Teoría escalar-tensorial

Teoría en física con escalares y tensores que describen una fuerza o interacción

En física teórica , una teoría escalar-tensorial es una teoría de campos que incluye tanto un campo escalar como un campo tensorial para representar una determinada interacción. Por ejemplo, la teoría de gravitación de Brans-Dicke utiliza tanto un campo escalar como un campo tensorial para mediar la interacción gravitacional .

Campos tensoriales y teoría de campos

La física moderna intenta derivar todas las teorías físicas a partir del menor número posible de principios. De esta manera, la mecánica newtoniana , así como la mecánica cuántica, se derivan del principio de mínima acción de Hamilton . En este enfoque, el comportamiento de un sistema no se describe a través de fuerzas , sino mediante funciones que describen la energía del sistema. Las más importantes son las magnitudes energéticas conocidas como función hamiltoniana y función lagrangiana . Sus derivadas en el espacio se conocen como densidad hamiltoniana y densidad lagrangiana . El paso a estas magnitudes conduce a las teorías de campo.

La física moderna utiliza teorías de campos para explicar la realidad. Estos campos pueden ser escalares , vectoriales o tensoriales . Un ejemplo de campo escalar es el campo de temperatura. Un ejemplo de campo vectorial es el campo de velocidad del viento. Un ejemplo de campo tensorial es el campo tensorial de tensión en un cuerpo estresado, utilizado en mecánica de medios continuos .

La gravedad como teoría de campos

En física, las fuerzas (como magnitudes vectoriales) se dan como la derivada (gradiente) de magnitudes escalares llamadas potenciales. En la física clásica anterior a Einstein , la gravitación se daba de la misma manera, como consecuencia de una fuerza gravitatoria (vectorial), dada a través de un campo de potencial escalar, dependiente de la masa de las partículas. Por lo tanto, la gravedad newtoniana se llama teoría escalar . La fuerza gravitatoria depende de la distancia r de los objetos masivos entre sí (más exactamente, su centro de masa). La masa es un parámetro y el espacio y el tiempo son inmutables.

La teoría de la gravedad de Einstein, la Relatividad General (RG), es de otra naturaleza. Unifica el espacio y el tiempo en una variedad de 4 dimensiones llamada espacio-tiempo. En la RG no hay fuerza gravitatoria, sino que las acciones que atribuimos a una fuerza son consecuencia de la curvatura local del espacio-tiempo. Esa curvatura se define matemáticamente por la llamada métrica , que es una función de la energía total, incluida la masa, en el área. La derivada de la métrica es una función que se aproxima a la fuerza newtoniana clásica en la mayoría de los casos. La métrica es una cantidad tensorial de grado 2 (puede darse como una matriz 4x4, un objeto que lleva 2 índices).

Otra posibilidad para explicar la gravitación en este contexto es utilizar tanto campos tensoriales (de grado n>1) como escalares, es decir, de modo que la gravitación no se dé únicamente a través de un campo escalar ni únicamente a través de una métrica. Éstas son teorías escalar-tensoriales de la gravitación.

El inicio teórico de campo de la Relatividad General viene dado por la densidad de Lagrange. Se trata de una cantidad escalar e invariante de gauge (véase teorías de gauge ) dependiente de la curvatura escalar R. Este lagrangiano, siguiendo el principio de Hamilton, conduce a las ecuaciones de campo de Hilbert y Einstein . Si en el lagrangiano se multiplica la curvatura (o una cantidad relacionada con ella) por un campo escalar cuadrado, se obtienen teorías de campo de las teorías escalar-tensoriales de la gravitación. En ellas, la constante gravitatoria de Newton ya no es una constante real sino una cantidad dependiente del campo escalar.

