Teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel

Sistema de teoría matemática de conjuntos.

En los fundamentos de las matemáticas , la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel ( NBG ) es una teoría de conjuntos axiomática que es una extensión conservadora de la teoría de conjuntos de elección de Zermelo-Fraenkel (ZFC). NBG introduce la noción de clase , que es una colección de conjuntos definidos por una fórmula cuyos cuantificadores abarcan únicamente conjuntos. NBG puede definir clases que son más grandes que los conjuntos, como la clase de todos los conjuntos y la clase de todos los ordinales . La teoría de conjuntos de Morse-Kelley (MK) permite definir clases mediante fórmulas cuyos cuantificadores abarcan clases. NBG es finitamente axiomatizable, mientras que ZFC y MK no lo son.

Un teorema clave de NBG es el teorema de existencia de clases, que establece que para cada fórmula cuyos cuantificadores abarcan sólo conjuntos, existe una clase que consta de conjuntos que satisfacen la fórmula. Esta clase se construye reflejando la construcción paso a paso de la fórmula con clases. Dado que todas las fórmulas de la teoría de conjuntos se construyen a partir de dos tipos de fórmulas atómicas ( pertenencia e igualdad ) y un número finito de símbolos lógicos , sólo se necesitan un número finito de axiomas para construir las clases que los satisfagan. Ésta es la razón por la que NBG es finitamente axiomatizable. Las clases también se utilizan para otras construcciones, para manejar las paradojas de la teoría de conjuntos y para enunciar el axioma de elección global , que es más fuerte que el axioma de elección de ZFC .

John von Neumann introdujo las clases en la teoría de conjuntos en 1925. Las nociones primitivas de su teoría eran función y argumento . Utilizando estas nociones, definió clase y conjunto. ^[1] Paul Bernays reformuló la teoría de von Neumann tomando nociones de clase y conjunto como primitivas. ^[2] Kurt Gödel simplificó la teoría de Bernays por su prueba de consistencia relativa del axioma de elección y la hipótesis del continuo generalizado . ^[3]

clases de teoria de conjuntos

Los usos de las clases.

Las clases tienen varios usos en NBG:

• Producen una axiomatización finita de la teoría de conjuntos. ^[4]
• Se utilizan para enunciar una "forma muy fuerte del axioma de elección " ^[5] , es decir, el axioma de elección global : existe una función de elección global definida en la clase de todos los conjuntos no vacíos de modo que para cada conjunto no vacío esto es más fuerte que el axioma de elección de ZFC: para cada conjunto de conjuntos no vacíos, existe una función de elección definida tal que para todo ^[a] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(x)\in x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(x)\in x}$ ${\displaystyle x\in s.}$
• Las paradojas de la teoría de conjuntos se manejan reconociendo que algunas clases no pueden ser conjuntos. Por ejemplo, supongamos que la clase de todos los ordinales es un conjunto. Entonces es un conjunto transitivo bien ordenado por . Entonces, por definición, es un ordinal. Por lo tanto, , que contradice el buen ordenamiento de Por lo tanto, no es un conjunto. Una clase que no es un conjunto se llama clase propia ; es una clase adecuada. ^[6] ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord\in Ord}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Ord.}$ ${\displaystyle Ord}$ ${\displaystyle Ord}$
• Las clases adecuadas son útiles en las construcciones. En su prueba de la consistencia relativa del axioma de elección global y la hipótesis del continuo generalizado , Gödel utilizó clases adecuadas para construir el universo construible . Construyó una función en la clase de todos los ordinales que, para cada ordinal, construye un conjunto construible aplicando una operación de construcción de conjuntos a conjuntos previamente construidos. El universo construible es la imagen de esta función. ^[7]

Esquema de axioma versus teorema de existencia de clases

Una vez que se agregan clases al lenguaje de ZFC, es fácil transformar ZFC en una teoría de conjuntos con clases. En primer lugar, se añade el esquema axiomático de comprensión de clases. Este esquema de axioma establece: Para cada fórmula que cuantifica sólo conjuntos, existe una clase que consta de tuplas que satisfacen la fórmula, es decir, entonces el esquema de axioma de reemplazo se reemplaza por un único axioma que usa una clase. Finalmente, el axioma de extensionalidad de ZFC se modifica para manejar clases: si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son idénticas. Los demás axiomas de ZFC no se modifican. ^[8] ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n})].}$

Esta teoría no está finitamente axiomatizada. El esquema de reemplazo de ZFC ha sido reemplazado por un axioma único, pero se ha introducido el esquema de axioma de comprensión de clases.

Para producir una teoría con un número finito de axiomas, primero se reemplaza el esquema de axiomas de comprensión de clase por un número finito de axiomas de existencia de clase. Luego, estos axiomas se utilizan para demostrar el teorema de existencia de clases, que implica todos los casos del esquema del axioma. ^[8] La prueba de este teorema requiere sólo siete axiomas de existencia de clase, que se utilizan para convertir la construcción de una fórmula en la construcción de una clase que satisface la fórmula.

Axiomatización de NBG

clases y conjuntos

NBG tiene dos tipos de objetos: clases y conjuntos. Intuitivamente, cada conjunto es también una clase. Hay dos maneras de axiomatizar esto. Bernays utilizó lógica multiordenada con dos tipos: clases y conjuntos. ^[2] Gödel evitó géneros introduciendo predicados primitivos: para " es una clase" y para " es un conjunto" (en alemán, "conjunto" es Menge ). También introdujo axiomas que afirman que todo conjunto es una clase y que si una clase es miembro de una clase, entonces es un conjunto. ^[9] El uso de predicados es la forma estándar de eliminar géneros. Elliott Mendelson modificó el enfoque de Gödel haciendo que todo fuera una clase y definiendo el predicado del conjunto como ^[10] Esta modificación elimina el predicado de clase de Gödel y sus dos axiomas. ${\displaystyle {\mathfrak {Cls}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathfrak {M}}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C).}$

El enfoque doble de Bernays puede parecer más natural al principio, pero crea una teoría más compleja. ^[b] En la teoría de Bernays, todo conjunto tiene dos representaciones: una como conjunto y la otra como clase. Además, existen dos relaciones de pertenencia : la primera, denotada por "∈", está entre dos conjuntos; el segundo, denotado por "η", está entre un conjunto y una clase. ^[2] Esta redundancia es requerida por la lógica multiclasificada porque variables de diferentes tipos abarcan subdominios disjuntos del dominio del discurso .

Las diferencias entre estos dos enfoques no afectan lo que se puede probar, pero sí afectan la forma en que se escriben las declaraciones. En el enfoque de Gödel, donde y son clases es una afirmación válida. Desde el punto de vista de Bernays, esta afirmación no tiene significado. Sin embargo, si es un conjunto, existe una declaración equivalente: defina "el conjunto representa la clase " si tienen los mismos conjuntos como miembros; es decir, la declaración donde el conjunto representa la clase es equivalente a la de Gödel ^[2] ${\displaystyle A\in C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall x(x\in a\iff x\;\eta \;A).}$ ${\displaystyle a\;\eta \;C}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\in C.}$

El enfoque adoptado en este artículo es el de Gödel con la modificación de Mendelson. Esto significa que NBG es un sistema axiomático en lógica de predicados de primer orden con igualdad , y sus únicas nociones primitivas son clase y relación de membresía.

Definiciones y axiomas de extensionalidad y emparejamiento.

Un conjunto es una clase que pertenece al menos a una clase: es un conjunto si y sólo si . Una clase que no es un conjunto se llama clase propia: es una clase propia si y sólo si . ^[12] Por lo tanto, cada clase es un conjunto o una clase propia, y ninguna clase es ambas cosas. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \forall C(A\notin C)}$

Gödel introdujo la convención de que las variables en mayúsculas abarcan las clases, mientras que las variables en minúsculas abarcan los conjuntos. ^[9] Gödel también usó nombres que comienzan con una letra mayúscula para denotar clases particulares, incluidas funciones y relaciones definidas en la clase de todos los conjuntos. En este artículo se utiliza la convención de Gödel. Nos permite escribir:

• ${\displaystyle \exists x\,\phi (x)}$en lugar de ${\displaystyle \exists x{\bigl (}\exists C(x\in C)\land \phi (x){\bigr )}}$
• ${\displaystyle \forall x\,\phi (x)}$en lugar de ${\displaystyle \forall x{\bigl (}\exists C(x\in C)\implies \phi (x){\bigr )}}$

Se necesitan los siguientes axiomas y definiciones para demostrar el teorema de existencia de clases.

Axioma de extensionalidad.  Si dos clases tienen los mismos elementos, entonces son idénticas.

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,[\forall x(x\in A\iff x\in B)\implies A=B]}$ ^[13]

Este axioma generaliza el axioma de extensionalidad de ZFC a las clases.

Axioma de emparejamiento .  Siyson conjuntos, entonces existe un conjuntocuyos únicos miembros sony. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \forall x\,\forall y\,\exists p\,\forall z\,[z\in p\iff (z=x\,\lor \,z=y)]}$ ^[14]

Como en ZFC, el axioma de extensionalidad implica la unicidad del conjunto , lo que nos permite introducir la notación ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \{x,y\}.}$

Los pares ordenados se definen por:

${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$

Las tuplas se definen inductivamente utilizando pares ordenados:

${\displaystyle (x_{1})=x_{1},}$

${\displaystyle {\text{For }}n>1\!:(x_{1},\ldots ,x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-1}),x_{n}).}$^[C]

Axiomas de existencia de clases y axioma de regularidad.

