Teoría de Brans-Dicke

Proposed theory of gravitation

En física, la teoría de la gravitación de Brans-Dicke (a veces llamada teoría de Jordan-Brans-Dicke ) es una competidora de la teoría general de la relatividad de Einstein . Es un ejemplo de teoría escalar-tensorial , una teoría gravitacional en la que la interacción gravitacional está mediada por un campo escalar , así como por el campo tensorial de la relatividad general. No se supone que la constante gravitacional sea constante, sino que se reemplaza por un campo escalar que puede variar de un lugar a otro y con el tiempo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 1/G}$ ${\displaystyle \phi }$

La teoría fue desarrollada en 1961 por Robert H. Dicke y Carl H. Brans ^[1] basándose, entre otros, en el trabajo anterior de 1959 de Pascual Jordan . En la actualidad, tanto la teoría de Brans-Dicke como la relatividad general se consideran en general compatibles con la observación. La teoría de Brans-Dicke representa un punto de vista minoritario en física.

Comparación con la relatividad general

Tanto la teoría de Brans-Dicke como la relatividad general son ejemplos de una clase de teorías clásicas relativistas de la gravitación , llamadas teorías métricas . En estas teorías, el espacio-tiempo está equipado con un tensor métrico , y el campo gravitatorio está representado (en su totalidad o en parte) por el tensor de curvatura de Riemann , que está determinado por el tensor métrico. ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle R_{abcd}}$

Todas las teorías métricas satisfacen el principio de equivalencia de Einstein , que en lenguaje geométrico moderno establece que en una región muy pequeña (demasiado pequeña para exhibir efectos de curvatura mensurables ), todas las leyes de la física conocidas en la relatividad especial son válidas en los marcos locales de Lorentz . Esto implica a su vez que todas las teorías métricas exhiben el efecto del corrimiento al rojo gravitacional .

Al igual que en la relatividad general, se considera que la fuente del campo gravitatorio es el tensor de tensión-energía o tensor de materia . Sin embargo, la forma en que la presencia inmediata de masa-energía en alguna región afecta al campo gravitatorio en esa región difiere de la relatividad general. Lo mismo ocurre con la forma en que la curvatura del espacio-tiempo afecta al movimiento de la materia. En la teoría de Brans-Dicke, además de la métrica, que es un campo tensorial de rango dos , hay un campo escalar , , que tiene el efecto físico de cambiar la constante gravitatoria efectiva de un lugar a otro. (Esta característica fue en realidad un desideratum clave de Dicke y Brans; véase el artículo de Brans citado a continuación, que esboza los orígenes de la teoría). ${\displaystyle \phi }$

Las ecuaciones de campo de la teoría de Brans-Dicke contienen un parámetro , , llamado constante de acoplamiento de Brans-Dicke . Esta es una constante adimensional verdadera que debe elegirse de una vez por todas. Sin embargo, puede elegirse para ajustarse a las observaciones. Estos parámetros a menudo se denominan parámetros ajustables . Además, el valor ambiental actual de la constante gravitacional efectiva debe elegirse como condición de contorno . La relatividad general no contiene ningún parámetro adimensional y, por lo tanto, es más fácil de falsificar (mostrar si es falsa) que la teoría de Brans-Dicke. Las teorías con parámetros ajustables a veces se desaprueban sobre la base del principio de que, de dos teorías que concuerdan con la observación, es preferible la más parsimoniosa . Por otro lado, parece que son una característica necesaria de algunas teorías, como el ángulo de mezcla débil del Modelo Estándar . ${\displaystyle \omega }$

La teoría de Brans-Dicke es "menos estricta" que la relatividad general en otro sentido: admite más soluciones. En particular, las soluciones de vacío exactas para la ecuación de campo de Einstein de la relatividad general, aumentadas por el campo escalar trivial , se convierten en soluciones de vacío exactas en la teoría de Brans-Dicke, pero algunos espacio-tiempos que no son soluciones de vacío para la ecuación de campo de Einstein se convierten, con la elección apropiada del campo escalar, en soluciones de vacío de la teoría de Brans-Dicke. De manera similar, una clase importante de espacio-tiempos, las métricas de ondas pp , también son soluciones de polvo nulo exactas tanto de la relatividad general como de la teoría de Brans-Dicke, pero aquí también, la teoría de Brans-Dicke permite soluciones de ondas adicionales que tienen geometrías que son incompatibles con la relatividad general. ${\displaystyle \phi =1}$