Formulación matemática

La acción de dicha teoría escalar-tensor gravitacional se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle S={\frac {1}{c}}\int {d^{4}x{\sqrt {-g}}{\frac {1}{2\mu }}}\times \left[\Phi R-{\frac {\omega (\Phi )}{\Phi }}(\partial _{\sigma }\Phi )^{2}-V(\Phi )+2\mu ~{\mathcal {L}}_{m}(g_{\mu \nu },\Psi )\right],}$

donde es el determinante métrico, es el escalar de Ricci construido a partir de la métrica , es una constante de acoplamiento con las dimensiones , es el potencial del campo escalar, es el lagrangiano material y representa los campos no gravitacionales. Aquí, el parámetro de Brans-Dicke se ha generalizado a una función. Aunque a menudo se escribe como , hay que tener en cuenta que la constante fundamental allí, no es la constante de gravitación que se puede medir con, por ejemplo, experimentos de tipo Cavendish . De hecho, la constante gravitacional empírica ya no es generalmente una constante en las teorías escalar-tensoriales, sino una función del campo escalar . Las ecuaciones métricas y de campo escalar respectivamente escriben: ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle L^{-1}M^{-1}T^{2}}$ ${\displaystyle V(\Phi )}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{m}}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle 8\pi G/c^{4}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {\mu }{\Phi }}T_{\mu \nu }+{\frac {1}{\Phi }}[\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }-g_{\mu \nu }\Box ]\Phi +{\frac {\omega (\Phi )}{\Phi ^{2}}}(\partial _{\mu }\Phi \partial _{\nu }\Phi -{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }(\partial _{\alpha }\Phi )^{2})-g_{\mu \nu }{\frac {V(\Phi )}{2\Phi }},}$

y

${\displaystyle {\frac {2\omega (\Phi )+3}{\Phi }}\Box \Phi ={\frac {\mu }{\Phi }}T-{\frac {\omega '(\Phi )}{\Phi }}(\partial _{\sigma }\Phi )^{2}+V'(\Phi )-2{\frac {V(\Phi )}{\Phi }}.}$

Además, la teoría satisface la siguiente ecuación de conservación, lo que implica que las partículas de prueba siguen geodésicas espacio-temporales como en la relatividad general:

${\displaystyle \nabla _{\sigma }T^{\mu \sigma }=0,}$

¿Dónde se define el tensor de tensión-energía ? ${\displaystyle T^{\mu \sigma }}$

${\displaystyle T_{\mu \nu }=-{\frac {2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{m})}{\delta g^{\mu \nu }}}.}$

La aproximación newtoniana de la teoría

Desarrollando perturbativamente la teoría definida por la acción anterior en torno a un fondo minkowskiano, y suponiendo fuentes gravitacionales no relativistas, el primer orden da la aproximación newtoniana de la teoría. En esta aproximación, y para una teoría sin potencial, la métrica escribe

${\displaystyle g_{00}=-1+2{\frac {U}{c^{2}}}+{\mathcal {O}}(c^{-3}),~g_{0i}={\mathcal {O}}(c^{-2}),~g_{ij}=\delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-1}),}$

con satisfacción de la siguiente ecuación de Poisson habitual en el orden más bajo de la aproximación: ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \triangle U=8\pi G_{\mathrm {eff} }~\rho +{\mathcal {O}}(c^{-1}),}$

donde es la densidad de la fuente gravitatoria y (el subíndice indica que el valor correspondiente se toma en el tiempo y la ubicación cosmológicos actuales). Por lo tanto, la constante gravitatoria empírica es una función del valor actual del fondo del campo escalar y, por lo tanto, depende teóricamente del tiempo y la ubicación. ^[1] Sin embargo, no se ha medido ninguna desviación de la constancia de la constante gravitatoria newtoniana, ^[2] lo que implica que el fondo del campo escalar es bastante estable a lo largo del tiempo. Tal estabilidad no se espera en teoría de manera general, pero se puede explicar teóricamente mediante varios mecanismos. ^[3] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{2\omega _{0}+3}}{\frac {G}{\Phi _{0}}}}$ ${\displaystyle _{0}}$ ${\displaystyle \Phi _{0}}$ ${\displaystyle \Phi _{0}}$