Los axiomas de existencia de clases se utilizarán para demostrar el teorema de existencia de clases: para cada fórmula en variables de conjuntos libres que cuantifica solo conjuntos, existe una clase de tuplas que la satisfacen. El siguiente ejemplo comienza con dos clases que son funciones y construye una función compuesta . Este ejemplo ilustra las técnicas necesarias para demostrar el teorema de existencia de clases, que conducen a los axiomas de existencia de clases necesarios. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Los axiomas de existencia de clases se dividen en dos grupos: axiomas que manejan primitivas del lenguaje y axiomas que manejan tuplas. Hay cuatro axiomas en el primer grupo y tres axiomas en el segundo grupo. ^[d]

Axiomas para manejar primitivos del lenguaje:

Afiliación.  Existe una clase que contiene todos los pares ordenados cuyo primer componente es miembro del segundo componente. ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \exists E\,\forall x\,\forall y\,[(x,y)\in E\iff x\in y]\!}$ ^[18]

Intersección (conjunción).  Para dos clases cualesquiera y , existe una clase que consta precisamente de los conjuntos que pertenecen a ambas y . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall x\,[x\in C\iff (x\in A\,\land \,x\in B)]}$ ^[19]

Complemento (negación).  Para cualquier clase, existe una claseque consta precisamente de conjuntos que no pertenecen a. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \neg (x\in A)]}$ ^[20]

Dominio (cuantificador existencial).  Para cualquier clase , existe una clase que consta precisamente de los primeros componentes de los pares ordenados de . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,[x\in B\iff \exists y((x,y)\in A)]}$ ^[21]

Según el axioma de extensionalidad, la clase en el axioma de intersección y la clase en los axiomas de complemento y dominio son únicas. Se denotarán por: y respectivamente. ^[mi] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\cap B,}$ ${\displaystyle \complement A,}$ ${\displaystyle Dom(A),}$

Los primeros tres axiomas implican la existencia de la clase vacía y la clase de todos los conjuntos: El axioma de membresía implica la existencia de una clase Los axiomas de intersección y complemento implican la existencia de , que está vacío. Según el axioma de extensionalidad, esta clase es única; se denota por El complemento de es la clase de todos los conjuntos, que también es única por extensionalidad. El predicado establecido , que se definió como , ahora se redefine para evitar la cuantificación de clases. ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle E\cap \complement E}$ ${\displaystyle \emptyset .}$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle M(A)}$ ${\displaystyle \exists C(A\in C)}$ ${\displaystyle A\in V}$

Axiomas para el manejo de tuplas:

Producto por . ${\displaystyle V}$  Para cualquier clase, existe una claseque consta de los pares ordenados a cuyo primer componente pertenece. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall u\,[u\in B\iff \exists x\,\exists y\,(u=(x,y)\land x\in A)]}$^[23]

Permutación circular .  Para cualquier clase, existe una clasecuyas 3-tuplas se obtienen aplicando la permutación circulara las 3-tuplas de. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle (y,z,x)\mapsto (x,y,z)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (y,z,x)\in A]}$^[24]

Transposición .  Para cualquier clase, existe una clasecuyas 3-tuplas se obtienen transponiendo los dos últimos componentes de las 3-tuplas de. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B\iff (x,z,y)\in A]}$^[25]

Por extensionalidad, el producto por axioma implica la existencia de una clase única, que se denota por Este axioma se utiliza para definir la clase de todas las -tuplas : y si es una clase, la extensionalidad implica que es la clase única que consta de las -tuplas de Por ejemplo, el axioma de membresía produce una clase que puede contener elementos que no son pares ordenados, mientras que la intersección contiene solo los pares ordenados de . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A\times V.}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V^{1}=V}$ ${\displaystyle V^{n+1}=V^{n}\times V.\,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cap V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\cap V^{2}}$ ${\displaystyle E}$

Los axiomas de permutación circular y transposición no implican la existencia de clases únicas porque especifican sólo las 3 tuplas de clase. Al especificar las 3 tuplas, estos axiomas también especifican las tuplas para desde: Los axiomas para manejar tuplas y el axioma de dominio Implica el siguiente lema, que se utiliza en la prueba del teorema de existencia de clases. ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ $${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n-2},x_{n-1},x_{n})=((x_{1},\ldots ,x_{n-2}),x_{n-1},x_{n}).}$$

Lema de  tupla 

1. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{1}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(z,x,y)\in B_{1}\iff (x,y)\in A]}$$
2. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{2}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,z,y)\in B_{2}\iff (x,y)\in A]}$$
3. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{3}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y,z)\in B_{3}\iff (x,y)\in A]}$$
4. $${\displaystyle \forall A\,\exists B_{4}\,\forall x\,\forall y\,\forall z\,[(y,x)\in B_{4}\iff (x,y)\in A]}$$

Prueba

• Clase : Aplicar producto de a para producir. ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B_{3}.}$
• Clase : Aplicar transposición a producir. ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle B_{2}.}$
• Clase : Aplicar permutación circular para producir. ${\displaystyle B_{1}}$ ${\displaystyle B_{3}}$ ${\displaystyle B_{1}.}$
• Clase : aplicar permutación circular y luego aplicar dominio para producir ${\displaystyle B_{4}}$ ${\displaystyle B_{2}}$ ${\displaystyle B_{4}.}$

Se necesita un axioma más para demostrar el teorema de existencia de clases: el axioma de regularidad . Una vez demostrada la existencia de la clase vacía, se da el enunciado habitual de este axioma. ^[F]

Axioma de regularidad .  Todo conjunto no vacío tiene al menos un elemento con el que no tiene ningún elemento en común. $${\displaystyle \forall a\,[a\neq \emptyset \implies \exists u(u\in a\land u\cap a=\emptyset )].}$$

Este axioma implica que un conjunto no puede pertenecer a sí mismo: Supongamos que y dejemos que Entonces ya que Esto contradice el axioma de regularidad porque es el único elemento en Por lo tanto, el axioma de regularidad también prohíbe secuencias infinitas de pertenencia descendentes de conjuntos: ${\displaystyle x\in x}$ ${\displaystyle a=\{x\}.}$ ${\displaystyle x\cap a\neq \emptyset }$ ${\displaystyle x\in x\cap a.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle x\notin x.}$ $${\displaystyle \cdots \in x_{n+1}\in x_{n}\in \cdots \in x_{1}\in x_{0}.}$$

Gödel afirmó regularidad para las clases más que para conjuntos en su monografía de 1940, que se basó en conferencias dadas en 1938. ^[26] En 1939, demostró que la regularidad de los conjuntos implica regularidad para las clases. ^[27]

Teorema de existencia de clases

Teorema de existencia de clases  :  sea una fórmula que cuantifique solo conjuntos y no contenga otras variables libres que (no necesariamente todas). Entonces, para todos , existe una clase única de tuplas tal que: La clase se denota por ^[g] ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{(x_{1},\dots ,x_{n}):\phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})\}.}$

La demostración del teorema se realizará en dos pasos:

1. Las reglas de transformación se utilizan para transformar la fórmula dada en una fórmula equivalente que simplifica la parte inductiva de la prueba. Por ejemplo, los únicos símbolos lógicos en la fórmula transformada son , y , por lo que la inducción maneja símbolos lógicos con solo tres casos. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$
2. El teorema de existencia de clases se demuestra inductivamente para fórmulas transformadas. Guiados por la estructura de la fórmula transformada, los axiomas de existencia de clases se utilizan para producir la clase única de tuplas que satisfacen la fórmula. ${\displaystyle n}$

Reglas de transformación.  En las reglas 1 y 2 siguientes, denotan variables de conjunto o clase. Estas dos reglas eliminan todas las apariciones de variables de clase antes de an y todas las apariciones de igualdad. Cada vez que se aplica la regla 1 o 2 a una subfórmula, se elige de manera que difiera del resto de variables de la fórmula actual. Las tres reglas se repiten hasta que no quedan subfórmulas a las que se pueden aplicar. Esto produce una fórmula que se construye solo con , , , variables de conjunto y variables de clase donde no aparece antes de un . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle \in }$

1. ${\displaystyle \,Y_{k}\in \Gamma }$se transforma en ${\displaystyle \exists z_{i}(z_{i}=Y_{k}\,\land \,z_{i}\in \Gamma ).}$
2. La extensionalidad se utiliza para transformar en ${\displaystyle \Delta =\Gamma }$ ${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$
3. Las identidades lógicas se utilizan para transformar subfórmulas que contienen y en subfórmulas que solo usan y ${\displaystyle \lor ,\implies ,\iff ,}$ ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \neg ,\land ,}$ ${\displaystyle \exists .}$

Reglas de transformación: variables ligadas .  Considere la fórmula de la función compuesta del ejemplo 1 con sus variables de conjunto libre reemplazadas por y : La prueba inductiva eliminará , lo que produce la fórmula. Sin embargo, dado que el teorema de existencia de clases se establece para variables con subíndice, esta fórmula no tiene la forma esperada por el hipótesis de inducción . Este problema se resuelve reemplazando la variable con Las variables vinculadas dentro de cuantificadores anidados se manejan aumentando el subíndice en uno para cada cuantificador sucesivo. Esto lleva a la regla 4, que debe aplicarse después de las otras reglas ya que las reglas 1 y 2 producen variables cuantificadas. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle \exists t[(x_{1},t)\in F\,\land \,(t,x_{2})\in G].}$ ${\displaystyle \exists t}$ ${\displaystyle (x_{1},t)\in F\land (t,x_{2})\in G.}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x_{3}.}$

4. Si una fórmula no contiene más variables de conjunto libre que las variables vinculadas que están anidadas dentro de los cuantificadores se reemplazan por . Estas variables tienen profundidad de anidación (cuantificador) . ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x_{n+q}}$ ${\displaystyle q}$

Prueba del teorema de existencia de clases.  La prueba comienza aplicando las reglas de transformación a la fórmula dada para producir una fórmula transformada. Dado que esta fórmula es equivalente a la fórmula dada, la demostración se completa demostrando el teorema de existencia de clases para fórmulas transformadas.

Prueba del teorema de existencia de clases para fórmulas transformadas

El siguiente lema se utiliza en la prueba.

Lema de expansión  :  Sea y sea una clase que contenga todos los pares ordenados que satisfagan. Es decir, luego se puede expandir a la clase única de tuplas que satisfagan . Eso es, ${\displaystyle 1\leq i<j\leq n,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$ ${\displaystyle P\supseteq \{(x_{i},x_{j}):R(x_{i},x_{j})\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle Q=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):R(x_{i},x_{j})\}.}$

Prueba:

1. si lo dejamos ${\displaystyle i=1,}$ ${\displaystyle P_{1}=P.}$
   De lo contrario, los componentes se agregan delante de aplicar la declaración 1 del lema de tupla a con Esto produce una clase que contiene todas las tuplas que satisfacen ${\displaystyle i>1,}$ ${\displaystyle x_{i}{\text{:}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z=(x_{1},\dots ,x_{i-1}).}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle (i+1)}$ $${\displaystyle ((x_{1},\dots ,x_{i-1}),x_{i},x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{i-1},x_{i},x_{j})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
2. si lo dejamos ${\displaystyle j=i+1,}$ ${\displaystyle P_{2}=P_{1}.}$
   De lo contrario, los componentes se agregan entre sí y se agregan uno por uno usando la declaración 2 del lema de tupla. Esto produce una clase que contiene todas las tuplas que satisfacen ${\displaystyle j>i+1,}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}{\text{:}}}$ ${\displaystyle x_{i+1},\dots ,x_{j-1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle j}$ $${\displaystyle (((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{i}),x_{i+1}),\cdots ),x_{j-1}),x_{j})=(x_{1},\dots ,x_{j})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
3. si lo dejamos ${\displaystyle j=n,}$ ${\displaystyle P_{3}=P_{2}.}$
   De lo contrario, los componentes se agregan después de agregar los componentes uno por uno usando la declaración 3 del lema de tupla. Esto produce una clase que contiene todas las tuplas que satisfacen ${\displaystyle j<n,}$ ${\displaystyle x_{j}{\text{:}}}$ ${\displaystyle x_{j+1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle ((\cdots ((x_{1},\dots ,x_{j}),x_{j+1}),\cdots ),x_{n})=(x_{1},\dots ,x_{n})}$$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$
4. Sea Extensionalidad implica que es la clase única de tuplas que satisfacen ${\displaystyle Q=P_{3}\cap V^{n}.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R(x_{i},x_{j}).}$

