La formulación del valor inicial de la relatividad general es una reformulación de la teoría de la relatividad general de Albert Einstein que describe un universo que evoluciona con el tiempo .
Cada solución de las ecuaciones de campo de Einstein abarca toda la historia de un universo; no es sólo una instantánea de cómo son las cosas, sino todo un espacio-tiempo : una declaración que abarca el estado de la materia y la geometría en todas partes y en cada momento de ese universo en particular. Por este motivo, la teoría de Einstein parece ser diferente de la mayoría de las otras teorías físicas, que especifican ecuaciones de evolución para sistemas físicos; Si el sistema se encuentra en un estado determinado en un momento dado, las leyes de la física permiten extrapolar su pasado o futuro. Para las ecuaciones de Einstein, parece haber diferencias sutiles en comparación con otros campos: interactúan entre sí (es decir, no son lineales incluso en ausencia de otros campos); son invariantes de difeomorfismo , por lo que para obtener una solución única, es necesario introducir una métrica de fondo fija y condiciones de calibre; finalmente, la métrica determina la estructura espacio-temporal y, por tanto, el dominio de dependencia de cualquier conjunto de datos iniciales, por lo que la región en la que se definirá una solución específica no está, a priori, definida. [1]
Sin embargo, existe una manera de reformular las ecuaciones de Einstein que supera estos problemas. En primer lugar, hay maneras de reescribir el espacio-tiempo como la evolución del "espacio" en el tiempo; una versión anterior de esto se debe a Paul Dirac , mientras que una forma más simple se conoce en honor a sus inventores Richard Arnowitt , Stanley Deser y Charles Misner como formalismo ADM . En estas formulaciones, también conocidas como enfoques "3+1", el espacio-tiempo se divide en una hipersuperficie tridimensional con métrica interior y una incrustación en el espacio-tiempo con curvatura exterior; estas dos cantidades son las variables dinámicas en una formulación hamiltoniana que rastrea la evolución de la hipersuperficie a lo largo del tiempo. [2] Con tal división, es posible establecer la formulación del valor inicial de la relatividad general . Implica datos iniciales que no pueden especificarse arbitrariamente pero que deben satisfacer ecuaciones de restricción específicas y que se definen en alguna variedad triple adecuadamente suave ; Al igual que con otras ecuaciones diferenciales, entonces es posible probar teoremas de existencia y unicidad , es decir, que existe un espacio-tiempo único que es una solución de las ecuaciones de Einstein, que es globalmente hiperbólico , para el cual es una superficie de Cauchy (es decir, todos los eventos pasados influyen). lo que sucede en , y todos los eventos futuros están influenciados por lo que sucede en él), y tiene la curvatura métrica interna y extrínseca especificada; todos los espaciotiempos que satisfacen estas condiciones están relacionados por isometrías . [3]
La formulación del valor inicial con su división 3+1 es la base de la relatividad numérica ; intenta simular la evolución de los espacio-tiempos relativistas (en particular, la fusión de agujeros negros o el colapso gravitacional ) utilizando computadoras. [4] Sin embargo, existen diferencias significativas con la simulación de otras ecuaciones de evolución física que hacen que la relatividad numérica sea especialmente desafiante, en particular el hecho de que los objetos dinámicos que están evolucionando incluyen el espacio y el tiempo mismos (por lo que no existe un fondo fijo contra el cual evaluar). , por ejemplo, perturbaciones que representan ondas gravitacionales) y la aparición de singularidades (que, cuando se les permite ocurrir dentro de la porción simulada del espacio-tiempo, conducen a números arbitrariamente grandes que tendrían que representarse en el modelo de computadora). [5]