La primera aproximación post-newtoniana de la teoría

El desarrollo de la teoría en el siguiente nivel conduce al llamado primer orden post-newtoniano. Para una teoría sin potencial y en un sistema de coordenadas que respete la condición de isotropía débil ^[4] (es decir, ), la métrica adopta la siguiente forma: ${\displaystyle g_{ij}\propto \delta _{ij}+{\mathcal {O}}(c^{-3})\,}$

${\displaystyle g_{00}=-1+{\frac {2W}{c^{2}}}-\beta {\frac {2W^{2}}{c^{4}}}+{\mathcal {O}}(c^{-5})}$

${\displaystyle g_{0i}=-(\gamma +1){\frac {2W_{i}}{c^{3}}}+{\mathcal {O}}(c^{-4})}$

${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}\left(1+\gamma {\frac {2W}{c^{2}}}\right)+{\mathcal {O}}(c^{-3})}$

con ^[5]

${\displaystyle \Box W+{\frac {1+2\beta -3\gamma }{c^{2}}}W\triangle W+{\frac {2}{c^{2}}}(1+\gamma )\partial _{t}J=-4\pi G_{\mathrm {eff} }\Sigma +{\mathcal {O}}(c^{-3})~,}$

${\displaystyle \triangle W_{i}-\partial x_{i}J=-4\pi G_{\mathrm {eff} }\Sigma ^{i}+{\mathcal {O}}(c^{-1})~,}$

donde es una función que depende del calibre de coordenadas ${\displaystyle J}$

${\displaystyle J=\partial _{t}W+\partial _{k}W_{k}+{\mathcal {O}}(c^{-1})~.}$

Corresponde al grado de libertad del difeomorfismo restante que no está fijado por la condición de isotropía débil. Las fuentes se definen como

${\displaystyle \Sigma ={\frac {1}{c^{2}}}(T^{00}+\gamma T^{kk})~,\qquad \Sigma ^{i}={\frac {1}{c}}T^{0i}~,}$

Los llamados parámetros post-newtonianos son

${\displaystyle \gamma ={\frac {\omega _{0}+1}{\omega _{0}+2}}~,}$

${\displaystyle \beta =1+{\frac {\omega _{0}^{\prime }}{(2\omega _{0}+3)(2\omega _{0}+4)^{2}}}~,}$

y finalmente la constante gravitacional empírica está dada por ${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }}$

${\displaystyle G_{\mathrm {eff} }={\frac {2\omega _{0}+4}{~2\omega _{0}+3~}}\,G~,}$

donde es la constante (verdadera) que aparece en la constante de acoplamiento definida anteriormente. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu }$

Restricciones observacionales de la teoría

Las observaciones actuales indican que , ^[2] lo que significa que . Aunque explicar dicho valor en el contexto de la teoría original de Brans-Dicke es imposible, Damour y Nordtvedt descubrieron que las ecuaciones de campo de la teoría general a menudo conducen a una evolución de la función hacia el infinito durante la evolución del universo. ^[3] Por lo tanto, según ellos, el alto valor actual de la función podría ser una simple consecuencia de la evolución del universo. ${\displaystyle \gamma -1=(2.1\pm 2.3)\times 10^{-5}}$ ${\displaystyle \omega _{0}>40000}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$

Siete años de datos de la misión MESSENGER de la NASA limitan el parámetro post-newtoniano para el desplazamiento del perihelio de Mercurio a . ^[6] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle |\beta -1|<1.6\times 10^{-5}}$

Ambas restricciones muestran que, si bien la teoría todavía es un candidato potencial para reemplazar a la relatividad general, el campo escalar debe estar muy débilmente acoplado para explicar las observaciones actuales.

