Superespacio

El superespacio es el espacio de coordenadas de una teoría que exhibe supersimetría . En tal formulación, junto con las dimensiones espaciales ordinarias x , y , z , ..., también hay dimensiones "anticonmutativas" cuyas coordenadas están etiquetadas en números de Grassmann en lugar de números reales. Las dimensiones espaciales ordinarias corresponden a grados de libertad bosónicos , las dimensiones anticonmutativas a grados de libertad fermiónicos .

La palabra "superespacio" fue utilizada por primera vez por John Wheeler en un sentido no relacionado para describir el espacio de configuración de la relatividad general ; por ejemplo, este uso puede verse en su libro de texto de 1973 Gravitación .

Discusión informal

Existen varias definiciones similares, pero no equivalentes, de superespacio que se han utilizado y continúan utilizándose en la literatura matemática y física. Uno de esos usos es como sinónimo de superespacio de Minkowski . ^[1] En este caso, se toma el espacio de Minkowski ordinario y se lo extiende con grados de libertad fermiónicos anticonmutativos, tomados como espinores de Weyl anticonmutativos del álgebra de Clifford asociada al grupo de Lorentz . De manera equivalente, el superespacio de Minkowski puede entenderse como el cociente del superálgebra de Poincaré módulo el álgebra del grupo de Lorentz. Una notación típica para las coordenadas en un espacio de este tipo es con la línea superior como indicio de que el superespacio de Minkowski es el espacio previsto. $(x,\theta ,{\bar {\theta }})$

El superespacio también se utiliza comúnmente como sinónimo de superespacio vectorial . Se considera que es un espacio vectorial ordinario , junto con coordenadas adicionales tomadas del álgebra de Grassmann , es decir, direcciones de coordenadas que son números de Grassmann . Existen varias convenciones en uso para construir un superespacio vectorial; dos de ellas están descritas por Rogers ^[2] y DeWitt. ^[3]

Un tercer uso del término "superespacio" es como sinónimo de supervariedad : una generalización supersimétrica de una variedad . Nótese que tanto los superespacios de Minkowski como los superespacios vectoriales pueden considerarse casos especiales de supervariedades.

Un cuarto significado, completamente no relacionado con el término, tuvo un breve uso en la relatividad general ; lo analizamos con mayor detalle al final.

Ejemplos

A continuación se ofrecen varios ejemplos. Los primeros suponen una definición de superespacio como un superespacio vectorial . Esto se denota como R ^{m | n} , el espacio vectorial Z ₂ - graduado con R ^m como subespacio par y R ⁿ como subespacio impar. La misma definición se aplica a C ^m|n .

Los ejemplos de cuatro dimensiones toman el superespacio como un superespacio de Minkowski . Aunque es similar a un espacio vectorial, tiene muchas diferencias importantes: en primer lugar, es un espacio afín , que no tiene un punto especial que denote el origen. A continuación, las coordenadas fermiónicas se toman como espinores de Weyl anticonmutativos del álgebra de Clifford , en lugar de ser números de Grassmann . La diferencia aquí es que el álgebra de Clifford tiene una estructura considerablemente más rica y sutil que los números de Grassmann. Por lo tanto, los números de Grassmann son elementos del álgebra exterior , y el álgebra de Clifford tiene un isomorfismo con el álgebra exterior, pero su relación con el grupo ortogonal y el grupo de espín , utilizados para construir las representaciones de espín , le dan un profundo significado geométrico. (Por ejemplo, los grupos de espín forman una parte normal del estudio de la geometría de Riemann , ^[4] bastante fuera de los límites y preocupaciones ordinarios de la física).

Ejemplos triviales

El superespacio más pequeño es un punto que no contiene direcciones bosónicas ni fermiónicas. Otros ejemplos triviales incluyen el plano real n -dimensional R ⁿ , que es un espacio vectorial que se extiende en n direcciones bosónicas reales y ninguna dirección fermiónica. El espacio vectorial R ^0|n , que es el álgebra de Grassmann real n -dimensional . El espacio R ^1|1 de una dirección par y una impar se conoce como el espacio de números duales , introducido por William Clifford en 1873.