Teorema de existencia de clases para fórmulas transformadas  :  sea una fórmula que: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})}$

1. no contiene variables libres aparte de ; ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m}}$
2. contiene solo variables de conjunto , y las variables de clase no aparecen antes de un ; ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \neg }$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle \exists }$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle \in }$ 
3. solo cuantifica variables establecidas donde es la profundidad de anidamiento del cuantificador de la variable. ${\displaystyle x_{n+q}}$ ${\displaystyle q}$

Entonces, para all , existe una clase única de tuplas tal que: ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].}$$

Prueba: Paso básico: tiene 0 símbolos lógicos. La hipótesis del teorema implica que es una fórmula atómica de la forma o ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}.}$

Caso 1: Si es , construimos la clase única de tuplas que satisfacen ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$

Caso a: es donde El axioma de membresía produce una clase que contiene todos los pares ordenados que satisfacen Aplique el lema de expansión a para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i<j.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.}$

Caso b: es donde El axioma de membresía produce una clase que contiene todos los pares ordenados que satisfacen. Aplique el enunciado del lema de tupla 4 a para obtener que contenga todos los pares ordenados que satisfagan. Aplique el lema de expansión a para obtener. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i>j.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (x_{i},x_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle (x_{j},x_{i})}$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}.}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}.}$

Caso c: es donde Dado que esta fórmula es falsa según el axioma de regularidad, ninguna tupla la satisface, por lo que ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in x_{j}}$ ${\displaystyle i=j.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle E_{i,j,n}=\emptyset .}$

Caso 2: Si es , construimos la clase única de tuplas que satisfacen ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}.}$

Caso a: es donde Aplicar el axioma del producto por a para producir la clase Aplicar el lema de expansión a para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i<n.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i+1}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$

Caso b: es donde Aplicar el axioma del producto por a para producir la clase Aplicar el enunciado del lema de tupla 4 a para obtener Aplicar el lema de expansión a para obtener ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i=n>1.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle P=Y_{k}\times V=\{(x_{i},x_{i-1}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P'=V\times Y_{k}=\{(x_{i-1},x_{i}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$ ${\displaystyle P'}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}.}$

Caso c: es donde Entonces ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{i}\in Y_{k}}$ ${\displaystyle i=n=1.}$ ${\displaystyle E_{i,Y_{k},n}=Y_{k}.}$

Paso inductivo: tiene símbolos lógicos donde . Suponga la hipótesis de inducción de que el teorema es verdadero para todos los símbolos que no sean lógicos. Ahora demostramos el teorema de con símbolos lógicos. En esta prueba, la lista de variables de clase se abrevia como , por lo que una fórmula, como por ejemplo , se puede escribir como ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle {\vec {Y}}}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$

Caso 1: Dado que tiene símbolos lógicos, la hipótesis de inducción implica que existe una clase única de -tuplas tal que: Según el axioma del complemento, existe una clase tal que Sin embargo, contiene elementos distintos de -tuplas si Para eliminar estos elementos, utilice que es el complemento relativo a la clase de todas las -tuplas. ^[e] Entonces, por extensionalidad, la clase única de -tuplas es tal que: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \quad (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$$ ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle \forall u\,[u\in \complement A\iff \neg (u\in A)].}$ ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n>1.}$ ${\displaystyle \complement _{V^{n}}A=\,}$ ${\displaystyle \complement A\cap V^{n}=\,}$ ${\displaystyle V^{n}\setminus A,}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \complement _{V^{n}}A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \complement _{V^{n}}A&&\iff \neg [(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A]\\&&&\iff \neg \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Caso 2: Dado que ambos y tienen menos símbolos que lógicos, la hipótesis de inducción implica que existen clases únicas de -tuplas, y , tales que: ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi _{1}}$ ${\displaystyle \psi _{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\\&(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\iff \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{aligned}}}$

Según los axiomas de intersección y extensionalidad, la clase única de -tuplas es tal que: ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\cap A_{2}&&\iff (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{1}\land (x_{1},\ldots ,x_{n})\in A_{2}\\&&&\iff \psi _{1}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\land \psi _{2}(x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Caso 3: La profundidad de anidamiento del cuantificador de es uno más que la de y la variable libre adicional es. Dado que tiene símbolos lógicos, la hipótesis de inducción implica que existe una clase única de -tuplas tal que: Según los axiomas de dominio y extensionalidad, es la clase única de -tuplas tal que: ^[h] ${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}})=\exists x_{n+1}\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle x_{n+1}.}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle k-1}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (n+1)}$ $${\displaystyle \quad (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A\iff \psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}}).}$$ ${\displaystyle Dom(A)}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\quad &(x_{1},\ldots ,x_{n})\in Dom(A)&&\iff \exists x_{n+1}[((x_{1},\ldots ,x_{n}),x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}[(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\in A]\\&&&\iff \exists x_{n+1}\,\psi (x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},{\vec {Y}})\\&&&\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},{\vec {Y}}).\end{alignedat}}}$$

Gödel señaló que el teorema de existencia de clases "es un metateorema , es decir, un teorema sobre el sistema [NBG], no en el sistema..." ^[30] Es un teorema sobre NBG porque se prueba en la metateoría por inducción sobre Fórmulas NBG. Además, su prueba, en lugar de invocar un número finito de axiomas de NBG, describe inductivamente cómo utilizar los axiomas de NBG para construir una clase que satisfaga una fórmula dada. Para cada fórmula, esta descripción se puede convertir en una prueba de existencia constructiva que se encuentra en NBG. Por lo tanto, este metateorema puede generar demostraciones de NBG que reemplazan los usos del teorema de existencia de clases de NBG.

Un programa de computadora recursivo captura sucintamente la construcción de una clase a partir de una fórmula dada. La definición de este programa no depende de la demostración del teorema de existencia de clases. Sin embargo, se necesita la prueba para demostrar que la clase construida por el programa satisface la fórmula dada y se construye utilizando los axiomas. Este programa está escrito en pseudocódigo que utiliza una declaración de caso estilo Pascal . ^[i] $${\displaystyle {\begin{array}{l}\mathbf {function} \;{\text{Class}}(\phi ,\,n)\\\quad {\begin{array}{rl}\mathbf {input} \!:\;\,&\phi {\text{ is a transformed formula of the form }}\phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m});\\&n{\text{ specifies that a class of }}n{\text{-tuples is returned.}}\\\;\;\;\;\mathbf {output} \!:\;\,&{\text{class }}A{\text{ of }}n{\text{-tuples satisfying }}\\&\,\forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\ldots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\ldots ,x_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{m})].\end{array}}\\\mathbf {begin} \\\quad \mathbf {case} \;\phi \;\mathbf {of} \\\qquad {\begin{alignedat}{2}x_{i}\in x_{j}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,j,n};&&{\text{// }}E_{i,j,n}\;\,=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in x_{j}\}\\x_{i}\in Y_{k}:\;\;&\mathbf {return} \;\,E_{i,Y_{k},n};&&{\text{// }}E_{i,Y_{k},n}=\{(x_{1},\dots ,x_{n}):x_{i}\in Y_{k}\}\\\neg \psi :\;\;&\mathbf {return} \;\,\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n);&&{\text{// }}\complement _{V^{n}}{\text{Class}}(\psi ,\,n)=V^{n}\setminus {\text{Class}}(\psi ,\,n)\\\psi _{1}\land \psi _{2}:\;\;&\mathbf {return} \;\,{\text{Class}}(\psi _{1},\,n)\cap {\text{Class}}(\psi _{2},\,n);&&\\\;\;\;\;\,\exists x_{n+1}(\psi ):\;\;&\mathbf {return} \;\,Dom({\text{Class}}(\psi ,\,n+1));&&{\text{// }}x_{n+1}{\text{ is free in }}\psi ;{\text{ Class}}(\psi ,\,n+1)\\&\ &&{\text{// returns a class of }}(n+1){\text{-tuples}}\end{alignedat}}\\\quad \mathbf {end} \\\mathbf {end} \end{array}}}$$

Sea la fórmula del ejemplo 2. La llamada a la función genera la clase que se compara a continuación con Esto muestra que la construcción de la clase refleja la construcción de su fórmula definitoria. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A=Class(\phi ,1)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \phi .}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi .}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\phi \;&&=\;\;\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{3}\;(x_{3}\!\in \!x_{2}))\,\land \;\;\,\exists x_{2}\,(x_{2}\!\in \!x_{1}\land \;\;\,\exists x_{3}\,(x_{3}\!\in \!x_{2}\,\land \;\;\neg \;\;\;\;\exists x_{4}\;(x_{4}\!\in \!x_{3})))\\&A\;&&=Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \;\complement _{V^{2}}\,Dom\,(\;E_{3,2,3}\;))\,\cap \,Dom\,(\;E_{2,1,2}\;\cap \,Dom\,(\;\,E_{3,2,3}\;\cap \;\complement _{V^{3}}\,Dom\,(\;E_{4,3,4}\;)))\end{alignedat}}}$$

Ampliando el teorema de existencia de clases

Gödel extendió el teorema de existencia de clases a fórmulas que contienen relaciones entre clases (como y la relación unaria ), clases especiales (como ) y operaciones (como y ). ^[32] Para ampliar el teorema de existencia de clases, las fórmulas que definen relaciones, clases especiales y operaciones deben cuantificar sólo conjuntos. Luego se puede transformar en una fórmula equivalente que satisfaga la hipótesis del teorema de existencia de clases. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle Y_{1}\subseteq Y_{2}}$ ${\displaystyle M(Y_{1})}$ ${\displaystyle Ord}$  ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}\cap Y_{1}}$ ${\displaystyle \phi }$

Las siguientes definiciones especifican cómo las fórmulas definen relaciones, clases especiales y operaciones:

1. Una relación se define por: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Una clase especial está definida por: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle u\in C\iff \psi _{C}(u).}$
3. Una operación está definida por: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle u\in P(Z_{1},\dots ,Z_{k})\iff \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$

Un término se define por:

1. Las variables y las clases especiales son términos.
2. Si es una operación con argumentos y son términos, entonces es un término. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}}$ ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$