También se han propuesto teorías escalares-tensoriales generalizadas como explicación de la expansión acelerada del universo, pero la medición de la velocidad de la gravedad con el evento de onda gravitacional GW170817 ha descartado esto. ^{[7] [8] [9] [10] [11]}

Relatividad de dimensiones superiores y teorías escalar-tensoriales

Tras la postulación de la Relatividad General de Einstein y Hilbert, Theodor Kaluza y Oskar Klein propusieron en 1917 una generalización en una variedad de 5 dimensiones: la teoría de Kaluza-Klein . Esta teoría posee una métrica de 5 dimensiones (con un componente métrico de 5ª compactificado y constante, dependiente del potencial de norma ) y unifica la gravitación y el electromagnetismo , es decir hay una geometrización de la electrodinámica.

Esta teoría fue modificada en 1955 por P. Jordan en su teoría de la Relatividad Proyectiva , en la que, siguiendo razonamientos de teoría de grupos, Jordan tomó un componente métrico 5 funcional que condujo a una constante gravitacional variable G . En su trabajo original, introdujo parámetros de acoplamiento del campo escalar, para cambiar también la conservación de la energía, según las ideas de Dirac .

Siguiendo la teoría de Equivalencia Conforme , las teorías multidimensionales de la gravedad son equivalentes conformes a las teorías de la Relatividad General usual en 4 dimensiones con un campo escalar adicional. Un caso de esto lo da la teoría de Jordan, que, sin romper la conservación de la energía (como debería ser válido, al seguirse de que la radiación de fondo de microondas es de un cuerpo negro), es equivalente a la teoría de C. Brans y Robert H. Dicke de 1961, por lo que se suele hablar de la teoría de Brans-Dicke . La teoría de Brans-Dicke sigue la idea de modificar la teoría de Hilbert-Einstein para que sea compatible con el principio de Mach . Para ello, la constante gravitatoria de Newton debía ser variable, dependiente de la distribución de masa en el universo, en función de una variable escalar, acoplada como un campo en el Lagrangiano. Utiliza un campo escalar de escala de longitud infinita (es decir, de largo alcance), por lo que, en el lenguaje de la teoría de física nuclear de Yukawa, este campo escalar es un campo sin masa . Esta teoría se vuelve einsteiniana para valores altos del parámetro del campo escalar.

En 1979, R. Wagoner propuso una generalización de las teorías escalar-tensoriales utilizando más de un campo escalar acoplado a la curvatura escalar.

Las teorías JBD, aunque no modifican la ecuación geodésica para las partículas de prueba, modifican el movimiento de los cuerpos compuestos por uno más complejo. El acoplamiento directo de un campo escalar universal al campo gravitatorio da lugar a efectos potencialmente observables para el movimiento de configuraciones de materia a las que la energía gravitatoria contribuye significativamente. Esto se conoce como el efecto "Dicke-Nordtvedt", que conduce a posibles violaciones del principio de equivalencia fuerte y débil para masas extensas.

Las teorías de tipo JBD con campos escalares de corto alcance utilizan, según la teoría de Yukawa, campos escalares masivos . La primera de estas teorías fue propuesta por A. Zee en 1979. Propuso una Teoría Roto-Simétrica de la Gravitación, combinando la idea de Brans y Dicke con la de Ruptura de Simetría, que es esencial dentro del Modelo Estándar (SM) de partículas elementales , donde la llamada Ruptura de Simetría conduce a la generación de masa (como consecuencia de la interacción de las partículas con el campo de Higgs). Zee propuso el campo de Higgs del SM como campo escalar y por tanto el campo de Higgs para generar la constante gravitatoria.

La interacción del campo de Higgs con las partículas que adquieren masa a través de él es de corto alcance (es decir, de tipo Yukawa) y de tipo gravitacional (se puede obtener una ecuación de Poisson a partir de ella), incluso dentro del SM, de modo que la idea de Zee fue adoptada en 1992 para una teoría escalar-tensor con el campo de Higgs como campo escalar con mecanismo de Higgs. Allí, el campo escalar masivo se acopla a las masas, que son al mismo tiempo la fuente del campo escalar de Higgs, que genera la masa de las partículas elementales a través de la Ruptura de Simetría. Para el campo escalar que se desvanece, estas teorías suelen pasar a la Relatividad General estándar y debido a la naturaleza del campo masivo, es posible que para tales teorías el parámetro del campo escalar (la constante de acoplamiento) no tenga que ser tan alto como en las teorías JBD estándar. Sin embargo, aún no está claro cuál de estos modelos explica mejor la fenomenología que se encuentra en la naturaleza ni si tales campos escalares están realmente dados o son necesarios en la naturaleza. Sin embargo, las teorías JBD se utilizan para explicar la inflación (para los campos escalares sin masa se habla entonces de campo inflatón) después del Big Bang, así como la quintaesencia . Además, son una opción para explicar la dinámica que normalmente se da a través de los modelos estándar de materia oscura fría , así como MOND , Axiones (también de Ruptura de una Simetría), MACHOS ,...

