mundial que llena el espacio de una pila de D5-branas es una variante de 6 dimensiones de la teoría de Chern-Simons conocida como teoría de Chern-Simons holomórfica.

Modelos matriciales y WZW

Las teorías de Chern-Simons están relacionadas con muchas otras teorías de campo. Por ejemplo, si se considera una teoría de Chern-Simons con un grupo de calibración G en una variedad con frontera, entonces todos los grados de libertad de propagación tridimensionales pueden eliminarse, dejando una teoría de campo conforme bidimensional conocida como modelo G Wess-Zumino-Witten en la frontera. Además, las teorías de Chern-Simons U ( N ) y SO( N ) en N grande se aproximan bien mediante modelos matriciales .

Teoría de la gravedad de Chern-Simons

En 1982, S. Deser , R. Jackiw y S. Templeton propusieron la teoría de la gravedad de Chern-Simons en tres dimensiones, en la que se modifica la acción de Einstein-Hilbert en la teoría de la gravedad añadiendo el término de Chern-Simons. (Deser, Jackiw y Templeton (1982))

En 2003, R. Jackiw y SY Pi extendieron esta teoría a cuatro dimensiones (Jackiw & Pi (2003)) y la teoría de la gravedad de Chern-Simons tiene algunos efectos considerables no sólo en la física fundamental sino también en la teoría de la materia condensada y la astronomía.

El caso de cuatro dimensiones es muy análogo al caso tridimensional. En tres dimensiones, el término gravitacional de Chern-Simons es

${\displaystyle \operatorname {CS} (\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\varepsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}$

Esta variación le da al tensor de Cotton

${\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\varepsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\varepsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m}).}$

Luego, se realiza la modificación de Chern-Simons de la gravedad tridimensional agregando el tensor de Cotton anterior a la ecuación de campo, que puede obtenerse como la solución de vacío variando la acción de Einstein-Hilbert.

Teorías de la materia de Chern-Simons

En 2013, Kenneth A. Intriligator y Nathan Seiberg resolvieron estas teorías de calibración de Chern-Simons en 3D y sus fases utilizando monopolos con grados de libertad adicionales. El índice de Witten de los numerosos vacíos descubiertos se calculó compactando el espacio activando los parámetros de masa y luego calculando el índice. En algunos vacíos, se calculó que se rompía la supersimetría . Estos monopolos estaban relacionados con vórtices de materia condensada . (Intriligator y Seiberg (2013))

La teoría de la materia de Chern-Simons N  = 6 es el dual holográfico de la teoría M en . ${\displaystyle AdS_{4}\times S_{7}}$

Teoría de Chern-Simons de cuatro dimensiones

En 2013, Kevin Costello definió una teoría estrechamente relacionada definida en una variedad de cuatro dimensiones que consiste en el producto de un 'plano topológico' bidimensional y una curva compleja bidimensional (o unidimensional compleja). ^[8] Posteriormente estudió la teoría con más detalle junto con Witten y Masahito Yamazaki, ^{[9] [10] [11]} demostrando cómo la teoría de calibre podría relacionarse con muchas nociones en la teoría de sistemas integrables , incluidos los modelos reticulares exactamente solucionables (como el modelo de seis vértices o la cadena de espín XXZ ), las teorías cuánticas de campos integrables (como el modelo de Gross-Neveu , el modelo quiral principal y los modelos sigma de coset espacial simétrico ), la ecuación de Yang-Baxter y grupos cuánticos como el Yangiano que describen simetrías que sustentan la integrabilidad de los sistemas antes mencionados.

La acción sobre la variedad 4- donde es una variedad bidimensional y es una curva compleja es donde es una forma unidimensional meromórfica en . ${\displaystyle M=\Sigma \times C}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle S=\int _{M}\omega \wedge CS(A)}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle C}$

Términos de Chern-Simons en otras teorías

El término de Chern-Simons también se puede añadir a modelos que no son teorías cuánticas de campos topológicos. En 3D, esto da lugar a un fotón masivo si este término se añade a la acción de la teoría de la electrodinámica de Maxwell . Este término se puede inducir mediante la integración sobre un campo de Dirac cargado masivo . También aparece, por ejemplo, en el efecto Hall cuántico . La adición del término de Chern-Simons a varias teorías da lugar a soluciones de tipo vórtice o solitón ^{[12] [13] Las generalizaciones de diez y once dimensiones de los términos de Chern-Simons aparecen en las acciones de todas las teorías} de supergravedad de diez y once dimensiones .

Renormalización de un bucle del nivel

Si se añade materia a una teoría de calibración de Chern-Simons, en general ya no es topológica. Sin embargo, si se añaden n fermiones de Majorana , debido a la anomalía de paridad , al integrarlos se obtiene una teoría de Chern-Simons pura con una renormalización de un bucle del nivel de Chern-Simons por − n /2; en otras palabras, la teoría de nivel k con n fermiones es equivalente a la teoría de nivel k  −  n /2 sin fermiones.

Véase también

• Teoría de calibre (matemáticas)
• Forma Chern-Simons
• Teoría cuántica de campos topológica
• Polinomio de Alexander
• Polinomio de Jones
• Gravedad topológica 2+1D
• Skyrmion

Referencias

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• Chern, S.-S. y Simons, J. (1974). "Formas características e invariantes geométricos". Anales de Matemáticas . 99 (1): 48–69. doi :10.2307/1971013. JSTOR  1971013.
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Específico

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Enlaces externos

• "Funcional de Chern-Simons". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].