Al igual que la relatividad general, la teoría de Brans-Dicke predice la desviación de la luz y la precesión del perihelio de los planetas que orbitan alrededor del Sol. Sin embargo, las fórmulas precisas que gobiernan estos efectos, según la teoría de Brans-Dicke, dependen del valor de la constante de acoplamiento . Esto significa que es posible establecer un límite inferior observacional al posible valor de a partir de observaciones del sistema solar y otros sistemas gravitacionales. El valor de consistente con el experimento ha aumentado con el tiempo. En 1973 era consistente con los datos conocidos. En 1981 era consistente con los datos conocidos. En 2003, la evidencia, derivada del experimento Cassini-Huygens , muestra que el valor de debe superar los 40.000. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega >5}$ ${\displaystyle \omega >30}$ ${\displaystyle \omega }$

También se enseña a menudo ^[2] que la relatividad general se obtiene a partir de la teoría de Brans-Dicke en el límite . Pero Faraoni ^[3] afirma que esto se rompe cuando el rastro del momento de la energía de tensión se desvanece, es decir , un ejemplo de lo cual es la solución del agujero de gusano de Campanelli - Lousto . ^[4] Algunos han argumentado ^{[ ¿quién? ] que solo la relatividad general satisface el} principio de equivalencia fuerte . ${\displaystyle \omega \rightarrow \infty }$ ${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=0}$

Las ecuaciones de campo

Las ecuaciones de campo de la teoría de Brans-Dicke son

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi }{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}\left(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}g_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi \right)+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi )-g_{ab}{\frac {V(\phi )}{2\phi }},}$

${\displaystyle \Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T+{\frac {2V(\phi )-\phi V'(\phi )}{3+2\omega }}}$

dónde

${\displaystyle \omega }$es la constante de acoplamiento de Dicke adimensional;

${\displaystyle g_{ab}}$es el tensor métrico ;

${\displaystyle G_{ab}=R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}Rg_{ab}}$es el tensor de Einstein , una especie de curvatura media;

${\displaystyle R_{ab}=R^{m}{}_{amb}}$es el tensor de Ricci , una especie de traza del tensor de curvatura;

${\displaystyle R=R^{m}{}_{m}}$es el escalar de Ricci , la traza del tensor de Ricci;

${\displaystyle T_{ab}}$es el tensor de tensión-energía ;

${\displaystyle T=T_{a}^{a}}$es el rastro del tensor de tensión-energía;

${\displaystyle \phi }$es el campo escalar;

${\displaystyle V(\phi )}$es el potencial escalar;

${\displaystyle V'(\phi )}$es la derivada del potencial escalar con respecto a ; ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \Box }$es el operador de Laplace-Beltrami u operador de onda covariante, . ${\displaystyle \Box \phi =\phi ^{;a}{}_{;a}}$

La primera ecuación describe cómo el tensor de tensión-energía y el campo escalar juntos afectan la curvatura del espacio-tiempo. El lado izquierdo, el tensor de Einstein , puede considerarse como una especie de curvatura promedio. Es una cuestión de matemática pura que, en cualquier teoría métrica, el tensor de Riemann siempre puede escribirse como la suma de la curvatura de Weyl (o tensor de curvatura conforme ) y una parte construida a partir del tensor de Einstein. ${\displaystyle \phi }$

La segunda ecuación dice que la traza del tensor de tensión-energía actúa como fuente del campo escalar . Dado que los campos electromagnéticos contribuyen solo con un término sin traza al tensor de tensión-energía, esto implica que en una región del espacio-tiempo que contiene solo un campo electromagnético (más el campo gravitacional), el lado derecho se desvanece y obedece a la ecuación de onda (espacio-tiempo curvo) . Por lo tanto, los cambios en se propagan a través de regiones de electrovacío ; en este sentido, decimos que es un campo de largo alcance . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

A modo de comparación, la ecuación de campo de la relatividad general es simplemente

${\displaystyle G_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab}.}$

Esto significa que, en la relatividad general, la curvatura de Einstein en un determinado evento está determinada en su totalidad por el tensor de tensión-energía en ese evento; la otra parte, la curvatura de Weyl, es la parte del campo gravitacional que puede propagarse como una onda gravitacional a través de una región de vacío. Pero en la teoría de Brans-Dicke, el tensor de Einstein está determinado en parte por la presencia inmediata de masa-energía y momento, y en parte por el campo escalar de largo alcance . ${\displaystyle \phi }$

Las ecuaciones de campo de vacío de ambas teorías se obtienen cuando el tensor de tensión-energía se anula. Esto modela situaciones en las que no hay campos no gravitacionales presentes.