El superespacio de la mecánica cuántica supersimétrica

La mecánica cuántica supersimétrica con N supercargas se formula a menudo en el superespacio R ^{1|2 N} , que contiene una dirección real t identificada con el tiempo y N direcciones de Grassmann complejas que están abarcadas por Θ _i y Θ ^*_i , donde i va de 1 a N .

Consideremos el caso especial N = 1. El superespacio R ^1|2 es un espacio vectorial tridimensional. Por lo tanto, una coordenada dada puede escribirse como una terna ( t , Θ, Θ ^* ). Las coordenadas forman una superálgebra de Lie , en la que el grado de gradación de t es par y el de Θ y Θ ^* es impar. Esto significa que puede definirse un corchete entre dos elementos cualesquiera de este espacio vectorial, y que este corchete se reduce al conmutador en dos coordenadas pares y en una coordenada par y una impar, mientras que es un anticonmutador en dos coordenadas impares. Este superespacio es una superálgebra de Lie abeliana, lo que significa que todos los corchetes antes mencionados se anulan.

\left[t,t\right]=\left[t,\theta \right]=\left[t,\theta ^{*}\right]=\left\{\theta ,\theta \right\}=\left\{\theta ,\theta ^{*}\right\}=\left\{\theta ^{*},\theta ^{*}\right\}=0

donde es el conmutador de a y b y es el anticonmutador de a y b . ${\estilo de visualización [a,b]}$ ${\estilo de visualización \{a,b\}}$

Se pueden definir funciones de este espacio vectorial hacia sí mismo, que se denominan supercuerpos . Las relaciones algebraicas anteriores implican que, si desarrollamos nuestro supercuerpo como una serie de potencias en Θ y Θ ^* , entonces sólo encontraremos términos en los órdenes cero y primero, porque Θ ² = Θ ^*2 = 0. Por lo tanto, los supercuerpos se pueden escribir como funciones arbitrarias de t multiplicadas por los términos de orden cero y primero en las dos coordenadas de Grassmann.

\Phi \left(t,\Theta ,\Theta ^{*}\right)=\phi (t)+\Theta \Psi (t)-\Theta ^{*}\Phi ^{*}(t)+\Theta \Theta ^{*}F(t)

Los supercampos, que son representaciones de la supersimetría del superespacio, generalizan la noción de tensores , que son representaciones del grupo de rotación de un espacio bosónico.

Se pueden definir entonces derivadas en las direcciones de Grassmann, que toman el término de primer orden en la expansión de un supercuerpo hasta el término de orden cero y aniquilan el término de orden cero. Se pueden elegir convenciones de signos tales que las derivadas satisfagan las relaciones de anticonmutación.

\left\{{\frac {\parcial }{\parcial \theta }}\,,\Theta \right\}=\left\{{\frac {\parcial }{\parcial \theta ^{*}}}\,,\Theta ^{*}\right\}=1

Estos derivados pueden ensamblarse en supercargas.

Q={\frac {\parcial }{\parcial \theta }}-i\Theta ^{*}{\frac {\parcial }{\parcial t}}\quad {\text{y}}\quad Q^{\dagger }={\frac {\parcial }{\parcial \theta ^{*}}}+i\Theta {\frac {\parcial }{\parcial t}}

cuyos anticonmutadores los identifican como los generadores fermiónicos de un álgebra de supersimetría

\left\{Q,Q^{\dagger }\,\right\}=2i{\frac {\partial }{\partial t}}

donde i multiplicado por la derivada temporal es el operador hamiltoniano en mecánica cuántica . Tanto Q como su adjunto se anticonmutan entre sí. La variación de supersimetría con el parámetro de supersimetría ε de un supercampo Φ se define como

\delta _{\epsilon }\Phi =(\epsilon ^{*}Q+\epsilon Q^{\dagger })\Phi .