Las siguientes reglas de transformación eliminan relaciones, clases especiales y operaciones. Cada vez que se aplica la regla 2b, 3b o 4 a una subfórmula, se elige de manera que difiera de las demás variables de la fórmula actual. Las reglas se repiten hasta que no quedan subfórmulas a las que se pueden aplicar. y denotar términos. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle \,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k},\Gamma ,}$ ${\displaystyle \Delta }$

1. Una relación se reemplaza por su fórmula definitoria. ${\displaystyle R(Z_{1},\dots ,Z_{k})}$ ${\displaystyle \psi _{R}(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
2. Sea la fórmula definitoria de la clase especial. ${\displaystyle \psi _{C}(u)}$ ${\displaystyle C.}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in C}$es reemplazado por ${\displaystyle \psi _{C}(\Delta ).}$
   2. ${\displaystyle C\in \Delta }$es reemplazado por ${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=C\land z_{i}\in \Delta ].}$
3. Sea la fórmula definitoria de la operación. ${\displaystyle \psi _{P}(u,Z_{1},\dots ,Z_{k})}$ ${\displaystyle P(Z_{1},\dots ,Z_{k}).}$
   1. ${\displaystyle \Delta \in P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})}$es reemplazado por ${\displaystyle \psi _{P}(\Delta ,\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k}).}$
   2. ${\displaystyle P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\in \Delta }$es reemplazado por ${\displaystyle \exists z_{i}[z_{i}=P(\Gamma _{1},\dots ,\Gamma _{k})\land z_{i}\in \Delta ].}$
4. La extensionalidad se utiliza para transformar en ${\displaystyle \Delta =\Gamma }$ ${\displaystyle \forall z_{i}(z_{i}\in \Delta \iff z_{i}\in \Gamma ).}$

Teorema de existencia de clases (versión extendida)  :  sea una fórmula que cuantifica solo en conjuntos, no contiene variables libres distintas de y puede contener relaciones, clases especiales y operaciones definidas por fórmulas que cuantifican solo en conjuntos. Entonces, para todos existe una clase única de tuplas tal que ^[j] ${\displaystyle \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m}}$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$

Prueba

Aplique las reglas de transformación para producir una fórmula equivalente que no contenga relaciones, clases especiales u operaciones. Esta fórmula satisface la hipótesis del teorema de existencia de clases. Por lo tanto, para todos existe una clase única de tuplas que satisfacen ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \forall x_{1}\cdots \,\forall x_{n}[(x_{1},\dots ,x_{n})\in A\iff \phi (x_{1},\dots ,x_{n},Y_{1},\dots ,Y_{m})].}$$

Establecer axiomas

Los axiomas de emparejamiento y regularidad, necesarios para demostrar el teorema de existencia de clases, se han indicado anteriormente. NBG contiene otros cuatro axiomas establecidos. Tres de estos axiomas tratan de operaciones de clase aplicadas a conjuntos.

Definición.  es una función si ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F\subseteq V^{2}\land \forall x\,\forall y\,\forall z\,[(x,y)\in F\,\land \,(x,z)\in F\implies y=z].}$$

En la teoría de conjuntos, la definición de una función no requiere especificar el dominio o codominio de la función (ver Función (teoría de conjuntos) ). La definición de función de NBG generaliza la definición de ZFC de un conjunto de pares ordenados a una clase de pares ordenados.

Las definiciones de ZFC de las operaciones de conjuntos de imagen , unión y conjunto de potencias también se generalizan a operaciones de clase. La imagen de la clase bajo la función es Esta definición no requiere que La unión de la clase es La clase potencia de es La versión extendida del teorema de existencia de clases implica la existencia de estas clases. Los axiomas de reemplazo, unión y conjunto potencia implican que cuando estas operaciones se aplican a conjuntos, producen conjuntos. ^[34] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F[A]=\{y:\exists x(x\in A\,\land \,(x,y)\in F)\}.}$ ${\displaystyle A\subseteq Dom(F).}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \cup A=\{x:\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in A)\}.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{x:x\subseteq A\}.}$

Axioma de sustitución.  Si es una función y es un conjunto, entonces , la imagen de debajo es un conjunto. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F[a]}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle \forall F\,\forall a\,[F{\text{ is a function}}\implies \exists b\,\forall y\,(y\in b\iff \exists x(x\in a\,\land \,(x,y)\in F))].}$$

No tener el requisito en la definición de produce un axioma de reemplazo más fuerte, que se utiliza en la siguiente prueba. ${\displaystyle A\subseteq Dom(F)}$ ${\displaystyle F[A]}$

Teorema ( axioma de separación de NBG )  :  si es un conjunto y es una subclase de entonces es un conjunto. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle B}$

Prueba

El teorema de existencia de clases construye la restricción de la función identidad a : Dado que la imagen de debajo es , el axioma de reemplazo implica que es un conjunto. Esta prueba depende de que la definición de imagen no tenga el requisito ya que en lugar de ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}=\{(x_{1},x_{2}):x_{1}\in B\land x_{2}=x_{1}\}.}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle I{\upharpoonright _{B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a\subseteq Dom(F)}$ ${\displaystyle Dom(I{\upharpoonright _{B}})=B\subseteq a}$ ${\displaystyle a\subseteq Dom(I{\upharpoonright _{B}}).}$

Axioma de unión.  Si es un conjunto, entonces hay un conjunto que contiene ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cup a.}$ $${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,[\,\exists y(x\in y\,\,\land \,y\in a)\implies x\in b\,].}$$

Axioma del conjunto de potencias.  Si es un conjunto, entonces hay un conjunto que contiene ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a).}$

${\displaystyle \forall a\,\exists b\,\forall x\,(x\subseteq a\implies x\in b).}$^[k]

Teorema  :  si es un conjunto, entonces y son conjuntos. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$

Prueba

El axioma de unión establece que es una subclase de un conjunto , por lo que el axioma de separación implica que es un conjunto. Asimismo, el axioma de conjunto de potencias establece que es una subclase de un conjunto , por lo que el axioma de separación implica que es un conjunto. ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \cup a}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(a)}$

Axioma del infinito.  Existe un conjunto no vacío tal que para todo in , existe un in tal que es un subconjunto adecuado de . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \exists a\,[\exists u(u\in a)\,\land \,\forall x(x\in a\implies \exists y(y\in a\,\land \,x\subset y))].}$$

Los axiomas de infinito y reemplazo prueban la existencia del conjunto vacío . En la discusión de los axiomas de existencia de clase se demostró la existencia de una clase vacía . Ahora demostramos que es un conjunto. Sea función y sea el conjunto dado por el axioma del infinito. Por reemplazo, la imagen de under , que es igual a , es un conjunto. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle F=\emptyset }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \emptyset }$

El axioma de infinito de NBG está implícito en el axioma de infinito de ZFC : la primera conjunción del axioma de ZFC, implica la primera conjunción del axioma de NBG. La segunda conjunción del axioma de ZFC, implica la segunda conjunción del axioma de NBG ya que para demostrar el axioma de infinito de ZFC a partir del axioma de infinito de NBG se requieren algunos de los otros axiomas de NBG (ver Axioma débil de infinito ). ^[l] ${\displaystyle \,\exists a\,[\emptyset \in a\,\land \,\forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)].\,}$ ${\displaystyle \emptyset \in a}$ ${\displaystyle \forall x(x\in a\implies x\cup \{x\}\in a)}$ ${\displaystyle x\subset x\cup \{x\}.}$

Axioma de elección global

El concepto de clase permite a NBG tener un axioma de elección más fuerte que ZFC. Una función de elección es una función definida en un conjunto de conjuntos no vacíos de modo que, para todos los estados del axioma de elección de ZFC, existe una función de elección para cada conjunto de conjuntos no vacíos. Una función de elección global es una función definida en la clase de todos los conjuntos no vacíos de modo que para cada conjunto no vacío. El axioma de elección global establece que existe una función de elección global. Este axioma implica el axioma de elección de ZFC ya que para cada conjunto de conjuntos no vacíos, (la restricción de a ) es una función de elección para En 1964, William B. Easton demostró que la elección global es más fuerte que el axioma de elección al utilizar el forzamiento para construir un modelo que satisface el axioma de elección y todos los axiomas de NBG excepto el axioma de elección global. ^[38] El axioma de elección global es equivalente a que cada clase tenga un buen orden, mientras que el axioma de elección de ZFC es equivalente a que cada conjunto tenga un buen orden. ^[metro] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle f(x)\in x}$ ${\displaystyle x\in s.}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G(x)\in x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle G\vert _{s}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s.}$

Axioma de elección global.  Existe una función que elige un elemento de cada conjunto no vacío.

${\displaystyle \exists G\,[G{\text{ is a function}}\,\land \forall x(x\neq \emptyset \implies \exists y(y\in x\land (x,y)\in G))].}$

Historia

Historia de los enfoques que llevaron a la teoría de conjuntos NBG

Sistema de axiomas de Von Neumann de 1925

Von Neumann publicó un artículo introductorio sobre su sistema de axiomas en 1925. En 1928, proporcionó un tratamiento detallado de su sistema. ^[39] Von Neumann basó su sistema de axiomas en dos dominios de objetos primitivos : funciones y argumentos. Estos dominios se superponen: los objetos que se encuentran en ambos dominios se denominan funciones-argumento. Las funciones corresponden a clases en NBG y las funciones de argumentos corresponden a conjuntos. La operación primitiva de Von Neumann es la aplicación de funciones , denotada por [ a ,  x ] en lugar de a ( x ), donde a es una función y x es un argumento. Esta operación produce un argumento. Von Neumann definió clases y conjuntos utilizando funciones y funciones-argumento que toman sólo dos valores , A y B. Definió x  ∈  a si [ a ,  x ] ≠  A . ^[1]

El trabajo de Von Neumann en teoría de conjuntos fue influenciado por los artículos de Georg Cantor , los axiomas para la teoría de conjuntos de Ernst Zermelo de 1908 y las críticas de 1922 a la teoría de conjuntos de Zermelo que fueron dadas de forma independiente por Abraham Fraenkel y Thoralf Skolem . Tanto Fraenkel como Skolem señalaron que los axiomas de Zermelo no pueden probar la existencia del conjunto { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} donde Z ₀ es el conjunto de números naturales y Z _{n +1} es el conjunto potencia de Z _n . Luego introdujeron el axioma de reemplazo, que garantizaría la existencia de tales conjuntos. ^{[40] [n]} Sin embargo, se mostraron reacios a adoptar este axioma: Fraenkel afirmó "que el Reemplazo era un axioma demasiado fuerte para la 'teoría general de conjuntos'", mientras que "Skolem sólo escribió que 'podríamos introducir' el Reemplazo". ^[42]