Conexión con la teoría de cuerdas

Una predicción genérica de todos los modelos de teoría de cuerdas es que el gravitón de espín 2 tiene un compañero de espín 0 llamado dilatón . ^[12] Por lo tanto, la teoría de cuerdas predice que la teoría real de la gravedad es una teoría escalar-tensor en lugar de la relatividad general. Sin embargo, la forma precisa de dicha teoría no se conoce actualmente porque no se tienen las herramientas matemáticas para abordar los cálculos no perturbativos correspondientes. Además, la forma precisa efectiva de 4 dimensiones de la teoría también se enfrenta al llamado problema del paisaje .

Véase también

• Teorías escalares tensoriales de orden superior degeneradas  : teoría de la gravedad
• Dilatón  – Partícula hipotética
• Partícula camaleón  : Partícula escalar hipotética que se acopla a la materia de forma más débil que la gravedad.
• Presurón  – Partícula gravitacional hipotética
• Teoría de Horndeski  : teoría generalizada de la gravedad

Referencias

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2. Uzan, Jean-Philippe (1 de diciembre de 2011). "Constantes variables, gravitación y cosmología". Living Reviews in Relativity . 14 (1): 2. arXiv : 1009.5514 . Código Bibliográfico :2011LRR....14....2U. doi : 10.12942/lrr-2011-2 . ISSN  2367-3613. PMC 5256069 . PMID  28179829. 
3. Damour, Thibault ; Nordtvedt, Kenneth (12 de abril de 1993). "La relatividad general como atractor cosmológico de las teorías tensor-escalares". Physical Review Letters . 70 (15): 2217–2219. Bibcode :1993PhRvL..70.2217D. doi :10.1103/PhysRevLett.70.2217. PMID  10053505.
4. Damour, Thibault; Soffel, Michael; Xu, Chongming (15 de mayo de 1991). "Mecánica celeste relativista general. I. Método y definición de sistemas de referencia". Physical Review D . 43 (10): 3273–3307. Bibcode :1991PhRvD..43.3273D. doi :10.1103/PhysRevD.43.3273. PMID  10013281.
5. Minazzoli, Olivier; Chauvineau, Bertrand (2011). "Propagación escalar-tensor de la luz en el sistema solar interior, incluyendo contribuciones relevantes de c^{-4} para la medición de distancias y la transferencia de tiempo". Gravedad clásica y cuántica . 28 (8): 085010. arXiv : 1007.3942 . Bibcode :2011CQGra..28h5010M. doi :10.1088/0264-9381/28/8/085010. S2CID  119118136.
6. Genova, Antonio; Mazarico, Erwan; Goossens, Sander; Lemoine, Frank G.; Neumann, Gregory A.; Smith, David E.; Zuber, Maria T. (18 de enero de 2018). "Expansión del sistema solar y principio de equivalencia fuerte visto por la misión MESSENGER de la NASA". Nature Communications . 9 (1). Springer Science and Business Media LLC: 289. Bibcode :2018NatCo...9..289G. doi : 10.1038/s41467-017-02558-1 . ISSN  2041-1723. PMC 5773540 . PMID  29348613. 
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9. "Batalla teórica: energía oscura vs. gravedad modificada". Ars Technica . 25 de febrero de 2017 . Consultado el 27 de octubre de 2017 .
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