Podemos evaluar esta variación utilizando la acción de Q sobre los supercampos

\left[Q,\Phi \right]=\left({\frac {\parcial }{\parcial \theta }}\,-i\theta ^{*}{\frac {\parcial }{\parcial t}}\right)\Phi =\psi +\theta ^{*}\left(Fi{\dot {\phi }}\right)+i\theta \theta ^{*}{\dot {\psi }}.

De manera similar, se pueden definir derivadas covariantes en el superespacio.

D={\frac {\parcial }{\parcial \theta }}-i\theta ^{*}{\frac {\parcial }{\parcial t}}\quad {\text{y}}\quad D^{\dagger }={\frac {\parcial }{\parcial \theta ^{*}}}-i\theta {\frac {\parcial }{\parcial t}}

que conmutan con las supercargas y satisfacen un álgebra de supersimetría de signo incorrecto

\left\{D,D^{\dagger }\right\}=-2i{\frac {\partial }{\partial t}}

El hecho de que las derivadas covariantes conmuten en anticonmutación con las supercargas significa que la transformación de supersimetría de una derivada covariante de un supercampo es igual a la derivada covariante de la misma transformación de supersimetría del mismo supercampo. Por lo tanto, generalizando la derivada covariante en la geometría bosónica que construye tensores a partir de tensores, la derivada covariante del superespacio construye supercampos a partir de supercampos.

Extensiones supersimétricas del espacio de Minkowski

N = 1 superespacio de Minkowski

Quizás el superespacio concreto más estudiado en física es el superespacio de Minkowski o a veces escrito , que es la suma directa de cuatro dimensiones bosónicas reales y cuatro dimensiones de Grassmann reales (también conocidas como dimensiones fermiónicas o dimensiones de espín ). ^[5] $d=4,{\mathcal {N}}=1$ $\mathbb {R} ^{4|4}$ $\mathbb {R} ^{1,3|4}$

En las teorías de campos cuánticos supersimétricos , nos interesan los superespacios que proporcionan representaciones de una superálgebra de Lie llamada álgebra de supersimetría . La parte bosónica del álgebra de supersimetría es el álgebra de Poincaré , mientras que la parte fermiónica se construye utilizando espinores con componentes con valores numéricos de Grassmann.

Por esta razón, en aplicaciones físicas se considera una acción del álgebra de supersimetría sobre las cuatro direcciones fermiónicas de tal manera que se transforman en un espinor bajo el subálgebra de Poincaré. En cuatro dimensiones hay tres espinores irreducibles distintos de 4 componentes. Está el espinor de Majorana , el espinor de Weyl zurdo y el espinor de Weyl diestro. El teorema CPT implica que en una teoría unitaria , invariante de Poincaré, que es una teoría en la que la matriz S es una matriz unitaria y los mismos generadores de Poincaré actúan sobre los estados asintóticos de entrada que sobre los estados asintóticos de salida, el álgebra de supersimetría debe contener un número igual de espinores de Weyl zurdos y diestros. Sin embargo, dado que cada espinor de Weyl tiene cuatro componentes, esto significa que si se incluyen espinores de Weyl, se deben tener 8 direcciones fermiónicas. Se dice que una teoría de este tipo tiene supersimetría extendida , y estos modelos han recibido mucha atención. Por ejemplo, Nathan Seiberg y Edward Witten han resuelto teorías de gauge supersimétricas con ocho supercargas y materia fundamental ( véase teoría de gauge de Seiberg-Witten ). Sin embargo, en esta subsección estamos considerando el superespacio con cuatro componentes fermiónicos y, por lo tanto, ningún espinor de Weyl es consistente con el teorema CPT. $\mathbb {R} ^{4|4}$

Nota : Existen muchas convenciones de signos en uso y ésta es sólo una de ellas.