Von Neumann trabajó en los problemas de la teoría de conjuntos de Zermelo y proporcionó soluciones para algunos de ellos:

• Una teoría de los ordinales
  • Problema: La teoría de los números ordinales de Cantor no puede desarrollarse en la teoría de conjuntos de Zermelo porque carece del axioma de sustitución. ^[o]
  • Solución: Von Neumann recuperó la teoría de Cantor definiendo los ordinales usando conjuntos que están bien ordenados por la relación ∈, ^[p] y usando el axioma de reemplazo para demostrar teoremas clave sobre los ordinales, como que todo conjunto bien ordenado es orden isomorfo con un ordinal. ^[o] A diferencia de Fraenkel y Skolem, von Neumann enfatizó lo importante que es el axioma de reemplazo para la teoría de conjuntos: "De hecho, creo que ninguna teoría de ordinales es posible sin este axioma". ^[45]
• Un criterio que identifica clases que son demasiado grandes para ser conjuntos.
  • Problema: Zermelo no proporcionó tal criterio. Su teoría de conjuntos evita las grandes clases que conducen a las paradojas , pero deja fuera muchos conjuntos, como el mencionado por Fraenkel y Skolem. ^[q]
  • Solución: Von Neumann introdujo el criterio: una clase es demasiado grande para ser un conjunto si y sólo si se puede asignar a la clase V de todos los conjuntos. Von Neumann se dio cuenta de que las paradojas de la teoría de conjuntos podrían evitarse si no se permitiera que clases tan grandes fueran miembros de ninguna clase. Combinando esta restricción con su criterio, obtuvo su axioma de limitación de tamaño : una clase C no es miembro de ninguna clase si y sólo si C puede mapearse en V. ^{[48] ​​[r]}
• Axiomatización finita
  • Problema: Zermelo había utilizado el concepto impreciso de " función proposicional definida " en su axioma de separación .
  • Soluciones: Skolem introdujo el esquema axiomático de separación que luego se utilizó en ZFC y Fraenkel introdujo una solución equivalente. ^[50] Sin embargo, Zermelo rechazó ambos enfoques "particularmente porque implican implícitamente el concepto de número natural que, en opinión de Zermelo, debería basarse en la teoría de conjuntos". ^[s] Von Neumann evitó los esquemas de axiomas formalizando el concepto de "función proposicional definida" con sus funciones, cuya construcción requiere sólo un número finito de axiomas. Esto llevó a que su teoría de conjuntos tuviera un número finito de axiomas. ^[51] En 1961, Richard Montague demostró que ZFC no puede ser axiomatizado de forma finita. ^[52]
• El axioma de la regularidad.
  • Problema: La teoría de conjuntos de Zermelo comienza con el conjunto vacío y un conjunto infinito, e itera los axiomas de emparejamiento, unión, conjunto potencia, separación y elección para generar nuevos conjuntos. Sin embargo, no restringe los conjuntos a estos. Por ejemplo, permite conjuntos que no están bien fundamentados , como un conjunto x que satisface x  ∈  x . ^[t]
  • Soluciones: Fraenkel introdujo un axioma para excluir estos conjuntos. Von Neumann analizó el axioma de Fraenkel y afirmó que no estaba "formulado con precisión", pero diría aproximadamente: "Además de los conjuntos... cuya existencia es absolutamente requerida por los axiomas, no hay más conjuntos". ^[54] Von Neumann propuso el axioma de regularidad como una forma de excluir conjuntos no bien fundamentados, pero no lo incluyó en su sistema de axiomas. En 1930, Zermelo se convirtió en el primero en publicar un sistema de axiomas que incluía regularidad. ^[tú]

Sistema de axiomas de Von Neumann de 1929

Juan von Neumann

En 1929, von Neumann publicó un artículo que contenía los axiomas que conducirían al NBG.Este artículo fue motivado por su preocupación por la consistencia del axioma de limitación de tamaño. Afirmó que este axioma "hace mucho, en realidad demasiado". Además de implicar los axiomas de separación y reemplazo y el teorema del buen orden , también implica que cualquier clase cuya cardinalidad sea menor que la de V es un conjunto. Von Neumann pensó que esta última implicación iba más allá de la teoría de conjuntos cantoriana y concluyó: "Por lo tanto, debemos discutir si su consistencia [del axioma] no es incluso más problemática que una axiomatización de la teoría de conjuntos que no vaya más allá del marco cantoriano necesario". ^[57]

Von Neumann comenzó su investigación de consistencia introduciendo su sistema de axiomas de 1929, que contiene todos los axiomas de su sistema de axiomas de 1925 excepto el axioma de limitación de tamaño. Reemplazó este axioma con dos de sus consecuencias, el axioma de reemplazo y un axioma de elección. El axioma de elección de Von Neumann establece: "Toda relación R tiene una subclase que es una función con el mismo dominio que R ". ^[58]

Sea S el sistema de axiomas de von Neumann de 1929. Von Neumann introdujo el sistema de axiomas S + Regularidad (que consta de S y el axioma de regularidad) para demostrar que su sistema de 1925 es consistente con respecto a S. Él demostró:

1. Si S es consistente, entonces S + Regularidad es consistente.
2. S + Regularidad implica el axioma de limitación de tamaño. Dado que este es el único axioma de su sistema de axiomas de 1925 que S + Regularidad no tiene, S + Regularidad implica todos los axiomas de su sistema de 1925.

Estos resultados implican: Si S es consistente, entonces el sistema de axiomas de von Neumann de 1925 es consistente. Prueba: Si S es consistente, entonces S + Regularidad es consistente (resultado 1). Utilizando la prueba por contradicción , supongamos que el sistema de axiomas de 1925 es inconsistente, o de manera equivalente: el sistema de axiomas de 1925 implica una contradicción. Dado que S + Regularidad implica los axiomas del sistema de 1925 (resultado 2), S + Regularidad también implica una contradicción. Sin embargo, esto contradice la consistencia de S + Regularidad. Por lo tanto, si S es consistente, entonces el sistema de axiomas de von Neumann de 1925 es consistente.

Dado que S es su sistema de axiomas de 1929, el sistema de axiomas de von Neumann de 1925 es consistente con respecto a su sistema de axiomas de 1929, que está más cerca de la teoría de conjuntos cantoriana. Las principales diferencias entre la teoría de conjuntos cantoriana y el sistema de axiomas de 1929 son las clases y el axioma de elección de von Neumann. Bernays y Gödel modificaron el sistema de axiomas S + Regularidad para producir el sistema de axiomas NBG equivalente.

El sistema de axiomas de Bernays.

Pablo Bernays

En 1929, Paul Bernays comenzó a modificar el nuevo sistema de axiomas de von Neumann tomando clases y conjuntos como primitivos. Publicó su trabajo en una serie de artículos que aparecieron entre 1937 y 1954. ^[59] Bernays afirmó que:

El propósito de modificar el sistema von Neumann es permanecer más cerca de la estructura del sistema Zermelo original y utilizar al mismo tiempo algunos de los conceptos de la teoría de conjuntos de la lógica de Schröder y de los Principia Mathematica que se han vuelto familiares para los lógicos. Como se verá, de esta disposición se deriva una simplificación considerable. ^[60]

Bernays manejó conjuntos y clases en una lógica de dos tipos e introdujo dos primitivas de membresía: una para la membresía en conjuntos y otra para la membresía en clases. Con estos primitivos, reescribió y simplificó los axiomas de von Neumann de 1929. Bernays también incluyó el axioma de regularidad en su sistema de axiomas. ^[61]

Sistema de axiomas de Gödel (NBG)

Kurt Gödel, c. 1926    

En 1931, Bernays envió una carta que contenía su teoría de conjuntos a Kurt Gödel . ^[36] Gödel simplificó la teoría de Bernays al hacer de cada conjunto una clase, lo que le permitió usar solo un tipo y una membresía primitiva. También debilitó algunos de los axiomas de Bernays y reemplazó el axioma de elección de von Neumann por el axioma equivalente de elección global. ^{[62] [v]} Gödel utilizó sus axiomas en su monografía de 1940 sobre la consistencia relativa de la elección global y la hipótesis del continuo generalizado. ^[63]

Se han dado varias razones por las que Gödel eligió NBG para su monografía: ^[w]

• Gödel dio una razón matemática: la elección global de NBG produce un teorema de consistencia más fuerte: "Esta forma más fuerte del axioma [de elección], si es consistente con los otros axiomas, implica, por supuesto, que una forma más débil también es consistente". ^[5]
• Robert Solovay conjeturó: "Mi conjetura es que él [Gödel] deseaba evitar una discusión sobre los tecnicismos involucrados en el desarrollo de los rudimentos de la teoría de modelos dentro de la teoría de conjuntos axiomáticos". ^{[67] [x]}
• Kenneth Kunen dio una razón para que Gödel evitara esta discusión: "También hay un enfoque mucho más combinatorio de L [el universo construible ], desarrollado por... [Gödel en su monografía de 1940] en un intento de explicar su trabajo a los no- lógicos... Este enfoque tiene el mérito de eliminar todos los vestigios de lógica del tratamiento de L. " ^[68]
• Charles Parsons proporcionó una razón filosófica para la elección de Gödel: "Esta visión [de que la 'propiedad de conjunto' es una primitiva de la teoría de conjuntos] puede reflejarse en la elección de Gödel de una teoría con variables de clase como marco para... [su monografía] ". ^[69]

El logro de Gödel junto con los detalles de su presentación llevaron a la prominencia que NBG disfrutaría durante las siguientes dos décadas. ^[70] En 1963, Paul Cohen demostró sus pruebas de independencia para ZF con la ayuda de algunas herramientas que Gödel había desarrollado para sus pruebas de consistencia relativa para NBG. ^[71] Más tarde, ZFC se hizo más popular que NBG. Esto fue causado por varios factores, incluido el trabajo adicional requerido para manejar el forzamiento en NBG, ^[72] la presentación del forzamiento de Cohen en 1966, que utilizó ZF, ^{[73] [y]} y la prueba de que NBG es una extensión conservadora de ZFC. ^[z]

NBG, ZFC y MK

NBG no es lógicamente equivalente a ZFC porque su lenguaje es más expresivo: puede hacer declaraciones sobre clases, que no se pueden hacer en ZFC. Sin embargo, NBG y ZFC implican las mismas afirmaciones sobre los conjuntos. Por tanto, NBG es una extensión conservadora de ZFC. NBG implica teoremas que ZFC no implica, pero dado que NBG es una extensión conservadora, estos teoremas deben involucrar clases adecuadas. Por ejemplo, es un teorema de NBG que el axioma global de elección implica que la clase adecuada V puede estar bien ordenada y que cada clase adecuada puede ponerse en correspondencia uno a uno con V. ^{[Automóvil club británico]}

Una consecuencia de la extensión conservadora es que ZFC y NBG son equiconsistentes . Para demostrar esto se utiliza el principio de explosión : a partir de una contradicción , todo es demostrable. Supongamos que ZFC o NBG son inconsistentes. Entonces la teoría inconsistente implica los enunciados contradictorios ∅ = ∅ y ∅ ≠ ∅, que son enunciados sobre conjuntos. Por la propiedad de extensión conservadora, la otra teoría también implica estas afirmaciones. Por tanto, también es inconsistente. Entonces, aunque NBG es más expresivo, es equiconsistente con ZFC. Este resultado, junto con la prueba de consistencia relativa de von Neumann de 1929, implica que su sistema de axiomas de 1925 con el axioma de limitación de tamaño es equiconsistente con ZFC. Esto resuelve completamente la preocupación de von Neumann sobre la relativa coherencia de este poderoso axioma, ya que ZFC se encuentra dentro del marco cantoriano.