El principio de acción

El siguiente Lagrangiano contiene la descripción completa de la teoría de Brans-Dicke: ^[5]

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi }}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left(\phi R-{\frac {\omega }{\phi }}\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi \right)+\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\,{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} },}$

donde es el determinante de la métrica, es la forma de volumen de cuatro dimensiones , y es el término de materia , o densidad lagrangiana de materia . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$

El término materia incluye la contribución de la materia ordinaria (por ejemplo, materia gaseosa) y también los campos electromagnéticos. En una región de vacío, el término materia se anula de manera idéntica; el término restante es el término gravitacional . Para obtener las ecuaciones de campo de vacío, debemos variar el término gravitacional en el lagrangiano con respecto a la métrica ; esto da la primera ecuación de campo anterior. Cuando variamos con respecto al campo escalar , obtenemos la segunda ecuación de campo. ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle \phi }$

Nótese que, a diferencia de las ecuaciones de campo de la Relatividad General, el término no se anula, ya que el resultado no es una derivada total. Se puede demostrar que ${\displaystyle \delta R_{ab}/\delta g_{cd}}$

${\displaystyle {\frac {\delta (\phi R)}{\delta g^{ab}}}=\phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b}.}$

Para demostrar este resultado, utilice

${\displaystyle \delta (\phi R)=R\delta \phi +\phi R_{mn}\delta g^{mn}+\phi \nabla _{s}(g^{mn}\delta \Gamma _{nm}^{s}-g^{ms}\delta \Gamma _{rm}^{r}).}$

Al evaluar la s en las coordenadas normales de Riemann, 6 términos individuales desaparecen. 6 términos más se combinan cuando se manipulan utilizando el teorema de Stokes para proporcionar el . ${\displaystyle \delta \Gamma }$ ${\displaystyle (g_{ab}g^{cd}\phi _{;c;d}-\phi _{;a;b})\delta g^{ab}}$

A modo de comparación, el lagrangiano que define la relatividad general es

${\displaystyle S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\,\left({\frac {R}{16\pi G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right).}$

Variando el término gravitacional con respecto a se obtiene la ecuación de campo de Einstein del vacío. ${\displaystyle g_{ab}}$

En ambas teorías, las ecuaciones de campo completas se pueden obtener mediante variaciones del Lagrangiano completo.

Véase también

• Portal de física

• Teorías clásicas de la gravitación
• Dilatón
• Relatividad general
• Principio de Mach
• Importancia científica de GW170817

Notas

1. Brans, CH; Dicke, RH (1 de noviembre de 1961). "El principio de Mach y una teoría relativista de la gravitación". Physical Review . 124 (3): 925–935. Bibcode :1961PhRv..124..925B. doi :10.1103/PhysRev.124.925.
2. Weinberg, Steven (1971). Gravitación y cosmología: principios y aplicaciones de la teoría general de la relatividad . Wiley. pág. 160. ISBN 0471925675.
3. Faroni, Valerio (1999). "Ilusiones de la relatividad general en la gravedad de Brans-Dicke". Phys. Rev . D59 (8): 084021. arXiv : gr-qc/9902083 . Código Bibliográfico :1999PhRvD..59h4021F. doi :10.1103/PhysRevD.59.084021. S2CID  7558104.
4. M. Campanelli, CO Lousto, Int. J.Mod. Física. D 02, 451 (1993) https://doi.org/10.1142/S0218271893000325
5. Georgios Kofinas, Minas Tsoukalas: On the action of the complete Brans-Dicke theory, en arXiv:1512.04786 [gr-qc], 28 de noviembre de 2016, DOI:10.1140/epjc/s10052-016-4505-y, ecuación (2.9) en la página 2. Algunos autores utilizan

   ${\displaystyle S_{M}=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$

   Para el término materia, véase Brans-Dicke-Theorie: Definición (alemán).

Referencias

• Bergmann, Peter G. (mayo de 1968). "Comentarios sobre la teoría escalar-tensor". Int. J. Theor. Phys. 1 (1): 25–36. Bibcode :1968IJTP....1...25B. doi :10.1007/BF00668828. ISSN  0020-7748. S2CID  119985328.
• Wagoner, Robert V. (junio de 1970). "Teoría del tensor escalar y ondas gravitacionales". Phys. Rev. D . 1 (12). American Physical Society : 3209–3216. Código Bibliográfico :1970PhRvD...1.3209W. doi :10.1103/PhysRevD.1.3209.
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman . ISBN. 0-7167-0344-0.Véase el recuadro 39.1 .
• Will, Clifford M. (1986). "Capítulo 8: El ascenso y la caída de la teoría de Brans-Dicke". ¿Tenía razón Einstein?: Poniendo a prueba la relatividad general . Nueva York: Basic Books . ISBN 0-19-282203-9.
• Faraoni, Valerio (2004). Cosmología en gravedad tensorial escalar . Dordrecht, Países Bajos: Kluwer Academic . ISBN. 1-4020-1988-2.

Enlaces externos

• Artículo de Scholarpedia sobre el tema escrito por Carl H. Brans
• Brans, Carl H. (2005). "Las raíces de la teoría escalar-tensorial: una historia aproximada". arXiv : gr-qc/0506063 .