Por lo tanto, las cuatro direcciones fermiónicas se transforman en un espinor de Majorana . También podemos formar un espinor conjugado. $\theta _{\alpha }$

{\bar {\theta }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ i\theta ^{\dagger }\gamma ^{0}=-\theta ^{\perp } DO

donde es la matriz de conjugación de carga, que se define por la propiedad de que cuando conjuga una matriz gamma , la matriz gamma se niega y se transpone. La primera igualdad es la definición de mientras que la segunda es una consecuencia de la condición de espinor de Majorana . El espinor conjugado juega un papel similar al de en el superespacio , excepto que la condición de Majorana, como se manifiesta en la ecuación anterior, impone que y no son independientes. ${\estilo de visualización C}$ ${\bar {\theta}}$ $\theta ^{*}=i\gamma _{0}C\theta$ $\theta ^{*}$ $\mathbb {R} ^{1|2}$ ${\estilo de visualización \theta}$ $\theta ^{*}$

En particular podemos construir las supercargas

Q=-{\frac {\parcial }{\parcial {\bar {\theta }}}}+\gamma ^{\mu }\theta \parcial _{\mu }

que satisfacen el álgebra de supersimetría

\left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},Q\right\}C=2\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }C=-2i\gamma ^{\mu }P_{\mu }C

donde es el operador de momento 4- . Nuevamente, la derivada covariante se define como la supercarga pero con el segundo término negado y anticonmuta con las supercargas. Por lo tanto, la derivada covariante de un supermultiplete es otro supermultiplete. $P=i\parcial _{\mu }$

Supersimetría extendida

Es posible tener conjuntos de supercargas con , aunque esto no es posible para todos los valores de . ${\mathcal {N}}$ $Q^{I}$ $I=1,\cdots ,{\mathcal {N}}$ ${\mathcal {N}}$

Estas supercargas generan traslaciones en un total de dimensiones de espín, formando así el superespacio . $4{\mathcal {N}}$ $\mathbb {R} ^{4|4{\mathcal {N}}}$

En relatividad general

La palabra "superespacio" también se utiliza en un sentido completamente diferente y no relacionado, en el libro Gravitación de Misner, Thorne y Wheeler. Allí, se refiere al espacio de configuración de la relatividad general y, en particular, a la visión de la gravitación como geometrodinámica , una interpretación de la relatividad general como una forma de geometría dinámica. En términos modernos, esta idea particular de "superespacio" se captura en uno de los varios formalismos diferentes utilizados para resolver las ecuaciones de Einstein en una variedad de entornos, tanto teóricos como prácticos, como en simulaciones numéricas. Esto incluye principalmente el formalismo ADM , así como las ideas en torno a la ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein y la ecuación de Wheeler-DeWitt .

Véase también

Notas

^ SJ Gates, Jr. , MT Grisaru, M. Roček , W. Siegel , Superespacio o mil y una lecciones de supersimetría , Benjamins Cumming Publishing (1983) ISBN 0-8053 3161-1 .
^ Alice Rogers , Supermanifolds: teoría y aplicaciones , World Scientific (2007) ISBN 978-981-3203-21-1 .
^ Bryce DeWitt , Supermanifolds , Cambridge University Press (1984) ISBN 0521 42377 5 .
^ Jürgen Jost , Geometría riemanniana y análisis geométrico , Springer-Verlag (2002) ISBN 3-540-63654-4 .
^ Yuval Ne'eman , Elena Eizenberg, Membranas y otras extensiones (p-branas) , World Scientific, 1995, pág. 5.

Referencias

Duplij, Steven [en ucraniano] ; Siegel , Warren; Bagger, Jonathan, eds. (2005), Enciclopedia concisa de supersimetría y estructuras no conmutativas en matemáticas y física , Berlín, Nueva York: Springer , ISBN 978-1-4020-1338-6(Segunda impresión)