Aunque NBG es una extensión conservadora de ZFC, un teorema puede tener una demostración más corta y elegante en NBG que en ZFC (o viceversa). Para un estudio de los resultados conocidos de esta naturaleza, véase Pudlák 1998.

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley tiene un esquema de axioma de comprensión de clases que incluye fórmulas cuyos cuantificadores abarcan clases. MK es una teoría más fuerte que NBG porque MK demuestra la consistencia de NBG, ^[76] mientras que el segundo teorema de incompletitud de Gödel implica que NBG no puede probar la consistencia de NBG.

Para una discusión de algunas cuestiones ontológicas y otras cuestiones filosóficas planteadas por NBG, especialmente en comparación con ZFC y MK, consulte el Apéndice C de Potter 2004.

Modelos

ZFC, NBG y MK tienen modelos que se pueden describir en términos de la jerarquía acumulativa V _α  y la jerarquía construible L _α  . Sea V un cardinal κ inaccesible, sea X ⊆ V _κ y denote por Def( X ) la clase de subconjuntos definibles de primer orden de X con parámetros. En símbolos donde " " denota el modelo con dominio y relación , y " " denota la relación de satisfacción : ${\displaystyle (X,\in )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \models }$ $${\displaystyle \operatorname {Def} (X):={\Bigl \{}\{x\mid x\in X{\text{ and }}(X,\in )\models \phi (x,y_{1},\ldots ,y_{n})\}:\phi {\text{ is a first-order formula and }}y_{1},\ldots ,y_{n}\in X{\Bigr \}}.}$$

Entonces:

• ${\displaystyle (V_{\kappa },\in )}$y son modelos de ZFC . ^[77] ${\displaystyle (L_{\kappa },\in )}$
• ( V _κ ,  V _κ+1 , ∈) es un modelo de MK donde V _κ consta de los conjuntos del modelo y V _κ+1 consta de las clases del modelo. ^[78] Dado que un modelo de MK es un modelo de NBG, este modelo también es un modelo de NBG.
• ( V _κ , Def( V _κ ), ∈) es un modelo de la versión de NBG de Mendelson, que reemplaza el axioma de elección global de NBG por el axioma de elección de ZFC. ^[79] Los axiomas de ZFC son verdaderos en este modelo porque ( V _κ , ∈) es un modelo de ZFC. En particular, el axioma de elección de ZFC se mantiene, pero la elección global de NBG puede fracasar. ^[ab] Los axiomas de existencia de clases de NBG son verdaderos en este modelo porque las clases cuya existencia afirman pueden definirse mediante definiciones de primer orden. Por ejemplo, el axioma de membresía se cumple ya que la clase está definida por: ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E=\{x\in V_{\kappa }:(V_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.}$$
• ( L _κ , L _{κ ⁺} , ∈), donde κ ⁺ es el cardinal sucesor de κ, es un modelo de NBG. ^[ac] Los axiomas de existencia de clases de NBG son verdaderos en ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈). Por ejemplo, el axioma de membresía se cumple ya que la clase está definida por: Entonces E  ∈ 𝒫( L _κ ). En su demostración de que GCH es verdadera en L , Gödel demostró que 𝒫( L _κ ) ⊆  L _{κ ⁺} . ^[81] Por lo tanto, E  ∈  L _{κ ⁺} , por lo que el axioma de membresía es verdadero en ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈). Asimismo, los otros axiomas de existencia de clases son verdaderos. El axioma de elección global es verdadero porque L _κ está bien ordenado por la restricción de la función de Gödel (que asigna la clase de ordinales a los conjuntos construibles) a los ordinales menores que κ. Por lo tanto, ( L _κ ,  L _{κ ⁺} , ∈) es un modelo de NBG. ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E=\{x\in L_{\kappa }:(L_{\kappa },\in )\models \exists u\ \exists v[x=(u,v)\land u\in v]\}.}$$
• Si es un modelo no estándar de , entonces es equivalente a "existe tal que ", donde es el conjunto de subconjuntos de que se pueden definir sobre . ^[82] Esto proporciona una parte de segundo orden para extender un modelo no estándar de primer orden dado a un modelo no estándar de , si es que existe tal extensión. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$ ${\displaystyle (M,\mathrm {Def} (M))\vDash \mathrm {GB} +\Delta _{1}^{1}{\text{-CA}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (M,X)\vDash \mathrm {GB} +\Delta _{1}^{1}{\text{-CA}}}$ ${\displaystyle \mathrm {Def} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {ZFC} }$ ${\displaystyle \mathrm {GB} }$

Teoría de categorías

La ontología de NBG proporciona un andamiaje para hablar de "objetos grandes" sin correr el riesgo de paradojas. Por ejemplo, en algunos desarrollos de la teoría de categorías , una " categoría grande " se define como aquella cuyos objetos y morfismos constituyen una clase adecuada. Por otro lado, una "categoría pequeña" es aquella cuyos objetos y morfismos son miembros de un conjunto. Así, podemos hablar de " categoría de todos los conjuntos " o " categoría de todas las categorías pequeñas " sin correr el riesgo de hacer paradojas, ya que NBG admite categorías grandes.

Sin embargo, NBG no admite una "categoría de todas las categorías", ya que categorías grandes serían miembros de ella y NBG no permite que clases adecuadas sean miembros de nada. Una extensión ontológica que nos permite hablar formalmente de tal "categoría" es el conglomerado , que es una colección de clases. Entonces la "categoría de todas las categorías" se define por sus objetos: el conglomerado de todas las categorías; y sus morfismos: el conglomerado de todos los morfismos de A a B donde A y B son objetos. ^[83] Sobre si una ontología que incluya clases y conjuntos es adecuada para la teoría de categorías, véase Muller 2001.

Notas

1. El axioma de elección global explica por qué es demostrablemente más fuerte.
2. El desarrollo histórico sugiere que el enfoque de dos tipos parece más natural al principio. Al presentar su teoría, Bernays afirmó: "De acuerdo con la idea principal de la teoría de conjuntos de von Neumann, tenemos que tratar con dos tipos de individuos, que podemos distinguir como conjuntos y clases ". ^[11]
3. Gödel definido . ^[15] Esto afecta los enunciados de algunas de sus definiciones, axiomas y teoremas. Este artículo utiliza la definición de Mendelson. ^[dieciséis] ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{1},(x_{2},\ldots ,x_{n}))}$ 
4. Los axiomas de existencia de clases de Bernays especifican clases únicas. Gödel debilitó todos los axiomas de Bernays excepto tres (intersección, complemento, dominio) al reemplazar los bicondicionales con implicaciones , lo que significa que especifican solo los pares ordenados o las 3 tuplas de la clase. Los axiomas de esta sección son los de Gödel, excepto el producto más fuerte de Bernays por el axioma V, que especifica una clase única de pares ordenados. El axioma de Bernays simplifica la prueba del teorema de existencia de clases. El axioma B6 de Gödel aparece como el cuarto enunciado del lema de la tupla. Bernays se dio cuenta más tarde de que uno de sus axiomas es redundante, lo que implica que uno de los axiomas de Gödel es redundante. Utilizando los otros axiomas, el axioma B6 se puede demostrar a partir del axioma B8 y B8 se puede demostrar a partir de B6, por lo que cualquiera de los axiomas puede considerarse el axioma redundante. ^[17] Los nombres de los axiomas de manejo de tuplas provienen del artículo francés de Wikipédia: Théorie des ensembles de von Neumann.
5. Este artículo utiliza la notación de complemento relativo y la notación de complemento de Bourbaki . ^[22] Esta notación de complemento relativo de prefijo es utilizada por el teorema de existencia de clases para reflejar el prefijo lógico not ( ). ${\displaystyle \complement A}$ ${\displaystyle \complement _{X}A=\complement A\cap X}$ ${\displaystyle \neg }$
6. Dado que Gödel establece este axioma antes de demostrar la existencia de la clase vacía, lo afirma sin utilizar la clase vacía. ^[5]
7. Las pruebas de esta y la siguiente sección provienen de las pruebas de Gödel, que presentó en el Instituto de Estudios Avanzados , donde "podía contar con una audiencia bien versada en lógica matemática ". ^[28] Para que las pruebas de Gödel sean más accesibles para los lectores de Wikipedia, se han realizado algunas modificaciones. El objetivo de esta sección y de la siguiente es demostrar el M4 de Gödel, su cuarto teorema de existencia de clases. La prueba en esta sección sigue principalmente la prueba M1, ^[29] pero también utiliza técnicas de las pruebas M3 y M4. El teorema se expresa con variables de clase en lugar de los símbolos de M1 para clases especiales (la cuantificación universal de las variables de clase equivale a ser cierta para cualquier instanciación de las variables de clase). Las principales diferencias con la prueba M1 son: se generan clases únicas de tuplas al final de la base y los pasos inductivos (que requieren el producto por axioma más fuerte de Bernays), y las variables ligadas se reemplazan por variables con subíndices que continúan la numeración de la variables de conjunto libre. Dado que las variables ligadas están libres durante parte de la inducción, esto garantiza que, cuando estén libres, sean tratadas de la misma manera que las variables libres originales. Uno de los beneficios de esta prueba es el resultado de ejemplo de la función Clase, que muestra que la construcción de una clase refleja la construcción de su fórmula definitoria. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$
8. Un detalle ha quedado fuera de esta prueba. Se está utilizando la convención de Gödel, por lo que se define como Dado que esta fórmula cuantifica sobre clases, debe reemplazarse con el equivalente. Entonces las tres fórmulas en la prueba tienen la forma que produce una prueba válida. ${\displaystyle \exists x\,\phi (x)}$ ${\displaystyle \exists x[\exists C(x\in C)\land \phi (x)].}$ ${\displaystyle \exists x[x\in V\land \phi (x)].}$ ${\displaystyle \exists x_{n+1}[x_{n+1}\land \dots ]}$ ${\displaystyle \exists x_{n+1}[x_{n+1}\in V\land \dots ],}$
9. Los programas informáticos recursivos escritos en pseudocódigo se han utilizado en otros lugares de matemáticas puras . Por ejemplo, se han utilizado para demostrar el teorema de Heine-Borel y otros teoremas de análisis . ^[31]
10. Este teorema es el teorema M4 de Gödel. Lo demostró demostrando primero M1, un teorema de existencia de clases que utiliza símbolos para clases especiales en lugar de variables de clase libres. M1 produce una clase que contiene todas las -tuplas que satisfacen , pero que puede contener elementos que no son -tuplas . El teorema M2 extiende este teorema a fórmulas que contienen relaciones, clases especiales y operaciones. El teorema M3 se obtiene de M2 ​​reemplazando los símbolos de clases especiales con variables libres. Gödel usó M3 para definir cuál es único por extensionalidad. Solía ​​​​definir el teorema M4 que se obtiene de M3 intersectando la clase producida por M3 para producir la clase única de tuplas que satisfacen la fórmula dada. El enfoque de Gödel, especialmente su uso de M3 para definir , elimina la necesidad de la forma más fuerte del producto por axioma de Bernays. ^[33] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle A\times B=\{x:\exists y\exists z[x=(y,z)\land y\in A\land z\in B]\},}$$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle V^{n}.}$ ${\displaystyle V^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle V}$
11. Gödel debilitó los axiomas de unión y conjunto de poderes de Bernays, que establecen la existencia de estos conjuntos, a los axiomas anteriores que establecen que hay un conjunto que contiene la unión y un conjunto que contiene el conjunto de poderes. ^[35] Bernays publicó sus axiomas después de Gödel, pero se los había enviado a Gödel en 1931. ^[36]
12. Dado que el axioma de ZFC requiere la existencia del conjunto vacío, una ventaja del axioma de NBG es que el axioma del conjunto vacío no es necesario. El sistema de axiomas de Mendelson utiliza el axioma del infinito de ZFC y también tiene el axioma del conjunto vacío. ^[37]
13. Para tener una elección global que implique un buen orden, consulte Implicaciones del axioma de limitación de tamaño . Para una elección global que implica el buen ordenamiento de cualquier clase, véase Kanamori 2009, p. 53. ${\displaystyle V}$
14. En 1917, Dmitry Mirimanoff publicó una forma de reemplazo basada en la equivalencia cardinal. ^[41]
15. En 1928, von Neumann declaró: "Zermelo conoció en 1916 un tratamiento del número ordinal estrechamente relacionado con el mío, como supe posteriormente por una comunicación personal. Sin embargo, el teorema fundamental, según el cual a cada conjunto bien ordenado existe un ordinal similar, no se pudo demostrar rigurosamente porque se desconocía el axioma de reemplazo". ^[43]
16. von Neumann 1923. La definición de von Neumann también utilizó la teoría de conjuntos bien ordenados. Posteriormente, su definición se simplificó a la actual: Un ordinal es un conjunto transitivo que está bien ordenado por ∈. ^[44]
17. Después de introducir la jerarquía acumulativa , von Neumann pudo demostrar que los axiomas de Zermelo no prueban la existencia de ordinales α ≥ ω + ω, que incluyen incontables conjuntos hereditariamente contables . Esto se deduce del resultado de Skolem de que V _ω+ω satisface los axiomas de Zermelo ^[46] y de α ∈ V _β que implica α < β. ^[47]
18. Von Neumann expresó su axioma en una forma funcional equivalente. ^[49]
19. El enfoque de Skolem implica implícitamente números naturales porque las fórmulas de un esquema axioma se construyen mediante recursividad estructural , que es una generalización de la recursividad matemática sobre los números naturales.
20. Mirimanoff definió conjuntos bien fundados en 1917. ^[53]
21. Akihiro Kanamori señala que Bernays dio una conferencia sobre su sistema de axiomas en 1929-1930 y afirma que "... él y Zermelo debieron haber llegado a la idea de incorporar la Fundación [regularidad] casi al mismo tiempo". ^[55] Sin embargo, Bernays no publicó la parte de su sistema de axiomas que contiene regularidad hasta 1941. ^[56]
22. Prueba de que el axioma de von Neumann implica elección global: Sea el axioma de Von Neumann implica que hay una función tal que La función es una función de elección global ya que para todos los conjuntos no vacíos Prueba de que la elección global implica el axioma de von Neumann: Sea una función de elección global, y sea ​​una relación. Para let donde es el conjunto de todos los conjuntos que tienen rango menor que Let Entonces es una función que satisface el axioma de von Neumann desde y ${\displaystyle R=\{(x,y):x\neq \emptyset \land y\in x\}.}$ ${\displaystyle G\subseteq R}$ ${\displaystyle Dom(G)=Dom(R).}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle G(x)\in x.}$
    ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x\in Dom(R),}$ ${\displaystyle \alpha (x)={\text{least}}\,\{\alpha :\exists y[(x,y)\in R\cap V_{\alpha }]\}}$ ${\displaystyle V_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha .}$ ${\displaystyle z_{x}=\{y:(x,y)\in R\cap V_{\alpha (x)}\}.}$ ${\displaystyle F=\{(x,G(z_{x})):x\in Dom(R)\}}$ ${\displaystyle F\subseteq R}$ ${\displaystyle Dom(F)=Dom(R).}$
23. Gödel utilizó los axiomas de von Neumann de 1929 en su anuncio de 1938 de su teorema de consistencia relativa y declaró: "Un teorema correspondiente se cumple si T denota el sistema de Principia mathematica ". ^[64] Su boceto de 1939 de su prueba es para la teoría de conjuntos de Zermelo y ZF. ^[65] Demostrar un teorema en múltiples sistemas formales no era inusual para Gödel. Por ejemplo, demostró su teorema de incompletitud para el sistema de Principia mathematica , pero señaló que "es válido para una amplia clase de sistemas formales...". ^[66]
24. La prueba de consistencia de Gödel construye el universo construible . Para construir esto en ZF se requiere algo de teoría de modelos. Gödel lo construyó en NBG sin teoría de modelos. Para la construcción de Gödel, véase Gödel 1940, págs. 35-46 o Cohen 1966, págs. 99-103.
25. Cohen también dio una prueba detallada de los teoremas de consistencia relativa de Gödel utilizando ZF. ^[74]
26. Saul Kripke y Robert Solovay demostraron de forma independiente este teorema de extensión conservadora . En su libro de 1966, Cohen mencionó este teorema y afirmó que su demostración requiere fuerza. También fue demostrado de forma independiente por Ronald Jensen y Ulrich Felgner, quienes publicaron su prueba en 1971. ^[75]
27. Ambas conclusiones se derivan de la conclusión de que cada clase adecuada puede ponerse en correspondencia uno a uno con la clase de todos los ordinales. Una prueba de esto se describe en Kanamori 2009, p. 53.
28. Easton construyó un modelo de la versión de NBG de Mendelson en el que el axioma de elección de ZFC se cumple pero la elección global falla.
29. En la jerarquía acumulativa V _κ , los subconjuntos de V _κ están en V _κ+1 . La jerarquía construible L _κ produce subconjuntos más lentamente, razón por la cual los subconjuntos de L _κ están en L _{κ ⁺} en lugar de L _κ+1 . ^[80]

Referencias

1. von Neumann 1925, págs. 221–224, 226, 229; Traducción al inglés: van Heijenoort 2002b, págs. 396–398, 400, 403.
2. Bernays 1937, págs.
3. Godel 1940.
4. Gödel 1940, págs. 3–7.
5. Gödel 1940, pag. 6.
6. Gödel 1940, pag. 25.
7. Gödel 1940, págs. 35-38.
8. "Los axiomas de Neumann-Bernays-Gödel". Enciclopedia Británica . Consultado el 17 de enero de 2019 .
9. Gödel 1940, pag. 3.
10. Mendelson 1997, págs. 225-226.
11. Bernays 1937, pag. 66.
12. Mendelson 1997, pag. 226.
13. Axioma A3 de Gödel (Gödel 1940, p. 3).
14. Axioma A4 de Gödel (Gödel 1940, p. 3).
15. Gödel 1940, pag. 4).
16. Mendelson 1997, pag. 230.
17. Kanamori 2009, pag. 56; Bernays 1937, pág. 69; Gödel 1940, págs. 5, 9; Mendelson 1997, pág. 231.
18. Axioma B1 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
19. Axioma B2 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
20. Axioma B3 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
21. Axioma B4 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
22. Bourbaki 2004, pag. 71.
23. Axioma b (3) de Bernays (Bernays 1937, p. 5).
24. Axioma B7 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
25. Axioma B8 de Gödel (Gödel 1940, p. 5).
26. Gödel 1940, pag. 6; Kanamori 2012, pág. 70.
27. Kanamori 2009, pag. 57; Gödel 2003, pág. 121. Ambas referencias contienen la prueba de Gödel, pero la de Kanamori es más fácil de seguir ya que utiliza terminología moderna.
28. Dawson 1997, pág. 134.
29. Gödel 1940, págs. 8-11
30. Gödel 1940, pag. 11.
31. Gris 1991.
32. Gödel 1940, págs. 11-13.
33. Gödel 1940, págs. 8-15.
34. Gödel 1940, págs. 16-18.
35. Bernays 1941, pag. 2; Gödel 1940, pág. 5).
36. Kanamori 2009, pág. 48; Gödel 2003, págs. 104-115.
37. Mendelson 1997, págs.228, 239.
38. Easton 1964, págs. 56a–64.
39. von Neumann 1925, von Neumann 1928.
40. Ferreirós 2007, pag. 369.
41. Mirimanoff 1917, pag. 49.
42. Kanamori 2012, pag. 62.
43. Hallett 1984, pag. 280.
44. Kunen 1980, pag. dieciséis.
45. von Neumann 1925, pag. 223 (nota a pie de página); Traducción al inglés: van Heijenoort 2002b, p. 398 (nota al pie).
46. Kanamori 2012, pag. 61
47. Kunen 1980, págs. 95–96. Utiliza la notación R(β) en lugar de V _β .
48. Hallett 1984, págs. 288-290.
49. von Neumann 1925, pag. 225; Traducción al inglés: van Heijenoort 2002b, p. 400.
50. Fraenkel, Introducción histórica en Bernays 1991, p. 13.
51. von Neumann 1925, págs. 224-226; Traducción al inglés: van Heijenoort 2002b, págs. 399–401.
52. Montague 1961.
53. Mirimanoff 1917, pag. 41.
54. von Neumann 1925, págs. 230-232; Traducción al inglés: van Heijenoort 2002b, págs. 404–405.
55. Kanamori 2009, págs. 53–54.
56. Bernays 1941, pag. 6.
57. von Neumann 1929, pag. 229; Ferreirós 2007, págs. 379–380.
58. Kanamori 2009, págs.49, 53.
59. Kanamori 2009, págs. 48, 58. Los artículos de Bernays se reimprimen en Müller 1976, págs. 1-117.
60. Bernays 1937, pag. sesenta y cinco.
61. Kanamori 2009, págs. 48–54.
62. Kanamori 2009, pag. 56.
63. Kanamori 2009, págs. 56–58; Gödel 1940, Capítulo I: Los axiomas de la teoría abstracta de conjuntos, págs.
64. Gödel 1990, pag. 26.
65. Gödel 1990, págs. 28-32.
66. Gödel 1986, pag. 145.
67. Solováy 1990, pag. 13.
68. Kunen 1980, pag. 176.
69. Gödel 1990, pag. 108, nota al pie i. El párrafo que contiene esta nota a pie de página analiza por qué Gödel consideraba la "propiedad de conjunto" como una primitiva de la teoría de conjuntos y cómo encaja en su ontología . "Propiedad del conjunto" corresponde a la primitiva "clase" en NBG.
70. Kanamori 2009, pag. 57.
71. Cohen 1963.
72. Kanamori 2009, pag. 65: "Forzarse en sí mismo contribuyó en gran medida a degradar cualquier teoría formal de clases debido al inconveniente adicional de tener que especificar las clases de extensiones genéricas".
73. Cohen 1966, págs. 107-147.
74. Cohen 1966, págs. 85–99.
75. Ferreirós 2007, págs. 381–382; Cohen 1966, pág. 77; Felgner 1971.
76. Mostowski 1950, pag. 113, nota al pie 11. La nota al pie hace referencia a la teoría de conjuntos NQ de Wang , que luego evolucionó a MK.
77. Kanamori 2009b, págs.18, 29.
78. Chuaqui 1981, pag. 313 demuestra que ( V _κ ,  V _κ+1 , ∈) es un modelo de MKTR + AxC. MKT son los axiomas de Tarski para MK sin elección ni reemplazo. MKTR + AxC es MKT con Reemplazo y Elección (Chuaqui 1981, pp. 4, 125), que equivale a MK.
79. Mendelson 1997, pag. 275.
80. Gödel 1940, pag. 54; Solováy 1990, págs. 9-11.
81. Gödel 1940, pag. 54.
82. A. Enayat, "Establecer análogos teóricos del teorema de Barwise-Schlipf". Anales de lógica pura y aplicada vol. 173 (2022).
83. Adámek, Herrlich y Strecker 2004, págs. 15-16, 40.

Bibliografía

• Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990), Categorías abstractas y concretas (La alegría de los gatos) (1ª ed.), Nueva York: Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60922-3.
  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (2004) [1990], Categorías abstractas y concretas (La alegría de los gatos) (Dover ed.), Nueva York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-46934-8.
• Bernays, Paul (1937), "Un sistema de teoría de conjuntos axiomáticos: parte I", The Journal of Symbolic Logic , 2 (1): 65–77, doi :10.2307/2268862, JSTOR  2268862.
• Bernays, Paul (1941), "Un sistema de teoría de conjuntos axiomáticos: parte II", The Journal of Symbolic Logic , 6 (1): 1–17, doi :10.2307/2267281, JSTOR  2267281, S2CID  250344277.
• Bernays, Paul (1991), Teoría de conjuntos axiomática (segunda edición revisada), Publicaciones de Dover, ISBN 978-0-486-66637-2.
• Bourbaki, Nicolas (2004), Elementos de las matemáticas: teoría de conjuntos, Springer, ISBN 978-3-540-22525-6.
• Chuaqui, Rolando (1981), Teoría de conjuntos axiomática: teorías impredicativas de clases , Holanda Septentrional, ISBN 0-444-86178-5.
• Cohen, Paul (1963), "La independencia de la hipótesis del continuo", Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América , 50 (6): 1143–1148, Bibcode :1963PNAS...50.1143C, doi : 10.1073/pnas.50.6.1143 , PMC  221287 , PMID  16578557.
• Cohen, Paul (1966), Teoría de conjuntos y hipótesis del continuo , WA Benjamin.
  • Cohen, Paul (2008), Teoría de conjuntos y hipótesis del continuo, Publicaciones de Dover, ISBN 978-0-486-46921-8.
• Dawson, John W. (1997), Dilemas lógicos: la vida y obra de Kurt Gödel , Wellesley, MA: AK Peters.
• Easton, William B. (1964), Poderes de los cardenales regulares (tesis doctoral), Universidad de Princeton.
• Felgner, Ulrich (1971), "Comparación de los axiomas de elección local y universal" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 71 : 43–62, doi : 10.4064/fm-71-1-43-62.
• Ferreirós, José (2007), Laberinto del pensamiento: una historia de la teoría de conjuntos y su papel en el pensamiento matemático (segunda edición revisada), Basilea, Suiza: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Gödel, Kurt (1940), La coherencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado con los axiomas de la teoría de conjuntos (edición revisada), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07927-1.
  • Gödel, Kurt (2008), La coherencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo generalizado con los axiomas de la teoría de conjuntos , con prólogo de Laver, Richard (edición de bolsillo), Ishi Press, ISBN 978-0-923891-53-4.
• Gödel, Kurt (1986), Obras completas, volumen 1: publicaciones 1929-1936 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514720-9.
• Gödel, Kurt (1990), Obras completas, volumen 2: publicaciones 1938-1974 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514721-6.
• Gödel, Kurt (2003), Obras completas, volumen 4: Correspondencia A – G , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850073-5.
• Gray, Robert (1991), "Programas informáticos y pruebas matemáticas", The Mathematical Intelligencer , 13 (4): 45–48, doi :10.1007/BF03028342, S2CID  121229549.
• Hallett, Michael (1984), Teoría de conjuntos cantoriana y limitación del tamaño (edición de tapa dura), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853179-1.
  • Hallett, Michael (1986), Teoría cantoriana de conjuntos y limitación del tamaño (edición de bolsillo), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853283-5.
• Kanamori, Akihiro (2009b), El infinito superior: grandes cardenales en la teoría de conjuntos desde sus inicios , Springer, ISBN 978-3-540-88867-3.
• Kanamori, Akihiro (2009), "Bernays and Set Theory" (PDF) , Boletín de lógica simbólica , 15 (1): 43–69, doi :10.2178/bsl/1231081769, JSTOR  25470304, S2CID  15567244.
• Kanamori, Akihiro (2012), "Elogio del reemplazo" (PDF) , Boletín de lógica simbólica , 18 (1): 46–90, doi :10.2178/bsl/1327328439, JSTOR  41472440, S2CID  18951854.
• Kunen, Kenneth (1980), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia (edición de tapa dura), Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-86839-8.
  • Kunen, Kenneth (2012), Teoría de conjuntos: una introducción a las pruebas de independencia (edición de bolsillo), Holanda Septentrional, ISBN 978-0-444-56402-3.
• Mendelson, Elliott (1997), Introducción a la lógica matemática (4ª ed.), Londres: Chapman and Hall/CRC, ISBN 978-0-412-80830-2. - págs. 225-86 contienen el tratamiento clásico de NBG en los libros de texto, mostrando cómo hace lo que esperamos de la teoría de conjuntos, al fundamentar relaciones , teoría del orden , números ordinales , números transfinitos , etc.
• Mirimanoff, Dmitry (1917), "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles", L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52.
• Montague, Richard (1961), "Semantic Closing and Non-Finite Axiomatizability I", en Buss, Samuel R. (ed.), Métodos infinitistas: Actas del Simposio sobre fundamentos de las matemáticas , Pergamon Press, págs..
• Mostowski, Andrzej (1950), "Algunas definiciones impredicativas en la teoría de conjuntos axiomática" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 37 : 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124.
• Muller, FA (1 de septiembre de 2001), "Conjuntos, clases y categorías" (PDF) , Revista Británica de Filosofía de la Ciencia , 52 (3): 539–73, doi :10.1093/bjps/52.3.539.
• Müller, Gurt, ed. (1976), Conjuntos y clases: sobre la obra de Paul Bernays , Estudios de lógica y fundamentos de las matemáticas Volumen 84, Ámsterdam: Holanda Septentrional, ISBN 978-0-7204-2284-9.
• Potter, Michael (2004), La teoría de conjuntos y su filosofía: una introducción crítica (edición de tapa dura), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-926973-0.
  • Potter, Michael (2004p), La teoría de conjuntos y su filosofía: una introducción crítica (edición de bolsillo), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-927041-5.
• Pudlák, Pavel (1998), "The Longitudes de las pruebas" (PDF) , en Buss, Samuel R. (ed.), Manual de teoría de la prueba , Elsevier, págs. 547–637, ISBN 978-0-444-89840-1.
• Smullyan, Raymond M .; Adaptación, Melvin (2010) [Edición revisada y corregida: publicada por primera vez en 1996 por Oxford University Press], Set Theory and the Continuum Problem , Dover, ISBN 978-0-486-47484-7.
• Solovay, Robert M. (1990), "Nota introductoria a 1938 , 1939 , 1939a y 1940 ", Obras completas de Kurt Gödel, volumen 2: Publicaciones 1938-1974 , Oxford University Press, págs. 1-25, ISBN 978-0-19-514721-6.
• von Neumann, John (1923), "Zur Einführung der transfiniten Zahlen", Acta Litt. Acad. Carolina del Sur. Szeged X. , 1 : 199-208.
  • Traducción al inglés: van Heijenoort, Jean (2002a) [1967], "Sobre la introducción de números transfinitos", De Frege a Gödel: un libro de consulta en lógica matemática, 1879-1931 (cuarta edición de la edición), Harvard University Press, págs. 346–354, ISBN. 978-0-674-32449-7.
  • Traducción al inglés: van Heijenoort, Jean (2002b) [1967], "Una axiomatización de la teoría de conjuntos", De Frege a Gödel: un libro de consulta en lógica matemática, 1879-1931 (cuarta edición ed.), Harvard University Press, págs. 393–413, ISBN 978-0-674-32449-7.
• von Neumann, John (1925), "Eine Axiomatisierung der Mengenlehre", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 154 : 219–240.
• von Neumann, John (1928), "Die Axiomatisierung der Mengenlehre", Mathematische Zeitschrift , 27 : 669–752, doi :10.1007/bf01171122, S2CID  123492324.
• von Neumann, John (1929), "Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 160 : 227–241.

enlaces externos

• "Teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel". PlanetMath .
• Szudzik, Mateo. "Teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel". MundoMatemático .